线性代数ppt课件3-2矩阵的初等变换与初等矩阵.ppt

《线性代数ppt课件3-2矩阵的初等变换与初等矩阵.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数ppt课件3-2矩阵的初等变换与初等矩阵.ppt（41页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2 2 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵(0)ijiijrrrk krkr ；(0)ijiijccck kccr ； 97963422644121121112B31cc 32cc 514cc 523cc 543cc 34cc标准形矩阵特点：标准形矩阵特点：rm nEOOO 任意矩阵经过初等变换总可以化为标准形任意矩阵经过初等变换总可以化为标准形.左上角是一个单位矩阵，其余元素均为左上角是一个单位矩阵，其余元素均为0.标准形的形式有四种：标准形的形式有四种：0nm nE 0mm nE mE满足以下三个性质的关系称为等价：满足以下三个性质的关系称为等价：” ” 表示表示. .等价用

2、等价用“1.反身性，反身性，AA；2.对称性，若对称性，若AB，则，则BA；3.传递性，若传递性，若AB，BC，则，则ACABrABcAB二、引例二、引例121212100001010aabbcc1212120110aabbcc121212100aabbkcc 12121210000001aakbbcc0k 12121210010001kaabbcc121212101aakbbcc 三、初等矩阵三、初等矩阵(0)ijiijrrrk krkr ；(0)ijiijccck kccr ；1、对调两行或两列、对调两行或两列 1101111011),(jiE行行第第行行第第Eijrr ijccE(i,j

3、)( , )E i j A( , )( , )E i j E i jE 1,.E i jE i j ijrrAjiccA( , )AE i j2、以非零数、以非零数k乘某行或某列乘某行或某列E,0irk k ,0ick k 1111)(kkiE行行第第E(i(k) 11.E i kE ik ,(0)( ( )ir kkAE i kA ,(0)( ( )ickkAAE i k , 3、以数、以数k乘某行（列）加到另一行乘某行（列）加到另一行Eijrkr jickc 行行第第行行第第111( )11TTimTjTmkEi j kA M MO OM MO OO OM M1TTTijTjTmk M M

4、M MM M 111( ),11nijnkAEi j kaaaa O OLLLLLLO OO O 1,ijinaaakaaLLLLLL11111111kk OOOOOOOOOOOOE E(i j(k)( )E i j kA 1.E i j kE i jk ijrkrA jickcA ( ( )AE ij k例例1 021102341010100001100001010X解矩阵方程解矩阵方程(1,2)EX(2,3)E 143201120 1(1,2)E 1(2,3)E (1,2)E(2,3)E 201143120 (2,3)E 210134102 例例2解矩阵方程解矩阵方程(1,2)EX (13

5、(1)E 1234567891(1,2)E 1(13(1)E (1,2)E(13( 1)E 456123789(13( 1)E 010101123100010456001001789X 452122782四、初等变换的性质四、初等变换的性质nm A方阵可逆的充要条件方阵可逆的充要条件AAE定理定理2 2： n n 阶方阵阶方阵可逆可逆设设A可逆，且标准形为可逆，且标准形为000rE , rn 000rEA 11000rtsEPPQQA 左端行列式为左端行列式为0，右端行列式不为，右端行列式不为0 ，矛盾，矛盾.AEEAAE11tsPP EQQA 初等矩阵可逆，有限个可逆阵乘积也可逆初等矩阵可逆

6、，有限个可逆阵乘积也可逆.ArAE可以写成有限个初等矩阵的乘积可以写成有限个初等矩阵的乘积cAEmn rAB矩阵，则矩阵，则（1）cAB,.;Q st AQB （2）AB（3）存在可逆阵存在可逆阵,.;P st PAB 存在可逆阵存在可逆阵,.P Q st PAQB 存在可逆阵存在可逆阵12 lAAP PP L L当当 可可逆逆时时，由由，有有,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 1111111111,llllP PPA P PP E L LL L 1,E A 11111 ,llP PPA E L L 2(,)nnA E 即即对对矩矩阵阵施施行行初初等等行行变变换换

7、，求求1 .AEEA 行行最最简简形形, ,当当把把变变成成时时，原原来来的的就就变变成成. ,343122321 1 AA求求设设122rr 133rr 23rr 12rr 3( 1)r 132rr 235rr 21()2r 1132353.22111A 求解求解Ax=B11 ( ,)(,)AA BE A B Q Q1XA B 1 ( ,)(,)rA BE A B (,)A B即即对对矩矩阵阵施施行行初初等等行行变变换换，求求1 .AEBA B 行行最最简简形形, ,当当把把变变成成时时，原原来来的的就就变变成成.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求矩阵

8、122rr 133rr 21rr 23rr 3( 1)r 235rr 132rr 21()2r 132 23 .13XA B .1 CAY即可得即可得作初等行变换，作初等行变换，也可改为对也可改为对),(TTCA , 1作初等列变换，作初等列变换，则可对矩阵则可对矩阵如果要求如果要求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换),)( ,(),1TTTTCAECA （行变换行变换TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得( ,)A E,rAB,.;P st PAB 求求( ,)( ,)P A EB P ( ,)( ,)rA EB P( ,)B PP211112462A

9、 FP.PAF 设设的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为，求，求，并求一个可逆矩阵，并求一个可逆矩阵，使，使F( ,)(,)rA EF P12rr322rr 212rr 23rr 324rr 12rr 101011000F 3313211083P 八、思考题八、思考题,1222201111A,00110001 .niji jnAA L LL LL LM MM MM MM ML L、 已已知知方方阵阵求求中中所所有有元元素素的的代代数数余余子子式式之之和和, 02 A.可逆可逆A.1* AAA且且 2222100001110100,0011001000010001A E L LL LL LL LL

10、LL LM MM MM MM MM MM MM MM ML LL L 100010001100010001100010001210001,100011000110001211 A,21* AA njiijA1,故故. 1)1()1(21 2 nn100201.010A 2 2、将将矩矩阵阵表表示示成成有有限限个个初初等等方方阵阵的的乘乘积积100100( ,)201010010001A E 23rr100100010001001210 212rr 2( 1)r 3( 1)r 23rr212rr 2( 1)r 3( 1)r (21( 2),E (2( 1),E (3( 1),E (2,3).E 经经化成单位矩阵化成单位矩阵AE而这而这4次初等行变换所次初等行变换所为为:由初等方阵的性质得由初等方阵的性质得(2,3)(3( 1)(2( 1)(21( 2)EEEEAE于是于是 1(2,3)(3( 1)(2( 1)(21( 2)AEEEE (21(2)(2( 1)(3( 1)(2,3)EEEE(21(2)(2( 1)(3( 1)(2,3)AEEEE100100100100210010010001001001001010 注：答案不唯一注：答案不唯一2 2 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵