球与多面体的切接关系ppt课件.ppt

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1、位置关系描述：球与正方体的六个面都相切，各个面的中心即为切点。正方体的中心即为球心。相对两个面中心连线即为球的直径。球叫做“正方体的内切球”，正方体叫做“球的外切正方体”。o图形度量关系球的直径等于正方体棱长。aR 2一、正方体的内切球例题1求棱长为2的正方体的内切球的表面积解：因球与正方体内切，所以，球的直径等于正方体棱长，即441222rSrr即时练习：一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）2.4.6.8.DCBAC位置关系描述：度量关系图形二、球与正方体的棱相切球与正方体的12条棱都相切，各棱的中点即为切点。正方体中心即为球心。“对棱”中点连线即为球的直径。球的直径等

2、于正方体一个面上的对角线长aR22即时练习：在一个空的正方体框架内放置一球，若正方体棱长为a,则此球的最大体积是332a图形位置关系描述：度量关系三、 正方体的外接球正方体的8个顶点在同一个球面上。正方体的中心即为球心。球叫做“正方体的外接球”，正方体叫做“球的内接正方体”。正方体的（体）对角线等于球直径aR32_课堂练习正方体的内切球与外接球半径的比是2:1.3:2.3:1.2:1.DCBAB正方体的全面积是 ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是若球面内接正方体对角面面积为 ，设球面内接正方体的棱长为a，则对角面面积为124323,2,242222RSaRaaaa球的面积为球半径为2a2

3、2a24解：22222442662323,3266,6,aRSaaxRxRaxaxx球的表面积为得：由则设正方体的棱长为例题2求球的表面积2长方体与球一、长方体的外接球位置关系描述：长方体的8个顶点在同一个球面上。长方体的中心（对角线的交点）即为球心。球叫做“长方体的外接球”，长方体叫做“球的内接长方体”。度量关系长方体的（体）对角线等于球直径图形Rcbalcba2222，则、分别为设长方体的长、宽、高长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，那么，这个球的表面积是 ( )200.50.225.220.DCBAC思考：一般的长方体有内切球吗？没有。一个球在长方

4、体内部，最多可以和该长方体的5个面相切。如果一个长方体有内切球，那么它一定是正方体课堂练习例如，装乒乓球的盒子如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面积与正方体表面积的比为 （ ）3.125.2.65.DCBAaaaal6)2(222将半球补成整球由长方体内接于球知：Rl2RaRa36,2629662622222RRaRSS正方体半球所以，选B分析1B例题3则两个同样的正方体对接构成的长方体就内接于这个球。设正方体棱长为a，则所得长方体对角线长为如图,半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为变式练习求半球的表面积和体积答案：半球的

5、表面积为27，半球的体积为18. 6分析2aRRaaaABROBaOA26,22,22222OABOAB设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。26232622222aaaRSS正方体半球如图，连结OA、OB，则得RtOAB.设正方体棱长为a，易知：例题4在半径为R的球面上任取一点，过该点作两两互相垂直的三条弦，求证：这三条弦的平方和为定值。POABCDO1证明设过球O上一点P，作三条互相垂直的弦PA、PB、PC，如图所示设PB、PC所在的平面与球O相交于小圆 O1，因为PB与PC垂直，所以，BC为小圆 O1直径。连结PO1并延长交 O1于D，连结OO1.则OO1平面 O1。易知PA平面 O1，

6、在小圆 O1中，2222PDBCPCPB2222)2( RADPDPA定值2222)2( RPCPBPA在大圆 O中，所以，OO1PA，所以球心O在A、P、D三点所确定的圆面内，即过A、P、D的圆面是球的大圆。又PAPD，AD为该大圆的直径（即O为AD的中点）。点P在直径为 的球面上，过P作两两互相垂直的三条弦（两端点均在球面上的线段），若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是（ ） 651052.5212.534.6.DCBA1656,65,6)2(22222222babaRcba即设三条弦长分别为a、b、c，且c=2b,则：sin530,cos6,0baba可设、510

7、52)sin(51052)sin(253096sin5303cos63bacba则三条弦长之和为 D 3 球与棱锥切接问题举例 （1） 球与正四面体球与正四面体正四面体P-ABC的棱长为a，求它的外接球半径R和内切球半径r分析：和正方体类似，任何一个正四面体都有一个外接球和一个内切球设其外接球的球心为O，则O到四个顶点的距离都相等即R。那么，点O在什么地方呢？由于P-ABC为正四面体，所以，点P在底面ABC上的射影H即为正ABC的中心，而点H到顶点A、B、C的距离都相等。解：OPABCDKH取BC中点D，连结AD、PD，在PAD中，过P作PHAD， 则PH底面ABC。D为BC中点，ADBC,P

8、DBC,BC平面PAD，BCPH;又 PHAD, PH底面ABC.在PAD中，过A作AKPD，则AK平面PBC那么，正四面体的两条高PH与AK的交点即为球心O。当点H沿着线段PH向上移动至P时，仍然满足到三顶点A、B、C的距离相等。据此，可猜想球心O应在正四面体的高PH上；同理，球心O也在正四面体的其它顶点引发的高上。设另一条高为AK，则PH与AK的交点即为球心O。你知道理由吗？OPABCDKH连结HK，31OPOHAPKH31APKHDPDKDADH且ahRrRr3631即有：KHPA KHOAPO显见，内切球的球心也是这个点O，即正四面体的外接球与内切球是同心球。而且，OP=OA=R, O

9、H=OK=r31DPDKDADHarRar463126特别提醒：同学们只要记住如下关系式即可：rRahrR336OPABCDKH正四面体的外接球、内切球是同心球，球心即为正四面体的中心。正四面体的四条高相交于同一点，这点叫做正四面体的中心。如图，四边形OKDH为筝形。即有：OK=OH,DK=DH,ODKH.共底边的两个等腰三角形形成的平面凸四边形叫做筝形。正四面体的外接球的球心把正四面体的一条高分成的两部分的比为 ( )32.41.31.21.DCBAB联想棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，则四面体ACB1D1的棱长都为 ，它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正方体对角线长的一半，即

10、有r ，故所求球面积为棱长为 的正四面体的所有顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ( )一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( ) A、3 B、4 C、5 D、62223AB1CD1 题目：解1：要理解和掌握“正方体与正四面体“的这种图形上的关系，对于快速解题有很大帮助。外接球的半径2324646aR解2：342RS36.34.32.3.DCBAA C巩固练习22S3（2） 球与正三棱锥球与正三棱锥OPABCDHMOHPABCDM正三棱锥的外接球的球心在它的高所在直线上球心在高PH上，即在锥体内部球心在高PH的延长线上，即在锥体外部球心与底面正中心H重合OPA

11、CDMHB度量关系：设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a，高为h，外接圆半径为R，222)33(hbaRhaPMPHPA2,22即或在RtAHO中，222222)()33,RRhbAOHOAH（即OPABCDKH正三棱锥的内切球的球心在它的高上(与外接球的球心不一定重合）有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtPHDRtPKO，或放在筝形OKDH 中进行。 OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点D的连线平分二面角P-BC-A的平面角。把有关立体几何的计算转化为平面几何的计算，是最基本的策略。PHDOKrbrhhKOHDPOPDPKORtPHDRt36hbrhrPDHDOPOKP63sin或

12、222222)63()33(hbhhba设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a， 高为h，斜高为h ，内切圆半径为r，bhbhr363正三棱锥P-ABC的侧棱长为1，底面边长为 ，它的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ ）23622332AH339396122AHPAPHA解：设P在底面ABC上的射影为H，则H为正ABC的中心.延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，PAM=90由Rt中的射影定理得：232331,22RRPMPHPA，即2323343433）（球RV6.66.3.23.DCBAOPABCDMH法二由AHPH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtAHO,有：23,)3

13、3()36(222RRR 题目： 题目：正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ( )解析：OPABCDKHPHDOK设正三棱锥侧棱长为a ，底面边长为b ，三侧棱两两垂直，各侧面都是全等的等腰直角三角形。ab2aaabahah3396)33(,222222高斜高bhbhr363代入正三棱锥内切球半径公式：得：aar633333133263323633Rr又 正三棱锥外接球半径 aR233: ) 13(.3: ) 13(.)33( :1.3:1.DCBAD已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足PBPAPBPA00PBPA0PCPB0P

14、APC同理，PBPC, PCPA , 即PA、PB、PC两两互相垂直4)2(2222RPCPBPA易知，该三棱锥三个侧面均为Rt，所以，其侧面积为2)(21)(21222cbacabcabS解析：222222222,2,2,2cbacabcabcaacbccbabba三式相加得：说明：,cPCbPBaPA设则三棱锥的侧面积的最大值为 （ ）41.21.1.2.DCBAA 题目：提示：三棱锥三侧面两两垂直 三侧棱两两垂直正三棱锥对棱互相垂直，即SBAC,又SBMN,且AMMN,所以，SB平面SAC。故，SBSA,SBSC,进而，SASC.则三侧棱互相垂直。以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，则球

15、的直径 设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球大圆的面积为 （ ）32SA在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MNAM，若侧棱则正三棱锥外接球的表面积是 （ ）C48.36.32.12.DCBACRSRSAR选即,364,3,3223SABCMN 题目：解析：34.9.32.3.DCBAC巩固练习从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为 ， 则OP的距离为（ ）34axxaaPOPHPA26,36,22即0PABCHPABCO 因PA与球O相切于点A，OAPA,同理，OBPB,OCPC.RtPOA RtPO

16、B RtPOC PA=PB=PC又APB=BPC=CPA=60PAB、PBC、PCA、ABC为全等的等边三角形，P-ABC为正四面体；O-ABC为正三棱锥。解析：先想象一下图形，画出示意图由已知得球半径R=1，设PA=a，OP=x，设P在底面ABC上的射影为H（也是O在底面ABC上的射影），则AHPH.在RtPAO中，有：222221,xaPOAOPA即又3,2,2,234612222xaaaaa2.21.3.2.DCBAB 4 球与棱柱切接问题举例正三棱柱的外接球球心在上下底面中心连线的中点。AOB是等腰三角形，OA=OB=ROABCA1B1C1M222dr21d33r,tRhOMaAMRO

17、AAOMR，中在设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a。正三棱柱的内切球如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。rarlhrahl322:, )则正三棱柱内切球半径为边长为底面正（即为其高设正三棱柱侧棱长为解:在 中, , 可得由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为. （2009全国卷理）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等

18、于 。 2420R111ABCABC12ABACAA120BACABC2ABAC120BAC2 3BC ABCOORT OBO5R 真题赏析真题赏析ABCEOOBACB1A1C1OBOORr120（2009江西卷理）正三棱柱 内接于半径为2的球，若 两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 111ABCABC,A B362322,23222,60sin222rrr即：60sin2,180sin23ranran由公式：真题赏析真题赏析由球面距离公式：得：,Rl332964422rRd83322)22(43243222dadShSV解析：222,2RABAOB设正ABC的外接圆半径为r球心O到平面A

19、BC的距离为 8一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为 13 棱长为a的正方体外接球的表面积为（ ） 2222.2.3.4.aDaCaBaA B八个球的球心连线构成一个立方体，且其棱长为1.解析：O1O7O1O7MN137171NOMOOOMNd设过对角线设过对角线O1O7的对角面与球的对角面与球O1、O7分别交于分别交于M、N，如图。则所求为：，如图。则所求为：作业：已知体积为 的正三棱锥的外接球的球心为，满足 ,则三棱锥外接球的体积为 31630OAOBOC OBADC6,2ABACAD23如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC

20、、AD两两互相垂直，且，则AD两点间的球面距离 . 提示：由已知得：球心O为正三棱锥底面ABC的中心。如图，则有PAM为等腰直角三角形，O为斜边PM中点。设底面正边长为a，侧棱长为b，则aaAOhR332332aRb3624312939331231213343313133332aRaaaaShV得：由锥提示：21642222RADACABRAOD为等边三角形.323RlAOD即半径为1的球面上有A、B、C三点，B、C间的球面距离是 ，点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。23 Rl求： AOB，BOC的大小； 球心到截面ABC的距离； 球的内接正方体的表面积与球面积之比解：球面距离2B

21、OC3AOCAOBOA=OB=OC=1 2,1,BCACABBOC是等腰直角三角形而222,2BCrBCABCBACABC中点，外接圆半径外接圆圆心是的是等腰直角三角形，2221122rRdABCO的距离到截面球心 设球的内接正方体棱长为a，则332,223aRa:24:)332(64:6222RaSS球正：OBACAOBACOBCOCBA的正三角形都是边长为、1AOCAOBA、B、C是半径为1的球面上三点，B、C间的球面距离是 ，点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。32求： AOB，BOC的大小； 球心到截面ABC的距离； 球的内接正方体的表面积与球面积之比解：球面距离rOA=OB

22、=OC=1 设球的内接正方体棱长为a，则3,2BOCAOCAOB1,2BCACAB414sin,42cosBBABC中，易求在72,2sinrrBAC由正弦定理，72173741222rRdABCO的距离为到截面球心法二：易知AO垂直于平面BOC。OASdSVVOBCABCOBCAABCO3131,：得由721,14347dd：即332,223aRa:24:)332(64:6222RaSS球正：有人抄错题了，把 和 交换了一下，那么，答案还一样吗？23ACOABOBOCABC则三棱柱的体积为 （ ） 在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线, 该直线被球面截

23、在球内的线段长为 ( )一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323aDaCaBaA)12(.22.21.41.348.324.316.396.DCBADCaONOM22易知aaaaMN26)21()21(22242)21(22MNOMdMNO的距离为到球心所以，aaadREK228141222222OHR 2易知球半径AOH323260OHAHaAOHAOHRt中，在348243,342RaShVa柱三棱锥PABC的四个顶点都在半径为5的球面上，球心在三棱锥内，底面ABC所在的小圆面积为16 ，则该三棱锥的高的最大值为 8 .322rRdABCO的距离为：到底面球心4r底面ABC所在小圆半径为8maxdRPHPHO上时，高在高当球心OHPCBA