平面问题的直角坐标解答ppt课件.ppt

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1、弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答要点要点 用逆解法、用逆解法、半逆解法半逆解法求解平面弹性力学问题。求解平面弹性力学问题。3.1 3.1 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答3.2 3.2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲3.3 3.3 位移分量的求出位移分量的求出3.4 3.4 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷3.5 3.5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力主主 要要 内内 容容3.6 3.6 级数式解答级数式解答弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3

2、.1 逆解法与半逆解法逆解法与半逆解法 多项式解答多项式解答 当体力为常量时，按应力求解平面问题，最后归结为求解一个当体力为常量时，按应力求解平面问题，最后归结为求解一个应力应力函数函数F F ( (x，y) )，它必须满足下列条件：，它必须满足下列条件：024422444yyxxFFF(2-25)()04F（1）相容方程相容方程（2）应力边界条件应力边界条件ysxysyxsxysxflmfml)()()()(（2-15）（3）多连体中的位移单值条件多连体中的位移单值条件弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答求出求出应力函数应力函数F F

3、(x，y) ，可求得应力分量：，可求得应力分量：yfxyy22Fxfyxx22FyxxyF2(2-24)再求得再求得变形分量变形分量和和位移分量位移分量。 由于相容方程是偏微分方程，它的通解不能写成有限项数的形式。因由于相容方程是偏微分方程，它的通解不能写成有限项数的形式。因此，一般不能直接求解问题，只能采用此，一般不能直接求解问题，只能采用逆解法逆解法或或半逆解法半逆解法。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答1. 应力函数应力函数 求解方法求解方法( , )x yF（1） 逆解法逆解法（2）半逆解法半逆解法（1）根据问题的条件根据问题的

4、条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程的假设各种满足相容方程的F F (x，y) 的形式；的形式；（2） 主要适用于主要适用于简单边界条件简单边界条件的问题。的问题。然后利用应力分量计算式，求出然后利用应力分量计算式，求出 （具有待定系（具有待定系数）；数）；xyyx,（3）再利用应力边界条件，来考察这些应力函数再利用应力边界条件，来考察这些应力函数F (x，y) 对应什么对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数样的边界面力问题，从而得知所设应力函数F (x，y) 可以求解可以求解什么问题。什么问题。逆逆解解法法弹弹 性性 力力

5、学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答半半逆逆解解法法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的某种函数形式的某种函数形式 ；xyyx,（2）根据根据 与应力函数与应力函数F F (x，y)的关系及的关系及 ，求，求出出F F (x，y) 的形式；的形式；xyyx,40F（3）最后计算出最后计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。并让其满足边界条件和位移单值条件。xyyx, 半逆解法的数学基础：半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法数理方程中分离变量法。弹

6、弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答2 2 多项式解答多项式解答适用性：适用性：由一些直线边界构成的弹性体。由一些直线边界构成的弹性体。目的：目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数考察一些简单多项式函数作为应力函数F (x , y) ，能解决什，能解决什么样的力学问题。么样的力学问题。逆解法逆解法cbyaxyx),(F其中：其中： a、b、c 为待定系数。为待定系数。检验检验F F (x , y)是否满足双调和方程：是否满足双调和方程：0244224444yyxxFFFF显然显然F F (x , y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。

7、满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）(a) 一次多项式一次多项式（2）弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答（3）对应的应力分量：对应的应力分量：02yxxyFxfyxx22Fxfxfxx 0yfyfyy 0yfxyy22F若体力：若体力：fx = f y = 0，则有：，则有：0 xyyx结论结论1：（1）（2）一次多项式对应于一次多项式对应于无体力和无应力状态；无体力和无应力状态；在该函数在该函数F F (x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。弹弹 性性 力力 学学 ELAST

8、ICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(b) 二次多项式二次多项式（1）22cybxyaxF其中：其中： a、b、c 为待定系数。为待定系数。检验检验F F (x, y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）44444220,0,0 xyxyFFF04F(可作为应力函数可作为应力函数 )弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(假定：假定：fx =fy = 0 ; a 0 , b 0, c 0)（3）由式（由式（2-24）计算应力分量：）计算应力分量：byxxyF2cyx222Faxy222F结论结论

9、2：二次多项式对应于二次多项式对应于均匀应力分布。均匀应力分布。xy2a2abxy2c2c弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答xy0试求图示板的应力函数。试求图示板的应力函数。例：例：xy00 xyyx0),(F202),(yyxF弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(c) 三次多项式三次多项式（1）3223axbx ycxydyF其中其中: a、b、c 、d 为待定系数。为待定系数。检验检验F F (x, y) 是否满足双调和方程，显然有是否满足双调和方程，显然有（2）0, 0,

10、02244444yxyxFFF04F(可作为应力函数可作为应力函数 )(假定：假定：fx =fy = 0)（3）由式（由式（2-24）计算应力分量：）计算应力分量：cybxyxxy222Fdycxyx6222Faxbyxy6222F结论结论3：三次多项式对应于三次多项式对应于线性应力分布。线性应力分布。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答12h2hll讨论：讨论：,3dyF取)0(yxff可算得：可算得：0 xydyx60yxydh3mindh3maxMM3dyF可见：可见： 对应于矩形截面梁的对应于矩形截面梁的纯弯曲问题纯弯曲问题应力分

11、布。应力分布。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(d) 四次多项式四次多项式（1）432234axbx ycx ydxyeyF检验检验F F (x, y) 是否满足双调和方程是否满足双调和方程（2）4428cx yF 4424axF4424eyF代入：代入：40F得得033eca024824eca其待定系数，须满足上述关系才能作为应函数其待定系数，须满足上述关系才能作为应函数弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答总结：总结：（多项式应力函数（多项式应力函数 F F 的性质）的性质）

12、（1） 多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足时，则系数可以任意选取，总可满足 。40F多项式次数多项式次数 n 4 时，则系数时，则系数须满足须满足一定条件，才能满足一定条件，才能满足 。40F多项式次数多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。越高，则系数间需满足的条件越多。（2） 一次多项式，对应于一次多项式，对应于无体力和无应力状态；无体力和无应力状态；任意应力函数任意应力函数F F (x, y)上上加上或减去一个加上或减去一个一次多项式一次多项式，对应力无影响。，对应力无影响。二次多项式二次多项式，对应，对应均匀应力均匀应力状态，即全部应力为常量；状态，

13、即全部应力为常量；三次多项式三次多项式，对应于，对应于线性分布应力线性分布应力。（3） （4） 用多项式构造应力函数用多项式构造应力函数F F (x ,y) 的方法的方法 逆解法（只能解决简单逆解法（只能解决简单直线应力边界直线应力边界问题）。问题）。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3.2 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲3,ayF取)0(yxff可算得：可算得：0 xy6xay0yxy图示梁对应的边界条件：图示梁对应的边界条件：:2hy0, 0 xyy: lx6,0 xxyay 12h2hllmin3ah max3ahMM弹弹 性性 力

14、力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答常数常数 a 与弯矩与弯矩 M 的关系：的关系：220hhxdy(1)由梁端部的边界条件：由梁端部的边界条件：0622hhdydy(2)Mdyyhhx222226hhay dyM32ahM32()Mah或yIMxyhMx312yhMx)12/(3可见：可见：此结果与材力中结果相同，此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。xy12h2hllmin3ah max3ahMM弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答

15、0 xy6xay0yxy12h2hllMMyIMxmin3ah max3ah说明：说明：(1)组成梁端力偶组成梁端力偶 M 的面力的面力须线性须线性分布分布，且中心处为零，结果才，且中心处为零，结果才是是精确的精确的。(2)若按其它形式分布，如：若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。大，离端部较远处误差较小。(3)当当 l 远大于远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。时，误差较小；反之误差较大。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直

16、角坐标解答按应力求解平面问题，其基本未知量为：按应力求解平面问题，其基本未知量为： ，本节说明如，本节说明如何由何由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？xyyx,xyyx,问题：问题：3.3 位移分量的求出位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？求出形变分量、位移分量？xyyx,xyl1hMM弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答1. 形变分量与位移分量形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：由前节可知，其应力分量为：()12/3hMyyIMx0 xy0y平面应力情况下的

17、物理方程：平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量）形变分量)(1xyyE)(1yxxEGxyxy(a)将式（将式（a）代入得：）代入得：IMyEyIMyEx10 xy(b)xyl1hMM弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答（2）位移分量）位移分量将式（将式（b）代入几何方程得：）代入几何方程得：0 xvyuxyIMyExux1IMyEyvy(c)(b)将式（将式（c）前两式积分，得：）前两式积分，得：)(222xfyEIMv)(1yfxyEIMu(d)将式将式 (d) 代入代入 (c) 中第三式，得：中第三式，得：0)()(21xfyf

18、xEIM)()(12yfxfxEIM整理得：整理得：（仅为（仅为 x 的函数）的函数） （仅为（仅为 y 的函数）的函数）IMyEyIMyEx10 xy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答)()(12yfxfxEIM要使上式成立，须有要使上式成立，须有)(2xfxEIM)(1yf(e)式中：式中： 为常数。为常数。积分上式，得积分上式，得01)(uyyf220( )2MfxxxvEI 将上式代入式（将上式代入式（d），得），得0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)式中：式中：u0、v0、 由位移边界条由位移边界条件确定。

19、件确定。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答（1）讨论：讨论：常数00 xEIMyuxx当当 x = x0 =常数常数xEIMyu u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。常数00 xEIMyuxxyu0|xx说明：说明： 同一截面上的各铅垂同一截面上的各铅垂线段转角相同线段转角相同。横截面保持平面横截面保持平面 材力中材力中“平面保持平面平面保持平面”的假设成立的假设成立。xyl1hMM弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答（2）常

20、数EIMxv22102222vxxEIMyEIMv将下式中的第二式对将下式中的第二式对 x 求二阶导数：求二阶导数：0uyxyEIMu说明：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即率相同。即EIMxv221 材料力学中挠曲线微分方程材料力学中挠曲线微分方程弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答2. 位移边界条件的利用位移边界条件的利用（1）两端简支）两端简支其边界条件：其边界条件：000yxu000yxv将其代入将其代入(f)式，有式，有0202vlEIMl00u00vEIMl200ylxv0uyxyEIMu

21、02222vxxEIMyEIMv(f)弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答EIMl2将其代回将其代回(f)式，有式，有ylxEIMu)2( 22)(2yEIMxxlEIMv梁的挠曲线方程：梁的挠曲线方程：xxlEIMvy)(20 与材力中结果相同与材力中结果相同弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答（2）悬臂梁）悬臂梁边界条件边界条件0lxv0lxu22hyhh/2h/2由式（由式（f）可知，此边界条件无法满足。）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：边界条件改写为：0, 000y

22、lxylxvu（中点不动）（中点不动）00ylxxv（轴线在端部不转动）（轴线在端部不转动）0uyxyEIMu02222vxxEIMyEIMv(f)弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答h/2h/2代入式（代入式（f），有），有00u0202vllEIM0lEIM可求得：可求得：00uEIMlv220EIMlyxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMv弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答yxlEIMu)( 222)(2yEIMxlEIMvh/2h/2挠曲线方程：挠曲线方程：20

23、)(2|xlEIMvy与材料力学中结果相同与材料力学中结果相同说明：说明： （1）求位移的过程：求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程）将应力分量代入物理方程)(1xyyE)(1yxxEGxyxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答h/2h/2（b）再将应变分量代入几何方程）再将应变分量代入几何方程xvyuxyxuxyvy（c）再利用位移边界条件，确定常数。）再利用位移边界条件，确定常数。（2）若为平面应变问题，则将材料常数若为平面应变问题，则将材料常数E、 作相应替换。作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：若取固定端边界条件为：0

24、, 000ylxylxvu（中点不动）（中点不动）00ylxyu（中点处竖向线段转角为零）（中点处竖向线段转角为零）弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答h/2h/20, 000ylxylxvu00ylxyu00u得到：得到：0202vlEIMl0EIMl02222vxxEIMyEIMv0uyxyEIMu求得：求得：00uEIMlv220EIMl此结果与前面情形相同。此结果与前面情形相同。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3.4 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷要点要点 用用半逆解法

25、半逆解法求解梁、长板类平面问题。求解梁、长板类平面问题。llqlql1yzh/2h/2q1. 应力函数的确定应力函数的确定(1) 分析：分析：y 主要由弯矩引起；主要由弯矩引起；x 主要由剪力引起；主要由剪力引起；xy由由 q 引起（挤压应力）。引起（挤压应力）。又又 q =常数，图示坐标系和几何对称，常数，图示坐标系和几何对称，不随不随 x 变化。变化。y推得：推得：)(yfyxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(2)由应力分量表达式确定应力函数由应力分量表达式确定应力函数 的形式：的形式：),(yxF)(22yfxyF积分得：积分

26、得：)()(1yfyxfxF)()()(2212yfyxfyfxF(a)(b)(),(),(21yfyfyf 任意的待定函数任意的待定函数llqlql1yzh/2h/2qxy)(yfy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(3) 由由 确定：确定：04F)(),(),(21yfyfyf)(22)2(224yfyxF044xF)()()(2)4(2)4(1)4(244yfyxfyfxyF代入相容方程：代入相容方程：F444224442yyxxFFF0)(2)()()(2)2()4(2)4(1)4(2yfyfyxfyfxllqlql1yzh/2

27、h/2qxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答2(4)(4)(4)(2)12( )( )( )2( )02xfyxfyfyfy方程的特点：方程的特点：关于关于 x 的二次方程，且要求的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。内方程均成立。由由“高等代数高等代数”理论，须有理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：的一、二次的系数、自由项同时为零。即：(4)( )0fy (4)(2)2( )2( )0fyfy(4)1( )0fy 对前两个方程积分：对前两个方程积分：GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)此处

28、略去了此处略去了f1(y)中的常数项中的常数项由第三个方程得：由第三个方程得：)(2)()2()4(2yfyfBAy412积分得：积分得：23452610)(KyHyyByAyf(d)弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答GyFyEyyf231)(DCyByAyyf23)(c)23452610)(KyHyyByAyf(d)()(1yfyxfxF)()()(2212yfyxfyfxF(a)(b)将将(c) (d) 代入代入 (b) ，有，有)()(223232GyFyEyxDCyByAyxF)610(2345KyHyyByA(e)（d）式略去

29、了）式略去了f2(y)中的一次项和常数项中的一次项和常数项式中含有式中含有9个待定常数。个待定常数。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答2. 应力分量的确定应力分量的确定22yxFKHyByAyFEyxBAyx2622)26()26(223222xyFDCyByAy23yxxyF2)23()23(22GFyEyCByAyx(f)(g)(h)()(223232GyFyEyxDCyByAyxF)610(2345KyHyyByA(e)弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答232(62 )(6

30、2 )22622xxAyBxEyFAyByHyK32yAyByCyD22(32)(32)xyxAyByCEyFyG (f)(g)(h)3. 对称条件与边界条件的应用对称条件与边界条件的应用（1）对称条件的应用：）对称条件的应用：由由 q 对称、几何对称：对称、几何对称：yx, x 的偶函数的偶函数xy x 的奇函数的奇函数由此得：由此得：026 FEy0232GFyEy要使上式对任意的要使上式对任意的 y 成立，须有：成立，须有：0GFEllqlql1yzh/2h/2qxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答KHyByAyBAyxx262

31、2)26(2232DCyByAyy23)23(2CByAyxxy（2）边界条件的应用：）边界条件的应用：(a) 上下边界（主要边界）：上下边界（主要边界）：; 0,2xyhy;,2qhyy; 0,2yhy024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhAllqlql1yzh/2h/2qxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答024823DChBhAhqDChBhAh248230432CBhhA0432CBhhA由此解得：由此解得：,23hqA, 0B2qDhqC23代入应力公式代入应力公式KHyyhq

32、yxhqx26463323223233qyhqyhqyxhqxyhqxy23623( i )( j )( k )弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(b) 左右边界（次要边界）：左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）（由于对称，只考虑右边界即可。）, lx 未知22hyhlxxy022hyhlxx 难以满足，需借助于圣维南原理。难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：静力等效条件：轴力轴力 FN = 0；弯矩弯矩 M = 0；剪力剪力 FS = ql；()qldyFhhlxxyS22()022dyFhhlxxN()02

33、2dyyMhhlxxllqlql1yzh/2h/2qxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答0K02Kh0)2646(223323hhdyKHyyhqylhqqllyhqyhqlhy2232323620)646(24322232dyHyyhqyhqlhhhqhqlH1032qldylhqyhqlhh)236(2223这一条件自动满足。这一条件自动满足。()qldyFhhlxxyS22()022dyFhhlxxN()022dyyMhhlxx弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答)534(

34、)(622223hyhyqyxlhqx(p)截面上的应力分布：截面上的应力分布：xyxy)()(三次抛物线三次抛物线q22112hyhyqy22346yhxhqxyllqlql1yzh/2h/2qxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答)534()(622223hyhyqyxlhqx(p)22112hyhyqy22346yhxhqxy4. 与材料力学结果比较与材料力学结果比较材力中几个参数材力中几个参数：截面宽：截面宽：b=1 ,3121hI截面惯矩：截面惯矩：静矩：静矩：2822yhS弯矩：弯矩：)(222xlqM剪力：剪力：qxFS将

35、其代入式将其代入式 ( p ) ，有，有53422hyhyqyIMx22112hyhyqybISFsxy（3-6）llqlql1yzh/2h/2qxy弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答llqlql1yzh/2h/2qxy53422hyhyqyIMx22112hyhyqybISFSxy（3-6）比较，得：比较，得：（1）xxy第一项与材力结果相同，为主要项。第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当第二项为修正项。当 h / l1，该项误差很，该项误差很小，可略；当小，可略；当 h / l较大时，须修正。较大时，须修正。（2）y为

36、梁各层纤维间的挤压应力，材力中为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。不考虑。（3）与材力中相同。与材力中相同。注意：注意：按式（按式（3-6），梁的左右），梁的左右边界存在水平面力：边界存在水平面力：()lxxxf53422hyhyq说明式（说明式（3-6）在两端不）在两端不适用。适用。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答解题步骤小结：解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计对称性等），估计某个应力分量某个应力

37、分量（ ）的变化形式。）的变化形式。xyyx,由由 与应力函数与应力函数 的关系式，求得应力函数的关系式，求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。的具体形式（具有待定函数）。xyyx,),(yxF),(yxF（5）将具有待定函数的应力函数将具有待定函数的应力函数 代入相容方程：代入相容方程： 确确定定 中的待定函数形式。中的待定函数形式。),(yxF04F),(yxF（4） 由由 与应力函数与应力函数 的关系式，求得应力分的关系式，求得应力分量量 。xyyx,),(yxFxyyx,由边界条件确定由边界条件确定 中的待定常数。中的待定常数。xyyx,用半逆解法求解用半逆解法求解梁、矩形长板梁、

38、矩形长板类弹性力学平面问题的类弹性力学平面问题的基本步骤基本步骤：弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答附：附：应力函数确定的应力函数确定的“材料力学方法材料力学方法”要点：要点：利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。形式。适用性：适用性：直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。应力函数常可表示为：应力函数常可表示为：( , )( ) ( )x yf x g yF设法由边界面力先确定设法

39、由边界面力先确定 其中之一，然后将其代入其中之一，然后将其代入 确定另外一个函数。确定另外一个函数。)()(ygxf或40F材力中，应力分量与梁内力的关系为：材力中，应力分量与梁内力的关系为：2( )( )xySF x fy)()(1yfxMx式中：式中：M(x) 弯矩方程；弯矩方程；FS(x) 剪力方程。剪力方程。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答当有横向分布力当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力作用时，纵向纤维间存在挤压应力 ，y同时，横向分布力同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力的挤压作用时，对轴向应力

40、 也产生影响。也产生影响。x应力分量与梁内力的关系可表示为：应力分量与梁内力的关系可表示为：)()()()(21yfxqyfxMx)()(3yfxqy4( )( )xySF x fy考虑挤压应力影响导致考虑挤压应力影响导致然后由：然后由：2xyy xF 22yxF22xyF40F确定应力函数确定应力函数 的具体形式。的具体形式。F弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答例：例：悬臂梁，厚度为单位悬臂梁，厚度为单位1， =常数。常数。求：应力函数求：应力函数 及梁内应力。及梁内应力。Fbl解：解：(1) 应力函数的确定应力函数的确定xFSM取任

41、意截面，其内力如图：取任意截面，其内力如图：( )SF xb0)()()(xlbbxlxM取取 作为分析对象，可假设：作为分析对象，可假设：xy( ) ( )( )xySF x f ybf y（a） f(y)为待定函数为待定函数xy由由 与应力函数与应力函数 的关系，有：的关系，有：F2( )bf yx yF （b）对对 x 积分一次，有：积分一次，有：0( )( )bxf yfyyF xyO弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答对对 y 再积分一次，有：再积分一次，有：123( )( )( )bxf yfyfxF 0( )( )bxf y

42、fyyF 其中：其中：dyyfyf)()(02dyyfyf)()(1（c）blxFSMxyO由由 确定待定函数：确定待定函数：40F444422420 xxyyFFF0)()()()4(3)4(2)4(1xfyfybxf（d）弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答)(223242xCxBxA32()bx AyByCyF )(213141yCyByA( l )包含包含9个待定常数，由边界条件确定。个待定常数，由边界条件确定。(2) 应力分量的确定应力分量的确定221112(62 ) 1262xbxAyBA yB yCyF 22(32)xybA

43、yByCx yF 2222221262yA xB xCxF( m )blxFSMxyO弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答0)()()()4(3)4(2)4(1xfyfybxf要使上式对任意的要使上式对任意的x，y成立，有成立，有0)()()4(3)4(2xfyf0)()4(1yf（e）（f）由式（由式（ e）求得）求得CyByAyyf231)(（g）由式（由式（ f）得）得)()4(3xf)()4(2yf（h）（i）积分式（积分式（ h）和（）和（i）得）得2232423)(xCxBxAxf2131412)(yCyByAyf（j）（k）

44、blxFSMxyO弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答(3) 利用边界条件确定常数利用边界条件确定常数()()220,bbyxyyy ()()lxxylxx, 0()()22, 0byxybyy( o )代入可确定常数为：代入可确定常数为：0222CBA0111CBABAbC1代入式（代入式（m）得）得blxFSMxyO2111(62 )1262xbxAyBA yB yC 2(32)xybAyByC22221262yA xB xC( m )弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答xy0

45、x0yxyF注：注：也可利用也可利用 M（x）= 0，考虑，考虑0)()(yfxMx进行分析。此时有：进行分析。此时有：220 xyF1( )f xyF12( )( )yf xfxF)(),(21xfxf为待定函数，由相容方程确定。为待定函数，由相容方程确定。blxQMxyO弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答3.5 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力要点要点 半逆解法半逆解法（因次或量纲分析法）（因次或量纲分析法）gg问题的提出：问题的提出：楔形体，下部可无限延伸。楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：侧面受水压作用：g)m

46、/N(3（水的容重）；（水的容重）；自重作用：自重作用：g)m/N(3（楔形体的容重）（楔形体的容重）求：楔形体应力分布规律求：楔形体应力分布规律 。 xyyx,xyO弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答1. 应力函数及应力分量应力函数及应力分量(1) 分析分析：(a),gg,x 的量纲为：的量纲为：,gg)m/N(3 的形式应为：的形式应为：xgygxgygx,的线性组合。的线性组合。x 的量纲为：的量纲为：2N/m(b) 由由 推理得：推理得：22yxFF应为应为 x、y 的三次函数。的三次函数。应力函数可假设为：应力函数可假设为：3

47、223eycxyybxaxFggxyO弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答gggyxyO(2) 应力分量应力分量3223eycxyybxaxF考虑到：考虑到：fx = 0，fy = （常体力）（常体力）gcybx22xfyxx22Feycx62yfxyy22FyxxyF2gybyax26(a)显然，上述应力函数满足相容方程。显然，上述应力函数满足相容方程。弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答2. 边界条件的利用边界条件的利用(1) x=0 （应力边界）：（应力边界）：()0026xx

48、xcxeygy ()00220 xyxxbxcy gyey602 cy0c6ge代入式（代入式（a），则应力分量为：），则应力分量为：gggyxyObxxy2gyxgybyaxy26(b)弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答gggyxyON2(2) （应力边界）：（应力边界）： tanyx 0 xyff()()tantan0 xyyx yx ylm()()tantan0 xxyx yx ylm将将(b)代入，有代入，有0)tan2()(bymgyl0)2()(bxmgyl0)26()2(gybyaxmbxl0)2tan6()tan2(gy

49、byaymbyl0)2tan6(tan2gbambl0tan2bmgl弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答cosl其中：其中：sinm 代入，可求得：代入，可求得：0)2tan6(tan2gbambl0tan2bmgl3cot3cot6gga2cot2gb代入式（代入式（b），有：），有：gyxyggxggy)cot()cot2cot(232cotgxyxxy(3-7) 李维（李维（Levy）解答）解答弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答与材力结果比较：与材力结果比较：xyxy 沿水

50、平方向不变，在材力中沿水平方向不变，在材力中无法求得。无法求得。 沿水平方向线性分布，与材沿水平方向线性分布，与材力中力中偏心受压公式偏心受压公式算得结果算得结果相同。相同。 沿水平方向沿水平方向线性分布线性分布，材，材力中为力中为抛物线分布抛物线分布。xyx)(y)(沿水平方向的应力分布沿水平方向的应力分布x)(gyxyggxggy)cot()cot2cot(232cotgxyxxy(3-7)弹弹 性性 力力 学学 ELASTICITY3.平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答gggyxyOxyx)(y)(结果的适用性：结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再为当坝的横截面变化时，