随机变量的方差和标准差ppt课件.ppt

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1、1 随机变量随机变量X的数学期望，描述了随机变量的数学期望，描述了随机变量X取值取值的集中趋势或平均水平，但是仅仅知道的集中趋势或平均水平，但是仅仅知道X的数学期望的数学期望有时还不能完全刻划随机变量有时还不能完全刻划随机变量X的统计特征。比如，的统计特征。比如，某厂生产一批元件，平均使用寿命某厂生产一批元件，平均使用寿命E( (X)=)=1000小时，小时，仅由此我们还很难了解这批元件质量的好坏，因为仅由此我们还很难了解这批元件质量的好坏，因为有可能有一半的元件质量很高，寿命在有可能有一半的元件质量很高，寿命在1500小时以小时以上，而另一半却质量很差，寿命不足上，而另一半却质量很差，寿命不

2、足500小时，从而小时，从而反映出质量不稳定。可见应进一步考察元件寿命反映出质量不稳定。可见应进一步考察元件寿命X对对期望期望E( (X) )的偏离程度。下面介绍的方差就是用来描的偏离程度。下面介绍的方差就是用来描述随机变量的可能取值与其期望之间的差异程度的述随机变量的可能取值与其期望之间的差异程度的数量特征。数量特征。 2一、方差的定义一、方差的定义 如如果果随随机机变变量量X的的数数学学期期望望存存在在，称称X- -E( (X) )为为随随机机变变量量X的的离离差差。 由由于于0)(E)(E)E(E XXXX，离离差差有有正正有有负负，为为了了消消除除离离差差符符号号的的影影响响和和数数学

3、学上上便便于于处处理理，用用2)(EXX 来来衡衡量量X与与E( (X) )的的偏偏差差。 定义定义设设X是是随随机机变变量量，数数学学期期望望E( (X) )存存在在，并并且且 2)(EEXX 也也存存在在，则则称称之之为为X的的方方差差，记记作作D( (X ) )， 即即2)(EE)(DXXX )(D X称为称为X的的标准差标准差。 3从从方方差差的的定定义义我我们们可可以以看看出出，X的的方方差差D( (X) )实实际际上上是是随随机机变变量量2)(EXX 的的期期望望，因因此此0)(D X。当当随随机机变变量量的的可可能能取取值值以以较较大大的的概概率率集集中中在在数数学学期期望望附附

4、近近时时，方方差差较较小小，否否则则方方差差较较大大。因因此此，方方差差的的大大小小可可以以反反映映随随机机变变量量分分布布的的分分散散程程度度。 2)(EE)(DXXX 计算公式计算公式: :2)(EE)(DXXX 22)E()(E)(E2)(EXXXX 22)E()(EDXXX )E()(E2E22XXXX 22)E()(EXX 41. 1. 若若X是是离散型离散型随机变量，其概率分布为随机变量，其概率分布为 ,PiipxX , 2 , 1 i则则.)(E22 iiipxX计算公式计算公式: :22)E()(EDXXX 2. 2. 若若X为为连续型连续型随机变量，其概率密度为随机变量，其概

5、率密度为 f( (x) )，则则.d)()(E22 xxfxX5 设设X表示机床表示机床A一天生产的产品废品数，一天生产的产品废品数，Y 表表示机床示机床B一天生产的产品废品数，它们的概率分布一天生产的产品废品数，它们的概率分布如下：如下： X0120.5P 30.30.10.1例例1 1解解Y0120.6P 30.10.20.1问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等问：两机床哪台质量好？设两台机床的日产量相等。 .8 . 0)(E)(E YX均值相等均值相等, , 据此不能判断优劣据此不能判断优劣, ,再求方差再求方差. .6X0120.5P 30.30.10.1Y0120.6P 30

6、.10.20.1.8 . 0)(E)(E YX均值相等均值相等, , 据此不能据此不能判断优劣判断优劣, ,再求方差再求方差. .，6 . 11 . 091 . 043 . 015 . 00)(E2 X,8 . 11 . 092 . 041 . 016 . 00)(E2 Y.96. 08 . 06 . 1)(E)(E)(D222 XXX.16. 18 . 08 . 1)(E)(E)(D222 YYY 由于由于D( (X) ) D( (Y),),因此机床因此机床A的波动较机床的波动较机床B的的波动小波动小, ,质量较稳定质量较稳定. . 7 其它其它, 010,21)(xxxf解解例例2 2 设

7、随机变量设随机变量X的概率密度函数的概率密度函数 求求：EX, , DX. . ，31d21E10 xxxX， 51d21E1022 xxxX.454)E(ED22 XXX8二、方差的性质二、方差的性质性质性质1 D( (C )=0)=0，其中其中C是常数。是常数。 性质性质2 若若k是常数是常数, 则则性质性质3. )(D)(D2XkkX 证证 2)(EE)(DkXkXkX 22)(EEXXk . )(D2Xk , )(D)(DXCX 其中其中C是常数。是常数。 2)(EE)(DCXCXCX 2)(EEXX 证证. )(D X 9性质性质4 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量，则是两个相互

8、独立的随机变量，则 )(D)(D)(DYXYX 2)(EE)(DYXYXYX 2)E()E(EYYXX )E)(E( 2)E()E(E22YYXXYYXX )E)(E(2)E(E)E(E22YYXXEYYXX ，)E)(E(E2)(D)(DYYXXYX 证证而而 )E)(E(EYYXX )(E)(E)(E)(E(EYXYXXYXY , )(E)(E)(EYXXY 10 ，)E)(E(E2)(D)(D)(YYXXYXYXD , )(E)(E)(E)E)(E(EYXXYYYXX 当当X和和Y相互相互独立独立时时，有有E(XY)=E(X)E(Y)，所以所以)(D)(D)(DYXYX ， niinii

9、XX11)(DD推广：推广： niiiniiiXkXk121)(DD若若X1,X2,Xn两两两两独立独立,则则性质性质4 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量，则是两个相互独立的随机变量，则 )(D)(D)(DYXYX 证证11)(DYX )32(DYX 注意注意：以下两个式子是等价的：以下两个式子是等价的,)(D)(D)(D)(E)(E)(EYXYXYXXY 0)(D X的充分必要条件为的充分必要条件为,存在常数存在常数C,使使.1P CX事实上事实上,. )(E XC )(D)(DYX 例如例如, ,当当X和和Y相互独立相互独立时时, ,有有性质性质5)(D9)(D4YX ， niinii

10、XX11)(DD niiiniiiXkXk121)(DD若若X1,X2,Xn两两两两独立独立,则则12三、切比雪夫不等式三、切比雪夫不等式 随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散程随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散程度的，因此我们希望用方差来估计随机变量与其期望度的，因此我们希望用方差来估计随机变量与其期望值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界。值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界。 定理定理( (切切比比雪雪夫夫不不等等式式) ) 设设随随机机变变量量X具具有有数数学学期期望望 )(E X, ,方方差差2)(D X, ,则则对对0 , ,有有 22P X成立成立. .13定理定

11、理22P X成立成立. .证证设设X是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为f( (x) ), ,则则 xxfXEXxd)()(P xxfxxd)()(22 .22 xxfxd)()(122 ( (切切比比雪雪夫夫不不等等式式) ) 设设随随机机变变量量X具具有有数数学学期期望望 )(E X, ,方方差差2)(D X, ,则则对对0 , ,有有 1422P X上式可改写为上式可改写为221P X 切切比雪夫不等式具体地估算了随机变量比雪夫不等式具体地估算了随机变量X取值取值时，以数学期望时，以数学期望E( (X) )为中心的分散程度。不难看为中心的分散程度。不难看出，方差出

12、，方差D( (X) )越小，则随机变量越小，则随机变量X的取值越集中在的取值越集中在数学期望数学期望E( (X) )的附近，由此可以进一步体会到方的附近，由此可以进一步体会到方差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度。差的概率意义，它刻划了随机变量的分散程度。 如取如取， 3 111. 093| P22 X15 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是数平均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用切比雪夫不等利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率 .设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为X

13、 ，依题意，依题意，E(X)=7300, D(X)=7002 ，例例3 3解解由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式， ,70017300P22 X得得取取，2100 222100700194005200P X.98 16 根据过去统计资料，某产品的次品率为根据过去统计资料，某产品的次品率为p= =0.05，试用切比雪夫不等式估计试用切比雪夫不等式估计1000件产品中，次品数在件产品中，次品数在4060之间的概率之间的概率.例例4 4解解设设X表示表示1000件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则 )05. 0 , 1000( BX,5005. 01000)(E npX,5 .4795. 050)1()(D pnpX由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式， 10506040P XPX2105 .471 .525. 0 17 该数值是非常保守的估计，事实上，由中心极该数值是非常保守的估计，事实上，由中心极限定理可知，概率约为限定理可知，概率约为 525. 06040P X注注：.853. 01)5 .4710(2 18练习：练习：P131 习题四习题四