389线段垂直平分线角平分线和轨迹.docx

《389线段垂直平分线角平分线和轨迹.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《389线段垂直平分线角平分线和轨迹.docx（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、线段垂直平分线、角平分线和轨迹学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位【本讲内容】1、掌握线段的垂直平分线的定理和逆定理2、掌握角平分线定理和逆定理；3、会用相关定理和逆定理进行几何证明；4、掌握线段垂直平分线和角平分线的常用添加辅助线的方法。【重点难点】掌握线段垂直平分线和角平分线的常用添加辅助线的方法。【考试分析】这个部分可能会考一些填空选择题，也有可能会考尺规作图题；考查几何证明题的可能性也很大，考查难度中等，所以必须掌握。知识梳理知识梳理 1. 线段的垂直平分线1 线段垂直平分线的概念：（三要素与已知线段垂直 平分 的直线）2 线段垂直平分线的画法：尺规作图步骤3 线段垂直平分线的定理

2、：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等数学语言表述： AO=BO,MNAB（已知） PA=PB（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）4. 线段垂直平分线的逆定理：和一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（即线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的点的集合）5. 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。6. 三角形三边垂直平分线的性质: 三角形三边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心，且这点到三角形三个顶点的距离相等。7. 线段的垂直平分线在作图中的应用公路边要建一超市，使它到 A、B 两居民点的距离相等，如何确定超市的位置？

3、 AB1MN知识梳理 2. 角平分线1 角的平分线的概念：从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。2 角是轴对称图形，它的对称轴是角的平分线所在的直线。3 角的平分线的画法：尺规作图4 点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。5 角的平分线性质定理：角的平分线上的点到这个角的两B边的距离相等。（该定理为我们提供了证明两条垂线段D相等的一个新思路。）P符号语言：点 P 在AOB 的角平分线上，PEOA，PDOBOEAPD = PE6 角的平分线性质的逆定理（判定）：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。该定理为我

4、们提供了证明两个角 相等 的一个新思路PEOA，PDOB，且 PD = PE点 P 在AOB 的角平分线上7.角平分线问题常用添加辅助线方法：(1)基于角平分线的性质而作的辅助线：过角平分线上的点向角的两边作垂线(2) 利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。(3)基于等腰三角形的“三线合一”性质而作的辅助线8 三角形三条角平分线的交点（称为三角形的内心）到三角形三边的距离相等。例题精讲【题目】（1）在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 BC 的延长线于 M， A 400 ，求NMB 的大小（2）如果将（1）中A 的度数改为700 ，其余条件不变

5、，再求NMB 的大小（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.AAANNN BB2CBCMMCM（4）将（1）中的A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改.【答案】（1）20; （2）35; （3）AB 的垂直平分线与底边 BC 所夹的锐角等于A 的一半（4）改为钝角后规律成立【解析】解：（1）B= 1/2（180-A）=70，M=20；（2）同理得，M=35；（3）规律是：M 的大小为A 大小的一半，即：AB 的垂直平分线与底边 BC 所夹的锐角等于A 的一半证明：设A=，则有B= 1/2（180-），M=90- 1/2（180-）= 1/2（4）改为钝角后规律成立上述规律为：等腰

6、三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半#知识梳理 1【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】当堂例题【难度系数】2【题目】在ABC 中，AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F，垂足为 D，E若 AC=6，BC=4，求BCF 的周长。CF【答案】10【解析】解：连接 BF，由线段的垂直平分线的性质可得，FBFA 又因为 ACAF+CF6， 所以 BF+CF6BCF 的周长BC+CF+BF4+610#知识梳理 1【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】当堂练习题【难度系数】2【题目】如图所示，AC=AD，BC=BD，AB 与 CD 相交于点 E。求证：直线

7、 AB 是线段 CD 的垂直平分线。【答案】见解析【解析】证明：因为 AC=AD所以 A 在线段 CD 的垂直平分线上又因为 BC=BD所以 B 在线段 CD 的垂直平分线上所以直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线#知识梳理 1【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】当堂例题A DBEACDB【难度系数】2【题目】如图所示，在ABC 中，AB=AC，BAC=1200 ，D、F 分别为 AB 、AC 的中点，DEAB，FGAC ，E、G 在 BC 上，BC=15cm，求 EG 的长度。【答案】见解析【解析】解：作 AHBC 于 H，HC=15/2等腰ACB=ABC=30AC=2EC

8、/根号 3EC=5 根号 3F 为 AC 中点FC=5/2 根号 3FGACCG=5同理，BE=5EG=5#知识梳理 1【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】当堂练习题【难度系数】2ADFB EGC【题目】已知：在ABC 中，ON 是 AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点 O 在 BC 的垂直平分线【答案】见解析【解析】分析：要证点在线段的垂直平分线上，用线段垂直平分线的逆定理只证 OB=OC（想到添辅助线）,已知 OA=OC，只要证 OB=OA，由 O 在 AB 的垂直平分线上即可（用线段的垂直平分线的定理）证明：连结 OBON 是 AB 的垂直平分线（已知）OA=OB （

9、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）AOA= OC（已知）NOB = OC（等量代换）O点 O 在 BC 的垂直平分线（和一条线段两端点距离相B等的点在这条线段的垂直平分线上）C#知识梳理 1【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】当堂例题【难度系数】2【题目】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）【选项】A、ABC 的三条中线的交点B、ABC 三边的中垂线的交点C、ABC 三条角平分线的交点D、ABC 三条高所在直线的交点【答案】C【解析】考点：线段垂直平分线的性质。专题：应用题。分析：由于凉亭到

10、草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是ABC 三条角平分线的交点由此即可确定凉亭位置解答：解：凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭选择ABC 三条角平分线的交点故选 C#知识梳理 1【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】当堂练习题【难度系数】2【题目】如图 1-2，AB/CD，BE 平分ABC，CE 平分BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。A【答案】见解析ED【解析】在此题中可在长线段 BC 上截取 BF=AB，再证明 CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已BFC证明。此题的证明也可以延长

11、BE 与 CD 的延长线交于一点来证明。#知识梳理 2【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】当堂练习题【难度系数】2图1-2【题目】已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证 DCAC【答案】见解析【解析】分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。#知识梳理 2AED图1-3 A【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】当堂练习题【难度系数】2C【题目】已知：如图 1-4，在ABC 中，C=BED2B,AD 平分BAC， 求证：AB-AC=CD【答案】见解析【解析】此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等

12、三角形，此题还是证明线B段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明#知识梳理 2【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】当堂例题【难度系数】2C图1-4【题目】如图 2-1，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。DEF求证：ADC+B=180A【答案】见解析【解析】分析：可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证ADC 与B 之和为平角。#知识梳理 2BC【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】当堂练习题【难度系数】2图2-1【题目】如图 2-2，在ABC 中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+ADAD【答案】

13、见解析BEC图2-2【解析】分析：过 D 作 DEBC 于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。#知识梳理 2【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】当堂练习题【难度系数】2习题演练【题目】）如图，在ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于的 AB 的长为半径画孤，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD若ADC 的周长为 10，AB=7，则ABC 的周长为（）【选项】A、7B、14C、17D、20【答案】C【解析】考点：线段垂直平分线的性质。专题：几何图形问题；数形结合

14、。分析：首先根据题意可得 MN 是 AB 的垂直平分线， 即可得 AD=BD ，又由ADC 的周长为 10，求得AC+BC 的长，则可求得ABC 的周长解答：解：在ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于的 AB 的长为半径画孤，两弧相交于点 M，N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 ADMN 是 AB 的垂直平分线，AD=BD，ADC 的周长为 10，AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，AB=7，ABC 的周长为：AC+BC+AB=10+7=17【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【题目】如图，在 RtACB 中，C=

15、90，BE 平分ABC，ED 垂直平分 AB 于 D若 AC=9， 则 AE 的值是（）【选项】A、6B、4C、6D、4【答案】C【解析】分析：由角平分线的定义得到CBE=ABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EB，则A=ABE，可得CBE=30，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BE=2EC，即 AE=2EC ，由AE+EC=AC=9，即可求出 AC解答：解：BE 平分ABC，CBE=ABE，ED 垂直平分 AB 于 D，EA=EB，A=ABE，CBE=30，BE=2EC，即 AE=2EC， 而 AE+EC=AC=9，AE=6故选 C【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨

16、迹【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【题目】如图所示，RtABC 中，D 是 AB 上一点，BD=BC，过 D 作 AB 的垂线交 AC 于点E，CD 交 BE 于点 F。求证：BE 垂直平分 CD。【答案】见解析【解析】证明：DEAB，ACB90BDEACB90BDBC，BEBEBCEBDE（HL）CBEDBEBFBFBCFBDF（SAS）BFCBFD，CFDFBFC+BFD180BFCBFD90BECDBE 垂直平分 CD【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2CEFADB【题目】在ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点 O 作直线 MNB

17、C，与ACB 的角平分线交于点 E，与ACB 的外角平分线交于点 F，求证：OE=OF【答案】见解析【解析】解：MNBC，OEC=BCE，OFC=GCF，又已知 CE 平分BCO，CF 平分GCO，OCE=BCE，OCFGCF，OCE=OEC，OCF=OFC，EO=CO，FO=CO，EO=FO【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【题目】如图所示，ABAC， A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，自 D 作DEABEBMCA于 E， DFAC于F ，求证：BE=CF。【答案】见解析【解析】证明：连接 DC，DB点 D 在 BC 的垂直平分线上FD

18、B=DCD 在BAC 的平分线上DDE=DFDFC=DEBDCFDEBCF=BE【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【题目】如图，直线 CP 是 AB 的中垂线且交 AB 于 P，其中 AP=2CP甲、乙两人想在 AB 上取两点 D、E，使得 AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作ACP、BCP 之角平分线，分别交 AB 于 D、E，则 D、E 即为所求；（乙）作 AC、BC 之中垂线，分别交 AB 于 D、E，则 D、E 即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）【选项】A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确【

19、答案】D【解析】考点：线段垂直平分线的性质。分析：先根据直线 CP 是 AB 的中垂线且交 AB 于 P，判断出ABC 是等腰三角形，即 AC=BC， 再根据线段垂直平分线的性质作出 AD=DC=CE=EB解答：解：甲错误，乙正确证明：CP 是线段 AB 的中垂线，ABC 是等腰三角形，即 AC=BC，A=B， 作 AC、BC 之中垂线分别交 AB 于 D、E，A=ACD，B=BCE，A=B，A=ACD，B=BCE，AC=BC，ACDBCE，AD=EB，AD=DC，EB=CE，AD=DC=EB=CE故选 D【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【题目】如

20、图，等腰ABC 中，AB=AC，A=20线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则CBE 等于（）【选项】A、80B、70C、60D、50【答案】C【解析】先根据ABC 中，AB=AC，A=20求出ABC 的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出 AE=BE，即A=ABE=20即可解答解答：解：等腰ABC 中，AB=AC，A=20，ABC=80，DE 是线段 AB 垂直平分线的交点，AE=BE，A=ABE=20，CBE=ABCABE=8020=60故选 C【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】课后两周练习【难度系数】2【题目】如图，在 RtABC

21、中，C=90，B=30AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，则下列结论不正确的是（）【选项】A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、CAE=B【答案】B【解析】考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的性质。分析：根据线段垂直平分线的性质，得 AE=BE；根据等角对等边，得BAE=B=30；根据直角三角形的两个锐角互余，得BAC=60，则CAE=BAE=30，根据角平分线的性质，得CE=DE解答：解：A、根据线段垂直平分线的性质，得 AE=BE故该选项正确；B、因为 AEAC，AE=BE，所以 ACBE故该选项错误；C、根据等角对等边，得BAE=B=30；根据直角

22、三角形的两个锐角互余，得BAC=60 则CAE=BAE=30，根据角平分线的性质，得 CE=DE故该选项正确；D、根据 C 的证明过程故该选项正确故选 B【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】课后两周练习【难度系数】2【题目】如图，AC=AD，BC=BD，则有（）【选项】A、AB 垂直平分 CDB、CD 垂直平分 ABC、AB 与 CD 互相垂直平分D、CD 平分ACB【答案】A【解析】考点：线段垂直平分线的性质。分析：由已知条件 AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点 A 在 CD 的垂直平分线上，同理，点 B 也在 CD 的垂直平分线上，于是 A 是符合题意的，

23、是正确的，答案可得解答：解：AC=AD，BC=BD，点 A，B 在线段 CD 的垂直平分线上AB 垂直平分 CD 故选 A【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】课后一个月练习【难度系数】2【题目】已知如图 2-3，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证：BAC 的平分线也经过点 P。【答案】见解析BAN DPM FC图2-3【解析】分析：连接 AP，证 AP 平分BAC 即可，也就是证 P 到 AB、AC 的距离相等。【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】阶段测验【难度系数】3【题目】如图 7，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。【答案】见解析【解析】证明：延长 BA，CE 交于点 F，在BEF 和BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，从而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在ABD 和ACF 中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中 BE 是等腰BCF 的底边 CF 的中线。【知识点】线段垂直平分线、角平分线和轨迹【适用场合】随便练练【难度系数】3