高等数学-第七版-ppt课件-12-9-傅里叶级数习题课.ppt

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1、第九讲 傅里叶级数习题课傅里叶级数习题课傅里叶级数习题课一、内容小结二、题型练习傅里叶级数习题课傅里叶级数习题课一、内容小结二、题型练习傅里叶级数傅里叶级数以以2为周期为周期 )sincos(210nxbnxaannn 以以22为周期为周期的三角级数的三角级数f( (x) )2 , 1 , 0( n na 1nxcosxd)(xf)(xfxdnxsin)2 , 1( n 1 nb傅里叶级数傅里叶级数 , 定义在定义在 上上 周期延拓周期延拓 奇函数奇函数 0 0 02正弦级数正弦级数 傅里叶系数傅里叶系数傅里叶级数傅里叶级数以以 2为周期为周期 )sincos(210nxbnxaannn 以以

2、22为周期为周期的三角级数的三角级数f( (x) )2 , 1 , 0( n na 1nxcosxd)(xf)(xfxdnxsin)2 , 1( n 1 nb傅里叶级数傅里叶级数 , 定义在定义在 上上 周期延拓周期延拓 奇函数奇函数 正弦级数正弦级数 (偶函数偶函数)0 0 02(余弦级数余弦级数)傅里叶级数傅里叶级数以以2为周期为周期 )sincos(210nxbnxaannn 以以22为周期为周期的三角级数的三角级数f( (x) )2 , 1 , 0( n na 1nxcosxd)(xf)(xfxdnxsin)2 , 1( n 1 nb傅里叶级数傅里叶级数 , 定义在定义在 上上 周期延

3、拓周期延拓 奇函数奇函数 正弦级数正弦级数 (偶函数偶函数)(余弦级数余弦级数), 0 定义在定义在 上上 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓 周期延拓周期延拓 傅里叶级数傅里叶级数以以l 2为周期为周期 )sincos(210lxnblxnaannn 以以2 2l为周期的为周期的三角级数三角级数f( (x) )2 , 1 , 0( n na lll1lxncosxd)(xf)(xfxdlxnsin)2 , 1( n lll1 nb傅里叶级数傅里叶级数 变量代换变量代换傅里叶展开傅里叶展开收敛定理收敛定理 设设f (x)是以是以2l 为周期的周期函数为周期的周期函数,如果它满足如果它满足:(1) 在一

4、个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,(2) 在一个周期内至多只有有限个极值点在一个周期内至多只有有限个极值点,则则f (x) 的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛,并且并且:当当x是是f(x)的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于f(x);当当x是是f(x)的间断点时的间断点时,级数收敛于级数收敛于 )()(21 xfxf傅里叶级数习题课傅里叶级数习题课一、内容小结二、题型练习傅里叶级数习题课傅里叶级数习题课一、内容小结二、题型练习二、题型练习二、题型练习（一）傅里叶级数的和函数（二）傅里叶级数的展开（三）傅里叶系数的特征二、题型练习二、题型练习（一）

5、傅里叶级数的和函数（二）傅里叶级数的展开（三）傅里叶系数的特征u例例1 设设 则其以则其以 0101)(2xxxxf2为周期的为周期的 傅里叶级数在傅里叶级数在 x处收敛于何值处收敛于何值. u例例2 函数函数 0101)(xxxf在在 , 上展开为上展开为 傅里叶级数，傅里叶级数， 写出其和函数写出其和函数 ).(xsu例例3 设设 ),0()(2 xxxxf又设又设 )(xs是是 )(xf在在 ), 0(内以内以 2为周期的正弦级数展开式的和函数，求当为周期的正弦级数展开式的和函数，求当 )2 , ( x时时 )(xs的表达式的表达式. u例例4 设设 )(xf其中其中 ,cos2)(10

6、 xxnaaxsnn210 xx12122 xx, ), 2 , 1 , 0( ,dcos)(210 nxxnxfan求求 .25 su补补1 设设 ),10()(2 xxxf,sin)(1 xxnbxsnn其中其中 , ), 2 , 1( ,dsin)(210 nxxxfbn求求 .21 s二、题型练习二、题型练习（一）傅里叶级数的和函数（二）傅里叶级数的展开（三）傅里叶系数的特征二、题型练习二、题型练习（一）傅里叶级数的和函数（二）傅里叶级数的展开（三）傅里叶系数的特征u例例5u例例6u例例7 121nn将将 展开成以展开成以2为周期的为周期的) 11( |2)( xxxf傅里叶级数，并由

7、此求级数傅里叶级数，并由此求级数 的和的和.将将 上展开成傅里叶级数，上展开成傅里叶级数，2)(xxf 并由此求级数并由此求级数 12) 12(1nn的和的和. 在在 , 将将 上展开成傅里叶级数上展开成傅里叶级数.)0(sin)( aaxxf在在 ), ( u补补2 将将 展开为以展开为以 202)( xxxf2为周期的为周期的傅里叶级数，并由此求级数傅里叶级数，并由此求级数 11121) 1(nnn的和的和. l注注 注意分情况讨论注意分情况讨论.二、题型练习二、题型练习（一）傅里叶级数的和函数（二）傅里叶级数的展开（三）傅里叶系数的特征二、题型练习二、题型练习（一）傅里叶级数的和函数（二

8、）傅里叶级数的展开（三）傅里叶系数的特征u例例8u例例9u例例10u补补3若若 在在)(xf试证试证, 上满足上满足)()(xfxf )(xf的傅里叶系数的傅里叶系数. 0220 nnbaa若若 在在)(xf试证试证, 上满足上满足)()(xfxf )(xf的傅里叶系数的傅里叶系数. 01212 nnba设设 是是)(xf试证试证, 上的偶函数，上的偶函数， xfxf22)(xf的傅里叶系数的傅里叶系数. 0, 02 nnab若若 上的连续函数，上的连续函数，)(x 和和 , 问问)(x 为为 )()(xx )(x 的傅里叶系数的傅里叶系数nnba ,与与)(x 的傅里叶系数的傅里叶系数nn ,有什么关系有什么关系?