高等数学(7)多元函数微分学---简明版ppt课件.ppt

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1、 假设已经搞懂了一元函数的微假设已经搞懂了一元函数的微分（包括极限、连续和导数概念）分（包括极限、连续和导数概念）理论，那么这一章的主要任务就理论，那么这一章的主要任务就是弄清多元函数微分与一元函数是弄清多元函数微分与一元函数微分的联系与区别。微分的联系与区别。 其中，从直线到平面的推广或其中，从直线到平面的推广或拓展，是最值得注意的。特别是拓展，是最值得注意的。特别是与极限概念相关的部分。与极限概念相关的部分。6.1多元函数的基本概念多元函数的基本概念1. N维空间中的点集维空间中的点集2. N维空间中点列的收敛维空间中点列的收敛3. 多元函数的定义多元函数的定义4. 多元函数的极限多元函数

2、的极限5. 多元函数的连续性多元函数的连续性第六章第一节作业题第六章第一节作业题1（2,4）；）；2；3（2,4,5,6）；）；4；5（3）；）；8.1 .n维欧氏空间点集（点集拓扑的基本概念）维欧氏空间点集（点集拓扑的基本概念）(2) 中两点间的中两点间的距离（欧式距离或度量）距离（欧式距离或度量）定义；定义；欧氏（向量）空间欧氏（向量）空间，向量的模向量的模。nR(1) n元有序数组所组成的集合（元有序数组所组成的集合（n维空间与维空间与n维点维点）.(3) ) 欧欧氏氏空间中的某些基本拓扑概念：空间中的某些基本拓扑概念：（ii）欧式空间一个子集的）欧式空间一个子集的内点内点、外点外点、边

3、界点边界点和和边界边界；集合的；集合的聚点聚点。（iii）开集开集、闭集闭集、（弧或道路）、（弧或道路）连通集连通集；（开）；（开）区域（区域（连通开集连通开集）、闭区域（闭区域（开区域加上边界开区域加上边界）。（iv）有界集有界集、无界集无界集。去心去心 邻域邻域；一般的一般的邻域邻域概念。概念。 （i） -邻域邻域；2. n维欧式空间中点列的收敛（维欧式空间中点列的收敛（n维空间中的极限）维空间中的极限）（1）n维欧式空间中点列收敛维欧式空间中点列收敛的定义（的定义（ 语言）语言）N （2）n维空间点列收敛的坐标刻画（定理维空间点列收敛的坐标刻画（定理6-1）.（3）点列收敛的某些基本性质

4、：极限的唯一性、）点列收敛的某些基本性质：极限的唯一性、点列有界性；极限与加、减、乘运算的可交换性。点列有界性；极限与加、减、乘运算的可交换性。注：由于在注：由于在n维空间中没有序（大小）的规定，也没有维空间中没有序（大小）的规定，也没有除法，所以没有所谓单调性，保号性，确界和除法的除法，所以没有所谓单调性，保号性，确界和除法的讨论。讨论。（4）n维空间中的柯西列维空间中的柯西列，以及点列收敛的柯西准，以及点列收敛的柯西准则（即则（即n维欧式空间的度量完备性维欧式空间的度量完备性-定理定理6-2）。）。（5）由点列极限刻画）由点列极限刻画集合集合聚点聚点-极限点极限点（定理（定理6-3）。）。

5、3.多元函数多元函数（1）多元函数的定义）多元函数的定义-本质上就是本质上就是n维空间某个子集维空间某个子集到实数集的映射。到实数集的映射。 符号与概念符号与概念:自变量、因变量、定义域、值域（这个自变量、因变量、定义域、值域（这个集合的表示）；集合的表示）；自然定义域自然定义域约定。约定。【例【例6-1】一定量的理想气体的压强】一定量的理想气体的压强p，体积，体积V和绝对温和绝对温度度T之间具有关系之间具有关系 , 其中其中R为常数为常数.VRTp 【例【例6-2】长方体体积】长方体体积V是它的长是它的长x，宽，宽y，高，高z的三元函的三元函数数xyzV 【例【例6-3】求函数】求函数 的定

6、义域的定义域.xeyxu )2)(1ln(（2）多元初等函数。多元初等函数。（3）多元函数的图）多元函数的图-曲面与曲面与超曲面超曲面概念概念（参见书中图（参见书中图6-2），二元（连续）函数的图像。），二元（连续）函数的图像。4.多元函数的极限（本章的难点大多在这一节）多元函数的极限（本章的难点大多在这一节） 注：多元函数的极限，在本质上与一元函数的极限注：多元函数的极限，在本质上与一元函数的极限是一致的。但是在某些形式和性质上却往往有很多是一致的。但是在某些形式和性质上却往往有很多区别。多元函数的极限与二元函数的极限，无论是区别。多元函数的极限与二元函数的极限，无论是性质和形式，差异都很小

7、。所以这里以二元函数为性质和形式，差异都很小。所以这里以二元函数为主介绍相关内容。主介绍相关内容。（1）多元函数极限的定义（）多元函数极限的定义（ 语言定义语言定义-定义定义6-4 ） ),(21nxxxfu， （注：在二维空间情况下记为（注：在二维空间情况下记为 ）( , )zf x y 即即0,0,0,(0|( )|)apDppf pa 则称常数则称常数a)(pf0pp 是函数是函数在在时的极限。记为时的极限。记为apfpp )(lim0设设000 (, )( )( , )oapUpDf pU a 0p是定义在是定义在 上的上的n元函数，元函数，nDR 。如果。如果是是 的聚点的聚点D注：

8、经常记注：经常记),(),(,)(101120nnniiiaapxxpaxpp 其中其中 特别的，在特别的，在n=2时，根据上面的记法，并记时，根据上面的记法，并记),(, ),(000yxpyxp 则上述极限可以记作则上述极限可以记作ayxfyxfyyxxyxyx ),(lim),(lim0000),(),(或者或者00( , )( , )(,)f x yax yxy注意：上述极限注意：上述极限-称为称为重极限重极限-的刻画，也可以利用空的刻画，也可以利用空间的矩形邻域，间的矩形邻域，用各个坐标之间的距离描述用各个坐标之间的距离描述。【例【例6-4】用定义证明】用定义证明. 0lim2222

9、)0,0(),( yxyxyx（2）例与反例）例与反例【例【例6-5】设】设 讨论当讨论当(x,y) (0,0)时，时，f (x,y)的极限是否存在？的极限是否存在？,),(22yxxyyxf 从下面例子可以看出，多元函数的极限，情况远从下面例子可以看出，多元函数的极限，情况远比一元函数极限的情况复杂。比一元函数极限的情况复杂。【例【例6-6】求】求.11lim)0,0(),( xyxyyx注：为什么多元函数的极限比较复杂呢？注：为什么多元函数的极限比较复杂呢？ 仅考虑二维的情况，二维点可以从平面的任何方向仅考虑二维的情况，二维点可以从平面的任何方向趋近于定点，对应于这些不同的趋近路线，函数取

10、值趋近于定点，对应于这些不同的趋近路线，函数取值的变化可能千差万别。而在一维情况下，函数自变量的变化可能千差万别。而在一维情况下，函数自变量只有两个方向趋近于定点，易于观察和验证。只有两个方向趋近于定点，易于观察和验证。下面是可以按常规算法求极限的几道例题。下面是可以按常规算法求极限的几道例题。【例【例6-8】求】求.)sin(lim222)0,0(),(yxyxyx 【例【例6-7】求】求.)sin(lim)2,0(),(xxyyx（3）累次极限概念。）累次极限概念。),(lim00yxfyyxx),(limlim00yxfyyxx00lim lim( , )yy xxf x y问题：请考察

11、下面三个符号，问题：请考察下面三个符号，；讨论一下，它们所表达的是什么意思？有区别吗？讨论一下，它们所表达的是什么意思？有区别吗？定义（定义（6-5）-累次极限累次极限概念（从二次推广到概念（从二次推广到n次）。次）。从从几何直观几何直观考虑累次极限与重极限的区别。考虑累次极限与重极限的区别。 （4）累次极限与重极限之间的某些关系）累次极限与重极限之间的某些关系（i）重极限存在不意味着累次极限存在，例如：）重极限存在不意味着累次极限存在，例如：2211sinsin(0)( , )0(0)xyxyyxf x yxy 当自变量趋近于当自变量趋近于0时，其累次极限都不存在，但是重时，其累次极限都不存

12、在，但是重极限为极限为0. 注：请从函数的图像观察一下上述现象产生的原因。注：请从函数的图像观察一下上述现象产生的原因。（ii）累次都极限存在，变换顺序也可不相等。）累次都极限存在，变换顺序也可不相等。考察函数考察函数yxyxyxyxf 22),(（自变量趋近于（自变量趋近于0）.（v）两个相互关联的结论：）两个相互关联的结论： 若重极限与累次极限都存在，则它们不能不相等若重极限与累次极限都存在，则它们不能不相等；反之，如累次极限存在且不相等，则重极限不能存在反之，如累次极限存在且不相等，则重极限不能存在。（iv）累次极限存在且相等，重极限也可能不存在。）累次极限存在且相等，重极限也可能不存在

13、。,),(22yxxyyxf 其累次极限均为其累次极限均为0，但重极限不存在。，但重极限不存在。直观说明直观说明：如果两个累次极限不相等，那么从函数：如果两个累次极限不相等，那么从函数的图像可以看出，在接近的图像可以看出，在接近z轴的时候，图像一定有轴的时候，图像一定有断裂（或上下撕裂）的现象，重极限不可能存在。断裂（或上下撕裂）的现象，重极限不可能存在。时，观察函数时，观察函数)0 , 0(),(yx例例：当：当（iii）一个累次极限存在，另一个也可能不存在。一个累次极限存在，另一个也可能不存在。例：考察函数例：考察函数).0 , 0(),( ,1sin),( yxyxyxf当当1.计算下列

14、极限（考虑累次极限，留作练习）：计算下列极限（考虑累次极限，留作练习）：.lim)3(22yxyxyxyx 222222( , )(0,0)1cos()(1)lim;()(1)xyx yxyxye 32211(2)lim(1);x yxyxyxy ;)(lim22222)0,0(),(yxyxyxyx 2.判断判断 该极限是否存在，该极限是否存在，若认为不存在，请说明理由；若存在，极限是什么？若认为不存在，请说明理由；若存在，极限是什么？22( , )(0,0)1limsinx yxyxy 3.讨论讨论 的情况。的情况。附录附录-一点补充：关于累次极限和重极限的关系一点补充：关于累次极限和重极

15、限的关系。 前面仅仅讨论了二元函数的累次极限与重极限之间的前面仅仅讨论了二元函数的累次极限与重极限之间的部分关系，并没有全面展开。但不妨碍自己探讨。部分关系，并没有全面展开。但不妨碍自己探讨。 有同学提出：假设重极限和某个累次极限存在，是否有同学提出：假设重极限和某个累次极限存在，是否这两个极限也必然是相等的。这是对的。下面给出证这两个极限也必然是相等的。这是对的。下面给出证明。明。byxfayxfyyxxyxyx ),(limlim;),(lim0000),(),(假设函数满足如下关系：假设函数满足如下关系： 下面证明下面证明 。用反证法，假设。用反证法，假设 ，将推出矛，将推出矛盾盾 。记

16、。记 ba ba .2,|rrba 由于重极限存在并且由于重极限存在并且 ，存在，存在 ，00( , )(,)lim( , )x yxyf x ya ， 00lim lim( , )xxyyf x yb 0000lim lim( , )lim( ,).xxyyxxf x yx yb 当当 时，时， 。记。记 |00yyxx |),(|ayxf因此有因此有 由于由于 所以存在所以存在 ，先取定，先取定 2|),(| ,0101 byxxx020|( , )( ,)|2yyf x yx y 。由（。由（1）式，可取）式，可取 0,满足满足10min(,)2oxUx ，2 00lim( , )( ,

17、)yyf x yx y （1）再取再取 ，于是有下面关系式，于是有下面关系式成立：成立：20min(,)2oyUy ，00| |( , )|( , )|( , )( ,)|( ,)|abaf x yf x ybf x yx yx yb r 22 这与这与 矛盾。矛盾。|2abr 注：以上，其实也证明了累次极限都存在，则这些注：以上，其实也证明了累次极限都存在，则这些极限都相等。极限都相等。 但是，一个累次极限与重极限存在（则相等），并但是，一个累次极限与重极限存在（则相等），并不能推出另一个累次极限存在。可自行举例。不能推出另一个累次极限存在。可自行举例。（1）多元函数连续的定义（）多元函数连

18、续的定义（ 语言定义语言定义-定义定义6-6） 0000 (, )( )( (), )pU pDf pU f p 即即000lim( )(lim)()ppppf pfpf p0p是是 的聚点，并且属于的聚点，并且属于DD，如果，如果000,0,(|( )()|)pDppf pf p 也就是也就是),(21nxxxfu， ( , )zf x y 元函数，元函数，设设 是定义在是定义在 上的上的n（注：在二维空间情况下记为（注：在二维空间情况下记为 ）nDR 则称函数在则称函数在 点处是连续的。点处是连续的。0p5.多元函数的连续性多元函数的连续性 对照一元函数函数连续的定义，可以看出，这里的对照

19、一元函数函数连续的定义，可以看出，这里的多元函数连续定义，并没有本质区别。所不同的是，多元函数连续定义，并没有本质区别。所不同的是，这里的点不是一个数，而是一个这里的点不是一个数，而是一个“多维点多维点”，它是，它是由由n个数描述的。因此在具体分析多元函数连续性的个数描述的。因此在具体分析多元函数连续性的时候，所要分析的情形也可能复杂一些。时候，所要分析的情形也可能复杂一些。 比如说，下面用函数增量的形式表述多元（这里以比如说，下面用函数增量的形式表述多元（这里以二元函数为例）函数的连续性，就会产生一些新的概二元函数为例）函数的连续性，就会产生一些新的概念。记念。记0000(,)(,)f xx

20、 yyf xy ；),(),(00yxfyxfz 0 xxx 0yyy ；。则二元函数则二元函数 在点在点 处连续就是处连续就是( , )zf x y ),(000yxp 0lim)0,0(),( zyx这里的这里的),(),(00yxfyxfz 0000(,)(,)f xx yyf xy 被称为函数的被称为函数的全增量全增量。注注1：这里所谓函数的不连续点，与一元微积分中一：这里所谓函数的不连续点，与一元微积分中一样，不要求这个点属于定义域，只要求属于定义域的样，不要求这个点属于定义域，只要求属于定义域的聚点集。不连续点也可能不是孤立点（例如一条线）。聚点集。不连续点也可能不是孤立点（例如一

21、条线）。注注2：如果多元函数在某个集合上有定义，并且该集合：如果多元函数在某个集合上有定义，并且该集合中的每个点都是函数的连续点，则称这个函数中的每个点都是函数的连续点，则称这个函数在该集合在该集合上是连续的上是连续的（尽管在定义域外可能有不连续点）。（尽管在定义域外可能有不连续点）。（2）连续函数的某些性质）连续函数的某些性质（i）对四则运算的封闭性）对四则运算的封闭性-初等函数的连续性。初等函数的连续性。【例【例6-9】求】求.)ln(lim222)1 ,2(),(yxexyyx （ii）有界闭集上的多元连续函数具有：最值性；）有界闭集上的多元连续函数具有：最值性；一致连续性。一致连续性。

22、（iii）在连通集（区域）上的连续函数具有介值性。）在连通集（区域）上的连续函数具有介值性。注注：（：（ii）的证明，涉及到有界闭集的紧性）的证明，涉及到有界闭集的紧性-既满足既满足有限覆盖性质（每个开覆盖都有有限子覆盖）。有限覆盖性质（每个开覆盖都有有限子覆盖）。（iii）的证明，涉及到连续映射保持连通性，以及）的证明，涉及到连续映射保持连通性，以及实数子集连通的充要条件是该子集是一个区间。实数子集连通的充要条件是该子集是一个区间。注：考虑函数的连续性以及定义域的区域。注：考虑函数的连续性以及定义域的区域。复习题复习题6-1（1）讨论）讨论422sinyxkyx 在在 时是否存在极限？若存在

23、，其极时是否存在极限？若存在，其极限限与与k的取值是否相关？若不存在，请说明理由。的取值是否相关？若不存在，请说明理由。)0 , 0(),(yx习题习题6.1-6. 假设二元函数关于一个变量连续，关于另一个变量假设二元函数关于一个变量连续，关于另一个变量满足李普希斯条件。证明该函数是连续的。满足李普希斯条件。证明该函数是连续的。讨论：如果二元函数关于每个单个变量是连续函数，讨论：如果二元函数关于每个单个变量是连续函数，是否可以认为这个函数是连续的二元函数？是否可以认为这个函数是连续的二元函数？222222(0);( , )0(0)xyxyxyf x yxy 6.2 偏导数与高阶偏导数偏导数与高

24、阶偏导数1.1.偏导数偏导数2.2.高阶偏导数高阶偏导数第六章第二、三节作业题第六章第二、三节作业题第二节：第二节：1;2（2,4,6）；）；3（2）；）；4；5；6；7;9（2，4）；）；10；12.第三节：第三节：1；2（3,5,6）；）；4；5（2）；）；6；8；11.1.偏导数偏导数（1）偏导数的定义与派生概念）偏导数的定义与派生概念),(21nxxxfu， 多元函数多元函数关于第关于第i个自变量个自变量的的偏增量、偏增量、以及对第以及对第i个自变量的个自变量的偏导数、可偏导偏导数、可偏导。（以二元、三元函数为例）及其记号。（以二元、三元函数为例）及其记号。偏导函数偏导函数0ippux

25、 00 x xyyzx 00 x xyyfx 00yyxxxz ),(00yxfx 00(,)xfxy（i）在某点的）在某点的偏导数记法：偏导数记法：（ii）偏导函数）偏导函数的记法：的记法：,iux zx ,fx ( , )xfx y ,( , )xfx y00 x xyyfy 00(,)yfxy 等。等。（2）偏导数的几何意义）偏导数的几何意义（3）偏导数计算方法）偏导数计算方法-将将其它变量看做参数其它变量看做参数即可即可【例【例6-10】设】设 z=ln(x+lny)，求，求.,),1(),1(eeyzxz 【例【例6-11】设】设 求求.,yxzz,arcsin)1(yxyxz 【例

26、【例6-12】设】设 验证验证.0 yzyxzx,arcsinxyxyz 【例【例6-13】求】求 的偏导数的偏导数.222zyxr 【例【例6-14】设一金属平板在点】设一金属平板在点(x,y)处的温度由处的温度由 确定，其中确定，其中T的单位是的单位是，x,y的单位是的单位是m，求，求T在点在点(2,1)处沿处沿x方向和方向和y方向的变化率方向的变化率.22160),(yxyxT 2.高阶偏导高阶偏导-混合偏导混合偏导（1）高阶偏导高阶偏导、二阶混合偏导二阶混合偏导、高阶混合偏导高阶混合偏导。（2）混合偏导与求导顺序无关的问题（证明略）混合偏导与求导顺序无关的问题（证明略）2244xyyx

27、xxyyx yzzfffx y y xx x y y 例：例：成立的条件是成立的条件是相关的各阶偏导函数都连续相关的各阶偏导函数都连续。注意记法中的顺序关系：注意记法中的顺序关系：2()xyzzfx yyx 22,.zzxyzy 【例【例6-15】求函数】求函数 z=xsin(x+y)+ycos(x+y) 的二阶混合的二阶混合偏导数偏导数,2yxz 。xyz 2【例【例6-17】验证函数】验证函数 满足方程满足方程2221zyxu .0222222 zuyuxu注：拉普拉斯方程注：拉普拉斯方程。关于关于6-16例题的计算和说明例题的计算和说明： 这里需要注意的是，无论是一阶偏导数的计算还是这里

28、需要注意的是，无论是一阶偏导数的计算还是二阶混合偏导数的计算，涉及到（二阶混合偏导数的计算，涉及到（0,0）点，都需要）点，都需要按照偏导数的定义计算。按照偏导数的定义计算。 因为函数在（因为函数在（0，0）点的定义，不是直接根据解）点的定义，不是直接根据解析表达式给出的。析表达式给出的。【例【例6-16】设函数】设函数,000),(22222222 yxyxyxyxxyyxf求求).0 , 0()0 , 0(yxxyff和和6.36.3全微分与高阶全微分全微分与高阶全微分1.1.一阶全微分概念一阶全微分概念2.2.一阶全微分的几何意义一阶全微分的几何意义3.3.连续、可偏导、可微之间的关系连

29、续、可偏导、可微之间的关系4.4.计算与应用计算与应用5.5.高阶全微分高阶全微分1.全微分（一阶）概念全微分（一阶）概念（1）回顾一元函数微分的定义。）回顾一元函数微分的定义。（2）全增量的代数解释：）全增量的代数解释：z 0000(,)(,)f xx yyf xy 是关于是关于yx ,的一个二元函数。的一个二元函数。注：思考一下这个二元函数的局部图像（注意自变注：思考一下这个二元函数的局部图像（注意自变量是量是 ）。例如函数）。例如函数 ，其全增量为，其全增量为yx ,xyez z )1(0000 yxxyyxyxee这个函数的图像是一个越来越弯曲（随着这个函数的图像是一个越来越弯曲（随着

30、 不不断增大）的曲面。断增大）的曲面。yx ,（3）全微分）全微分 的定义的定义-可微可微与与可微函数可微函数dz)(22yxdzz ；yBxAdz 由由不难看出，这里的全微分是一个线性函数。但是它在不难看出，这里的全微分是一个线性函数。但是它在一个局部区域，与二元函数一个局部区域，与二元函数 十分接近。令十分接近。令),(yxz 00000(,)()() ()zf xyzzA xxB yydz显然这是一个平面方程。经过曲面上的点显然这是一个平面方程。经过曲面上的点),(,(),(0000000yxfyxzyx 换句话说，如果我们用全微分代替原来函数的全换句话说，如果我们用全微分代替原来函数的

31、全增增量量 ，就是在以一个平面代替原来的曲面。而这，就是在以一个平面代替原来的曲面。而这个个平面与曲面交于点平面与曲面交于点0000(,(,)xyf xyf 为了看的更清楚，先讨论这里的常数为了看的更清楚，先讨论这里的常数A和和B是什么？是什么？;.zzABxy如果可微，上述微分式中有：如果可微，上述微分式中有：下面先将主要的关系陈列出来，再具体讨论。下面先将主要的关系陈列出来，再具体讨论。多元函数相比于一元函数，情况要复杂一些。多元函数相比于一元函数，情况要复杂一些。3.连续、可偏导、可微之间的关系连续、可偏导、可微之间的关系 现在起码知道，如果函数在这一点可微，已有现在起码知道，如果函数在

32、这一点可微，已有两条曲面上曲线的切线在这个平面上了。两条曲面上曲线的切线在这个平面上了。 (参见参见6.8.2)2.全微分的几何意义全微分的几何意义-贴近曲面的平面（图贴近曲面的平面（图6-5）（1）过点）过点 ，法向量为，法向量为 的平面。的平面。),(,(0000yxfyx)1,( BA（2）切平面切平面概念概念（合理的要求是：曲面上曲线的切线在其切平面上）。（合理的要求是：曲面上曲线的切线在其切平面上）。注：前面讨论，已知这个平面就是用全微分代替全注：前面讨论，已知这个平面就是用全微分代替全增量所得到的那个平面。增量所得到的那个平面。注：能否认为上述平面就是曲面的切平面呢？注：能否认为上

33、述平面就是曲面的切平面呢？yyzxxzdz （3+）函数连续）函数连续+可偏导，不保证函数可微；可偏导，不保证函数可微；（4）偏导函数连续，则函数可微（逆命题不成立）。）偏导函数连续，则函数可微（逆命题不成立）。（已证明了）（已证明了） ；（1）连续不一定可偏导（与一元函数相似之处）；）连续不一定可偏导（与一元函数相似之处）；（2）可偏导不一定连续（与一元函数不同）；）可偏导不一定连续（与一元函数不同）；（3）可微必连续、可偏导，并且全微分必为）可微必连续、可偏导，并且全微分必为说明：（说明：（i）关于（）关于（1）的例：）的例：yxyxfz ),(连续，连续，但关于但关于y,在点（在点（0,

34、0）处不可偏导。）处不可偏导。（ii）关于结论（）关于结论（2）的例：考虑函数）的例：考虑函数 ).0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(242yxyxyxyxyxfzdyyzdxxz 该函数在（该函数在（0，0）处的两个偏导数都存在，但在该点）处的两个偏导数都存在，但在该点不连续。不连续。也是关于两个自变量单独分别连续的例子也是关于两个自变量单独分别连续的例子。 分别考虑二维点沿着分别考虑二维点沿着x=0和和 趋近于（趋近于（0，0）时的极限，可知函数在该点不连续。时的极限，可知函数在该点不连续。2xy 二元函数由二维（平面）区域的取值所确定。而两二元函数由二维（平面）区域的取值所确

35、定。而两个偏导数的存在仅仅由函数在与坐标轴平行的两条直个偏导数的存在仅仅由函数在与坐标轴平行的两条直线上的取值情况所决定，无法决定函数的整体形态。线上的取值情况所决定，无法决定函数的整体形态。（iii）结论（）结论（3）-可微的必要条件可微的必要条件-的证明（的证明（定理定理6-5）。注意：如记）。注意：如记（iii+）函数连续，且可偏导，但是不可微的例子。）函数连续，且可偏导，但是不可微的例子。. ),(lim),(lim0),(),(00yxfyxfyxyx 2200()()xxyy 则则【例【例6-18】证明函数】证明函数 000),(222222yxyxyxxyyxf在在O(0,0)处

36、存在偏导数，但却不可微处存在偏导数，但却不可微.简述：注意到简述：注意到020),()0,0(),(22 yxyxyxf此外，在（此外，在（0,0）点处的两个偏导数都是）点处的两个偏导数都是0，于是，于是22)()(yxyxdzz 22)()(yxyxdzz ；显然，它没有确定的极限，当然也不能以显然，它没有确定的极限，当然也不能以0为极限。为极限。（iv）可微的充分条件）可微的充分条件-定理定理6-6的证明的证明注：证明的关键点在于，由偏导函数的连续性，当注：证明的关键点在于，由偏导函数的连续性，当0)()(22 yx 时，时，),(),(11yxfyyxxfxx 022( ,)( , )y

37、yfx yyfx y0所以所以 都是都是 的高阶无穷小。的高阶无穷小。yx 21, （iv+）可微推不出来偏导函数连续，考虑函数）可微推不出来偏导函数连续，考虑函数 )0 , 0(),(0)0 , 0(),(1sin)(),(2222yxyxyxyxyxf dzz2222)()(1sin)()(yxyx 因为因为0)(1sin)(lim)0 , 0(220 xxxfxx0)0 , 0( yf；。所以所以它显然是它显然是0)()(22 yx 时，关于时，关于 的高阶的高阶 无穷小。无穷小。221sin 但是但是22111( ,0)2 sin2cosxfxxxxx也显然在（也显然在（0,0）点不连

38、续。）点不连续。（5）微分中值公式与增量公式）微分中值公式与增量公式（i）微分中值公式微分中值公式只要函数可偏导（有偏导函数），则只要函数可偏导（有偏导函数），则z 010002(,)(,+)xyfxx yyxfxyyy 002010(,)(,)yxfxx yyyfxx yx )1 , 0(, ji 其中其中 。 注：这个公式不意味函数可微。注：这个公式不意味函数可微。（ii）增量公式增量公式z 12( )dzxydz 当函数的当函数的偏导函数连续的时候偏导函数连续的时候，便有（见前面可微，便有（见前面可微充分条件的讨论与符号说明）：充分条件的讨论与符号说明）：这提供了近似计算的方法。这提供了

39、近似计算的方法。在上面的证明中，附带得到如下结果：在上面的证明中，附带得到如下结果：4.全微分的计算与应用全微分的计算与应用注：关于四则运算的全微分计算公式，和一元函数注：关于四则运算的全微分计算公式，和一元函数微分计算公式在形式上完全一样，可自行验证。微分计算公式在形式上完全一样，可自行验证。【例【例6-19】计算】计算 在点在点(2,1)处的全微分处的全微分.yxyz)ln( 【例【例6-20】计算函数】计算函数 的全微分的全微分. yzxyyxu333 下面本质上是求全微分函数（不仅是某点处的微分）：下面本质上是求全微分函数（不仅是某点处的微分）：【例【例6-21】求下列函数的全微分：】

40、求下列函数的全微分：;)1(22yxxyxyyxz .)2(yxxyz （iii）近似计算与误差估计）近似计算与误差估计【例【例6-22】求】求 的近似值的近似值.32004. 3003. 2002. 1 解：考虑函数解：考虑函数 ，取定点为（，取定点为（1,2,3），），32),(zxyzyxf 004. 0,003. 0,002. 0 zyx，然后代入微分公式。，然后代入微分公式。【例【例6-23】利用单摆摆动测定重力加速度】利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是的公式是.422Tlg 现测得单摆摆长现测得单摆摆长l与振动周期与振动周期T分别为分别为l=1000.1cm, T=20.004s

41、，问由于测定，问由于测定l与与T的误差而引起的误差而引起g的绝对的绝对误差和相对误差各为多少？误差和相对误差各为多少？给出给出 的绝对误差估计的绝对误差估计 ，一般可以用全微分。，一般可以用全微分。gg gdgTglgggTlTTllg 这里可以更宽松些，令这里可以更宽松些，令gllTTgg，则，则可得绝对误差估计。其相对误差估计为可得绝对误差估计。其相对误差估计为 。gg 5.二阶与高阶全微分二阶与高阶全微分如果偏导数还可微，则有如果偏导数还可微，则有222)(2)()(dyfdxdyfdxfdzdzdyyxyxx 222xxxyyyf dxf dxdyf dy dydxffffdydxyy

42、yxxyxx,),(进一步，可以归纳定义高阶微分：进一步，可以归纳定义高阶微分：)(1zddzdnn 从二阶全微分公式不难看出更高阶的全微分表示从二阶全微分公式不难看出更高阶的全微分表示显然会比较繁复。显然会比较繁复。 而且，显然多元函数的研究，将会和矩阵理论密切而且，显然多元函数的研究，将会和矩阵理论密切关联。因为矩阵，其实就是某种意义上的关联。因为矩阵，其实就是某种意义上的“高维高维”数。数。【例【例6-24】设】设 求求),ln(22yxz .2zddz 和和附录附录. 讨论下面习题的解法（教材讨论下面习题的解法（教材6-2第第10题）：题）：.?)0 , 0(?,)0 , 0(. |,

43、|),( yxxyffyxxyyxxyyxf设函数：设函数：计算：计算：6.4 多元复合函数与隐函数的微分法多元复合函数与隐函数的微分法1.1.链式法则链式法则2.2.全微分形式不变性全微分形式不变性3.3.隐函数存在定理的与隐函数求导法则隐函数存在定理的与隐函数求导法则第六章第四、五节作业题第六章第四、五节作业题第四节：第四节：1(1,4);2(1);3;4(1,4);5;6(1,3);7(2);8;9(1)第五节：第五节：1(2，3);2;3(2);4.1 多元复合函数求导的链式法则多元复合函数求导的链式法则多元复合函数情况复杂，基本类型大体可有四类。多元复合函数情况复杂，基本类型大体可有

44、四类。下面先将这几类情况做一简介。仅以二元函数为例，下面先将这几类情况做一简介。仅以二元函数为例，三元函数或一般三元函数或一般n元函数可以类推。元函数可以类推。（1）（）（多套多型多套多型）：设）：设),(vufz ),(),(,yxvyxu 于是复合函数为：于是复合函数为：( ( , ),( , )zfx yx y （1）。）。（2）（）（一套多型一套多型）：设）：设( )zf u ,( , )ux y 复合为复合为( ( , )zfx y （2）。）。（3）（）（多套一型多套一型）设）设),(vufz ,( ),( )ut vt复合函数为复合函数为( ( ),( )zftt （4）（）（偏

45、复合偏复合-或或部分复合型部分复合型）( , , )f x y u,( , )ux y 复合函数为复合函数为( , , ( , )zf x yx y （3）.（4）. 下面将证明下面将证明“多套多型多套多型”的复合求导公式，给出其的复合求导公式，给出其它计算公式。并特别说明所谓它计算公式。并特别说明所谓“偏复合型偏复合型”函数求导函数求导公式中的符号约定。公式中的符号约定。设有函数设有函数假设所涉及的函数都是可微的。假设所涉及的函数都是可微的。（1+）多套多型复合函数求导公式（矩阵表达）多套多型复合函数求导公式（矩阵表达） vzuzyvyuxvxuyzxz yvvzyuuzxvvzxuuz仅说

46、明第一个分量等式的证明关键。记仅说明第一个分量等式的证明关键。记22)()(vuuv 并注意到在每个点处并注意到在每个点处xuxux 0lim0limxvvxx 都是存在的。因此都是存在的。因此22)()()()()(xvxuxxxxuvuvuvuvuvuv 可知可知0)(lim0 xuvx ，再利用全增量公式，可得，再利用全增量公式，可得【例【例6-25】（多套多型）】（多套多型）)cos()sin()(xyeyxezyxxy 的偏导数的偏导数.求函数求函数xvvzxuuzxvvzxuuzxxvvzxuuzxzxxuvx 000limlim)(lim 【例【例6-28】设】设 其中其中f (

47、u)为可导函数，为可导函数，.yzxz 和和),(22yxfz 求求（2+）“一套多型一套多型”-（2）式的求导公式）式的求导公式yududzyzxududzxz ,这种情况与一元复合函数情况基本相同。但要注意这种情况与一元复合函数情况基本相同。但要注意这里的符号表示（全导符号）。这里的符号表示（全导符号）。（3+）多套一型）多套一型-（3）式的求导公式（全导数）式的求导公式（全导数） dtdyyzdtdxxzdtdzz dz dx dty dt 【例【例6-27】设】设 ，而，而 ，求全导数，求全导数yxez2 3,sintytx .dtdz（4+）偏复合型）偏复合型-（4）式的求导公式）式

48、的求导公式首先对（首先对（4）式的含义做一些说明。）式的含义做一些说明。( , , ( , )zf x yx y 只是一个二元函数，但是只是一个二元函数，但是( , , )f x y u在这里却是被看在这里却是被看做一个三元函数。所以如下符号做一个三元函数。所以如下符号( , , )( , , )xffx y ux y ux xf表示仅对表示仅对 中出现的中出现的x求导，将求导，将u看做常数。看做常数。( , , )f x y u换句话说，这里的三个变量，换句话说，这里的三个变量， 在函数表达式在函数表达式 中，是被看做相互独立无关的。中，是被看做相互独立无关的。( , , )f x y uu

49、yx、),(),(,(yxvyxuyxgz 可类似考虑可类似考虑 类型的函数。类型的函数。【例【例6-26】设】设.yzxz 和和.,sin2xyvyxuxvezu 求求而而 所表示的，则是对所表示的，则是对xzzx ( , , ( , )zf x yx y xuufxfuffzxuxx 对于有更多变元的偏复合型函数的求导公式，可类对于有更多变元的偏复合型函数的求导公式，可类似得到。似得到。中所出现的所有中所出现的所有x 求导。这里没有求导。这里没有 ，仅仅是将函数，仅仅是将函数中出现的中出现的y 看做常数。根据这样的约定，注意到微分看做常数。根据这样的约定，注意到微分 ，可得（，可得（4）式

50、的求导公式：）式的求导公式：uufyfxfdfuyx 【例【例6-29】设】设,ln,),sin(2utvyvextyxzu .,vzuz 求求（v）复合函数的高阶导数）复合函数的高阶导数 从计算角度讲，求具体函数高阶导已没有困难。无从计算角度讲，求具体函数高阶导已没有困难。无非是继续利用前面的各种计算公式。非是继续利用前面的各种计算公式。 但是在做一般讨论但是在做一般讨论-即表述抽象函数高阶导数的公式即表述抽象函数高阶导数的公式时时-其表达式还是会比较复杂。因此有必要细心辨析。其表达式还是会比较复杂。因此有必要细心辨析。并且为了简化表式，有时也会引入一些新的符号。如并且为了简化表式，有时也会