向量在平面几何中解题的应用ppt课件.ppt

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1、一、向量有关知识复习一、向量有关知识复习（1）向量共线的充要条件）向量共线的充要条件:ab 与与 共线共线 0, bRba（2）向量垂直的充要条件：）向量垂直的充要条件：0, 00bababa（3）两向量相等充要条件：）两向量相等充要条件：, baba且方向相同。且方向相同。0/),(),(12212211yxyxbayxbyxa0),(),(21212211yyxxbayxbyxa21212211,),(),(yyxxbayxbyxa二、应用向量知识证明平面几何有关定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理例一、证明直径所对的圆周角是直角例一、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知

2、O，AB为直径，C为 O上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证ACB=90，只须证向量 ，即 。CBAC 0CBAC解：解：设 则 ，由此可得：bOCaAO ,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即 ，ACB=900CBAC思考：能否用向量坐标形式证明？思考：能否用向量坐标形式证明？二、应用向量知识证明平面几何有关定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：设 ，则 baDBb

3、aACaDAbBC;,分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应向量用它们表示。bADaAB ,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图例一、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH分析：分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H只须证CHAB 由此可设aBC bC

4、ApCH如何证 ？0 ABp利用ADBC，BECA，对应向量垂直。00)(apabapbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图例一、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点ABCDEH解：解：设AD与BE交于H，aBC bCApCH00)(apabapbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。三、应用向量知识证明三线共

5、点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图例一、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点HFABCDE分析：分析：如图建立坐标系，设A(0,a) B(b,0) C(c,0)只要求出点H、F的坐标，就可求出 、 的坐标进而确定两向量共线，即三点共线。CHCF再设H(0,m) F(x,y),(mbBHCABH 0),)(,(ambcacmbCABHacbm),(),(baacacbcCH由A、B、F共线；CFAB对应向量共线及垂直解得：AFAB/可得：0)(ayabxCFAB 可得：0)()(0),)(,(aycxbycx

6、ababcaybbcax2222),(2)2,2(222baabbcaabcabbcaCFCHbcabcCF22即 而CF、CH有公共点C，所以C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点CHCF /三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例二、如图已知例二、如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分别为的中点分别为M、N，在在BN延长线上取点延长线上取点P，使，使NP=BN，在，在CM延长线上取点延长线上取点Q，使使MQ=CM。求证：。求证：P、A、Q三点共线三点共线ABCNMQP解解：设bACaAB ,则aAMbAN21,21由此可得abNPBN21baM

7、QCM21baabPANPANPA)(,baabAQMQAMAQ)(,AQPA 即 故有 ，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线AQPA /四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图例一、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起， 使点使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为，若正方形面积为64， 求求AEM的面积的面积ABCDMNEF四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图例一、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起， 使点使点A

8、与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为，若正方形面积为64， 求求AEM的面积的面积ABCDMNEF解：解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2) )4 , 8(AMAEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)0)2 ,4()4 , 8(eENAM解得：e=5 即AE=51021BMAESAEM四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例二、例二、PQ过过OAB的重心的重心G，且，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：311nm分析分析:由题意OP=mOA,OQ=

9、nOB, 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。OABGPQ由PO=mOA, QO=nOB可知：OBnQOOAmPO, O分 的比为 ，O分 的比为PAQB由此可设 由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量 ，得到 m n 的关系。),()0 ,(221yxQxPGQPG/-m -n? ?四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例二、例二、PQ过过OAB的重心的重心G，且，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：311nmOABGPQ证：证：如图建立坐标系， 设),(),0 ,(),()0 ,(221cbBaAyxQxP所以重

10、心G的坐标为)3,3(cba 由PO=mOA, QO=nOB可知：OBnQOOAmPO,即O分 的比为-m，O分 的比为-n PAQB求得),()0 ,(ncnbQmaP由向量 可得：GQPG/)3,3(cmabaPG)3,3(cncbanbGQ0)3(3)3)(3(banbccncmaba化简得：311nm例例3 如图，如图， ABCD中，点中，点E、F分别分别是是AD 、 DC边的中点，边的中点，BE 、 BF分别分别与与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC解：设解：设 则则,ABa

11、 ADb ARr A Cab 由于由于 与与 共线，故设共线，故设ARAC(),rn ab nR又因为又因为 共线，共线，所以设所以设E RE B与与12()ERmEBm ab 因为因为 所以所以A RA EE R 1122()rbm ab 1122()()n abbm ab 因因此此ABCDEFRT102()()mnm anb 即即,a b由由于于向向量量不不共共0102nmmn 线线，1 1解解 得得 ： n n= = m m = =3 3111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TCABCDEFRT你能总结一下利用向量法解决平面几何问题你能总结一下利

12、用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？的基本思路吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形五、巩固练习：五、巩固练习

13、：1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形2：如图：如图O为为ABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足222222ABOCCAOBBCOA求证求证：ABOCABCO3：已知：已知：A、B、C三点坐标分别为三点坐标分别为(2，0)、(4，2)、(0，4)，直线，直线 l 过过A、B两点，求两点，求点点C到到 l 的距离的距离.HOABCxyl分析一分析一：如图如图， 为求为求CH长，由长，由CHAHAC可知，关可知，关键在于求出键在于求出AH. 由由ACAB的几何意的几何意义，义，ACAB等于等于AB的长度的长度与与AC在在AB方向上的投影的方向上的投影的乘积乘积. . 所以所以 ACABAHAB.