“杨辉三角”与二项式系数的性质ppt课件.ppt

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1、有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.3.2 “1.3.2 “杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。一般地，对于一般地，对于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二项定理二项定理:新课引入新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共二项展开式中的二项式系数指的是那些？共

2、有多少个？有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特为特殊值时，二项式系数有什么特点？点？有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制

3、，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1 1）请看系数有没有明显的规律？）请看系数有没有明显的规律？2 2）上下两行有什么关系吗？上下两行有什么关系吗？ 3 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?对称性对称性有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。每行两端都是每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二行起，每行除从第二行起

4、，每行除1以外的每一个数都等以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表杨杨 辉辉杨辉三角杨辉三角有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依

5、次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴：图象的对称轴

6、：2nr 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2、若（、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，式系数与第七项的二项式系数相等，练习：练习：1、在、在(ab)展开式中，与倒数第三项二展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是( )A 第项第项 B 第项第项 C 第项第项 D 第项第项则则n=_B8有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的

7、合作环境。增减性与最大值增减性与最大值 112111()()()CC()!kknnn nnnknkkkk 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定knC1Cknkkn1由由：2111nkkkn 即二项式系数即二项式系数前前半部分半部分是是逐渐增大逐渐增大的，由对称性可知它的的，由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐逐渐减小渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。21nk 可知，当可知，当 时，时，有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 因此因此, ,当

8、当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 12Cnn 12Cnn 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1.在在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 ； 在在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 .510C611C511

9、C3.在二项式在二项式(x-1)11的展开式中的展开式中,求系数最小的项求系数最小的项的系数。的系数。4 46 62 2C C5 51 11 1最大的系数呢？最大的系数呢？练习练习2.指出（指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数系数最大，并求出其最大的二项式系数最大最大。解解: 第第8、9项的二项式系数项的二项式系数815715CC 与即即6435最大。最大。611462C 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 418 444

10、454 118313060TTCxxx 变式变式:若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？43110,nxx 4 4. .已已知知的的展展开开式式中中只只有有第第项项系系数数最最大大求求第第五五项项为偶数依题意 n,110182,.nn 且且解有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和

11、等于数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式这是组合总数公式 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例例 证明在证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaC

12、baCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC证明：证明：1222 nn3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。121010101013579111111111111111._;_ .CCCCCCCCC 1021024 1021 1023 例题例题 2.求证：求证：01212312 2nnnnnnCCCnCn证明：证明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnC

13、nCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn012123112nnnnnnCCCnCn倒序相加法倒序相加法有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。(1)二项式系数的三个性质二项式系数的三个性质 (2) 数学思想：函数思想数学思想：函数思想 a 单调性；单调性； b 图象；图象；c 最值。最值。 各各二二项项式式系系数数的的和和增增减减性性与与最最大大值值对对称称性性小结小结有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖

14、既开放又相互信任的合作环境。求奇数求奇数( (次次) )项偶数项偶数( (次次) )项系数的和项系数的和77601671.(31)xa xa xa xa例 已知7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf设解7210) 1 (aaaaf73210) 1(aaaaaf77753142) 1() 1 ()( 2ffaaaa8128221367531aaaa8256)() 1 (716420aafaaaa(1)(1)(2)(2)有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开

15、放又相互信任的合作环境。求奇数求奇数( (次次) )项偶数项偶数( (次次) )项系数的和项系数的和7531) 1 (aaaa求6420) 2(aaaa7210)3(aaaa7) 13 ()(:xxf设解7210) 1 (aaaaf73210) 1(aaaaaf是负数因为7531,aaaa所以7210aaaa7210aaaa)(7210aaaa7) 4() 1( f（3）7477601671.(31)xa xa xa xa例 已知有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。例题点评例题点评求二项展

16、开式系数和，常常得用求二项展开式系数和，常常得用赋值法赋值法，设，设二项式中的字母为二项式中的字母为1或或-1，得到一个或几个等，得到一个或几个等式，再根据结果求值式，再根据结果求值有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。求多项式的展开式中特定的项求多项式的展开式中特定的项( (系数系数) )例例2.2.2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中的展开式中, , 的系数等于的系数等于_2x解解: :仔细观察所给已知条件可直接求得仔细观察所给已知条件可直接求得 的系的系 数是数是

17、2x02C13( 1)C 224( 1) C 335( 1) C 20 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。 例例 3:3:求求 的展开式中的展开式中 项项 的系数的系数. .65(1) (21)xx6x解解62666()rrrrCxC x6(1)x 的通项是的通项是55555(2 ) ( 1)( 1) 2sssssssCxCx5(21)x的通项是的通项是1622556( 1) 2rssrssC Cx 65(1) (21)xx的通项是的通项是65(1) (21)xx有利于学习和创新的组织管

18、理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。由题意知16226rs 24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得3206252) 1(CC所以所以 的系数为的系数为: :6x426152) 1(CC5046052) 1(CC640 例题点评例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算个通项之积比较方便运算有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。求展开

19、式中系数最大求展开式中系数最大( (小小) )的项的项204.(23),x 例 在的展开式中 求其项的 最大系数与最大二项式系数的比.解解: :设设 项是系数最大的项项是系数最大的项, ,则则1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6 .126 .11 r项系数最大的项是第13128122032C即二项式系数最大的项为第11项,即1020C所以它们的比是137102012812203211532CC有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。

20、例例 5 5 在在 的展开式中，系数的展开式中，系数绝对值绝对值最大的项最大的项 20)23 (yx解：设系数绝对值最大的项是第解：设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项，则项，则1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21( 2)20( 2) 1( 3542537r8r所以当所以当 时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为8r812812820923yxCT有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。211rrrrTTTT解决系

21、数最大问题，通常设第解决系数最大问题，通常设第 项是系数最项是系数最大的项，则有大的项，则有1r由此确定由此确定r r的取值的取值例题点评例题点评有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。三项式转化为二项式三项式转化为二项式816.(1)xx 例 求展开式中的常数项.解：三项式不能用二项式定理解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式必须转化为二项式88 1)1()11(xxxx8878718808)1()1()1(CxxCxxCxxC再利用二项式定理逐项分析常数项得再利用二项式定理逐项分析常

22、数项得881268244836284808CCCCCCCCC=1107=1107有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。257.(32)xxx例的展开式中 的系数是_解：解：原式化为523)2(xx其通项公式为其通项公式为rrrrxxCT)3 () 2(52511, 1rx只需的指数为要使xxCT3)2(42152)2844624(1542468xxxxx2402154的系数为所以x240240例题点评括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合合并

23、时要注意选择的科学性并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二也可因式分解化为乘积二项式项式.有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。(1)(1)今天是星期五，那么今天是星期五，那么7天后天后 的这一天是星期几呢的这一天是星期几呢? ?(2)(2)如果是如果是15天后的这一天呢？天后的这一天呢？(3)(3)如果是如果是24天后的这一天呢？天后的这一天呢？1008(4)(4)如果是如果是 天后的这一天呢？天后的这一天呢？ 有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导

24、向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。1 10 00 01 10 00 01 1）（7 78 8r r100100r r10010099991 11001001001000 01001007 7C C7 7C C7 7C C1 10 00 01 10 00 01 19 99 91 10 00 0C C7 7C C 余数是余数是1 1， 所以是所以是星期六星期六）（9 99 91 10 00 09 99 90 01 10 00 0C C7 7C C71 11008(4)(4)今天是星期五，那么今天是星期五，那么 天后天后的这一天是星期几？的这一天是星期几？变式变

25、式: :若将若将 除以除以9 9，则得到的余数是多少？，则得到的余数是多少？ 1008有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。变式变式: :若将若将 除以除以9 9，则得到的余数是多少？，则得到的余数是多少？ 10081 10 00 01 10 00 01 1）（9 98 8r）（ 1r r1 10 00 0r r1 10 00 09 99 91 11 10 00 01 10 00 00 01 10 00 09 9C C9 9C C9 9C C0 01001001001001 19999100

26、1009 9C C9 9C C 所以余数是所以余数是1 1，若将若将 除以除以9 9，则得，则得到的余数还是到的余数还是1 1吗？吗？ 10188有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。2.2.求求(1+(1+x)+(1+)+(1+x) )2 2+(1+(1+x) )1010展开式中展开式中x3 3的系数的系数3. 9192除以除以100的余数是的余数是.929209219191929292929291(90 1)909090CCCC 分析：由此可见，除后两项外均能被由此可见，除后两项外均能被

27、100整除整除9192929290828182 10081CC 所以所以 9192除以除以100的余数是的余数是81有利于学习和创新的组织管理机制，创造充满活力的创新激励机制，以市场为导向，以顾客价值追求为中心的企业文化氛围，依赖既开放又相互信任的合作环境。4、已知、已知a,bN，m,n Z ，且，且2m + n = 0，如果二，如果二项式项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求常数项，求 a : b 的取值范围。的取值范围。 nrrmrrrrnrmrrxbaCbxaxCT )12(121212121)()(解：解：令令m (12 r )+ nr = 0，将，将 n =2m 代入，解得代入，解得 r = 4故故T5 为常数项，且系数最大。为常数项，且系数最大。 的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数的系数6545TTTT 57512484123931248412baCbaCbaCbaC即即4958 ba解解得得