圆的一般方程课件ppt.ppt

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1、圆的一般方程圆的一般方程OCM( (x, ,y) )x2+y2+Dx+Ey+F=0复习回顾复习回顾:圆的标准方程？圆的标准方程？222rbyax将标准方程展开会得到怎样的式子呢？将标准方程展开会得到怎样的式子呢？其中其中,圆心的坐标是圆心的坐标是ba ,r02222222rbabyaxyx其中其中a，b，r均为常数均为常数我们能否将以上形式写得更简单一点呢？我们能否将以上形式写得更简单一点呢？思思 考考半径大小是半径大小是FrbaEbDa 222,2,2令令02222222rbabyaxyx由于由于a,b,r均为常数均为常数022FEyDxyx结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：任何一

2、个圆方程可以写成下面形式：022FEyDxyx（1）是不是任何一个形如是不是任何一个形如 x2 y2DxEyF0 方程表示的曲线是圆呢？方程表示的曲线是圆呢？探探 究究尝试尝试1： 判断下列方程分别表示什么图形判断下列方程分别表示什么图形（1）圆）圆 圆心为（圆心为（1，-2），半径为），半径为3（2）点（）点（1，-2）（3）不表示任何图形）不表示任何图形方程（方程（1）并不一）并不一定表示圆定表示圆（3）x2+y2-2x+4y+6=0（1）x2+y2-2x+4y-4=0（2）x2+y2-2x+4y+5=0思思 考考 方程方程x2 y2DxEyF0 (1) 在什在什么条件下表示圆？么条件下表

3、示圆？配方可得：配方可得：22224()()224DEDEFxy（1）当）当D2+E2-4F0时，表示以（时，表示以（ ）为圆心，）为圆心， 以以( ) 为半径的圆为半径的圆（2）当）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解时，方程只有一组解X=-D/2 y=-E/2，表示一个点（，表示一个点（ ）（3）当）当D2+E2-4F0时，方程（时，方程（1）无实数解，）无实数解，所以所以不表示任何图形。不表示任何图形。2,2ED FED42122 2,2ED x2 y 2DxEyF0圆的圆的一般方程一般方程与与标准方程标准方程的关系：的关系：（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）（1）a=

4、，b= ，r= FED42122没有没有xy这样的二次项这样的二次项（2）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点：x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0； 2.圆的标准方程圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2D2E2 1.圆的一般方程圆的一般方程:2 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。请求出圆的圆心及半径。1 已知圆已知圆 的圆心坐的圆心坐标为标为(-2,3),半径为半径为4,则则D,E,F分别等于分别等于022FEyDxyx3

5、, 6, 4)(A3 , 6 , 4)(B3, 6 , 4)(C3, 6, 4)(D应应 用用D（1）2224460 xyxy2244412110 xyxy（2）（3）22220 xyaxb方法一：待定系数法方法一：待定系数法解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上22222251507( 1)7028280DEFDEFDEF 4612DEF 22(2)(3)25xy即所求圆的方程为所求圆的方程为22220(40)xyDx Ey FDEF2246120 xyxy例例1：求过三点：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2

6、,-8)的圆的方程的圆的方程待定系数法待定系数法方法二：待定系数法方法二：待定系数法解：设所求圆的方程为解：设所求圆的方程为：222()()(0)x ay br r因为因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上都在圆上222222222(5)(1)(7)( 3)(2)( 8)abrabrabr 235abr 22(2)(3)25xy所求圆的方程为所求圆的方程为例例1：求过三点：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程的圆的方程例例1：求过三点：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程的圆的方程圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的

7、中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOEA( (5, ,1) )B( (7,-,-3) )C( (2,-,-8) )几何方法几何方法方法三：【归纳小结归纳小结】2.方程形式的选用：方程形式的选用：若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解法求解. 1.待定系数法待定系数法22222()()0)xaybrxyDxEyF设方程为(或( (特殊情况时特殊情况时, ,可借助图象求解更简单可借助图象求解更

8、简单) )列关于列关于a a，b b，r r （或（或D D，E E，F F）的方程组）的方程组解出解出a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）例例2、已知线段、已知线段AB的端点的端点B的坐标是的坐标是(4,3),端点端点A在在圆圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段上运动，求线段AB的中点的中点M的轨迹的轨迹方程，方程，相关点法相关点法相关点法步骤：相关点法步骤： 1MQI00设被动点（x,y）,主动点 （x ,y ） 100200,2MQ,xfxyyfxy求出点与点 坐标间的关系 0102,3I,xgx yygx y

9、从中解出II（ ） 4IIQ将（ ）代入主动点 的轨迹方程（已知曲线的方程），化简得被动点的轨迹方程。例题例题3 3已知一曲线与两个定点已知一曲线与两个定点O（0，0）,A(3,0)距离距离之比为之比为1 : 2.求此曲线的方程，并画出该曲线求此曲线的方程，并画出该曲线.解：设解：设M（x，y）是曲线上的任意一点）是曲线上的任意一点, 则点则点M所属集合为：所属集合为：21AMOMMP即：即：21)3(2222yxyx整理化简得：整理化简得：03222xyx配方得：配方得：4) 1(22yx所以所求的曲线是以所以所求的曲线是以C（-1，0）为圆心，）为圆心，2为半径的圆（如图）为半径的圆（如图）.-1Cyxo课堂小结课堂小结1.任何一个圆的方程可以写成任何一个圆的方程可以写成x2 +y2+Dx+Ey+F=0（1）的形式，但方程（）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只）表示的不一定是圆，只有有D2+E2-4F0时，方程表示圆心时，方程表示圆心 为半径为为半径为DE22，22142rDEF3.方程形式的选用：方程形式的选用：若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径, 采用圆的标准方程采用圆的标准方程若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程, 采用圆的一般方程求解采用圆的一般方程求解.2.一般方程一般方程 标准方程标准方程配方配方展开展开作业作业 A组组1、6，B组组1、2、3