正版-2012年的材料科学试验设计课程-第一讲(方差与回归分析)ppt课件.ppt

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1、材料科学试验设计材料科学试验设计2012.11.282012.11.28试验设计试验设计（Design of Experiment, DOE)简介简介 是以概率论和数理统计为理论基础，经济地、科学地安排试验的一项技术。 材料科学领域： 在新材料的研究和新工艺的开发，怎样确定新材料的最佳成分或配方，怎样制订最佳的生产工艺条件，从而达到优质、高产、低消耗和低排放的目的。 试验设计的重要性： 重要基础课程，科技工作者必须具备的基本能力. 实验设计实验设计演示实验演示实验验证实验验证实验比较实验比较实验优化实验优化实验探索实验探索实验模型试验 狭义的试验设计：试验单位（试验种类和品种）的选取，重复数目

2、的确定、试验单位的分组和试验处理的安排。制订试验计划：1,2,3,4,5如何应用各种最优设计理论和方法科学地安排试验；能否用最优化方法找到最佳结果和结论。实验设计的类型实验设计的类型“材料科学试验设计材料科学试验设计”课程的先修课： 材料科学基础 初等数理统计与概率论初等数理统计与概率论工科本科课程工科本科课程 高等数理统计高等数理统计工科硕士课程工科硕士课程 材料科学试验设计一般的数理统计理论+材料科学领域的实用例子。培养分析和解决实际问题的能力。主要参考书主要参考书（1）实验设计实验设计刘文卿编著，清华大学出版社，刘文卿编著，清华大学出版社，2005年版，年版，24.0元元（2）试验优化设

3、计与分析试验优化设计与分析任露泉编著，高等教育任露泉编著，高等教育出版社，出版社，2003年版年版,51.0元元（3）试验设计与分析试验设计与分析陈魁编著，清华大学出版社，陈魁编著，清华大学出版社，2005年版年版,34.0元元（4）试验设计与数据处理试验设计与数据处理何少华等编著，国防科何少华等编著，国防科技大学出版社，技大学出版社，2002年版年版,24.0元元（5） 应用数理统计应用数理统计 ，邰淑彩等编，武汉大学出版，邰淑彩等编，武汉大学出版社，社，2005年版，年版，30.0元元 (6)数理统计方法与军工产品质量控制数理统计方法与军工产品质量控制，林日其，林日其编著，国防工业出版社，

4、编著，国防工业出版社，2002年版，年版，23.0元元（7）高等高等数理统计数理统计 ，茆诗松等编，高等教育出版，茆诗松等编，高等教育出版社，社，2007年版，年版，40.7元元（8）工程试验优化设计工程试验优化设计唐明等著，中国计唐明等著，中国计量出版社，量出版社，2009年版年版,49.0元元（9）试验优化设计与统计分析试验优化设计与统计分析李志西主著，李志西主著，科学出版社，科学出版社，2010年版年版,38.0元元（10）试验应用统计试验应用统计-设计、创新和发现设计、创新和发现（美国）（美国）George E.P.Box等著，机械工业等著，机械工业出版社，出版社，2010年版年版,6

5、5.0元元（11） 材料科学中的试验设计与分析材料科学中的试验设计与分析 张张忠明主编，忠明主编，机械工业出版社，机械工业出版社，2012年版年版, 29.8元元本课程主要内容及讲课计划本课程主要内容及讲课计划 第一讲：材料科学试验设计基本概念及方差与回归分析第一讲：材料科学试验设计基本概念及方差与回归分析 【第一第一周（周（11月月28日）日）】 第二讲：试验误差分析第二讲：试验误差分析【第二周（第二周（12月月5日）日）】 第三讲：试验抽样方案的设计第三讲：试验抽样方案的设计【第三周（第三周（12月月12日）日）】 第四讲：单因素和多因素优化实验设计第四讲：单因素和多因素优化实验设计【第四

6、周（第四周（12月月19日）日）】 第五讲：正交设计第五讲：正交设计【第五周（第五周（12月月26日）日）】 第六讲：均匀设计第六讲：均匀设计【第六周（第六周（1月月2日）日）*】 第七讲：稳建设计第七讲：稳建设计【第七周（第七周（1月月9日）日）】 第八讲：可靠性设计与寿命实验第八讲：可靠性设计与寿命实验【第八周（第八周（1月月16日）日）】 第九讲：析因设计第九讲：析因设计【第九周（第九周（2月月27日）日）*】 第十讲：考试：笔试第十讲：考试：笔试 50分（开卷考）平时成绩分（开卷考）平时成绩50分分【第十周第十周（3月月6日）日）】材料科学试验设计材料科学试验设计2012年分组名单（年

7、分组名单（*组长）组长） 试验误差分析试验误差分析【第二周（第二周（12月月5日）日）】 王忠王忠*，苟少秋，汤哲鹏，刘乐，赵秋蓉，苟少秋，汤哲鹏，刘乐，赵秋蓉 试验抽样方案的设计试验抽样方案的设计【第三周（第三周（12月月12日）日）】 刘丽刘丽* ，肖茜，周莹，柳刚，张书婷，肖茜，周莹，柳刚，张书婷 单因素和多因素优化实验设计单因素和多因素优化实验设计【第四周（第四周（12月月19日）日）】 刘骏刘骏* ，唐莒平，陈传明，徐龙，张海霞，唐莒平，陈传明，徐龙，张海霞 正交设计正交设计【第五周（第五周（12月月26日）日）】 黄蓉芳黄蓉芳* ，宋甫，梁永，韩欢欢，产斯飞，宋甫，梁永，韩欢欢，产

8、斯飞材料科学试验设计材料科学试验设计2012年分组名单（年分组名单（*组长）组长） 均匀设计均匀设计【第六周（第六周（1月月2日）日）】 朱健朱健* ，严菊杰，赵寒沛，张辉，杨辉，严菊杰，赵寒沛，张辉，杨辉 稳建设计稳建设计【第七周（第七周（1月月9日）日）】 管权管权* ，王稳，王晓旭，刘春雨，马花月，王稳，王晓旭，刘春雨，马花月 可靠性设计与寿命实验可靠性设计与寿命实验【第八周（第八周（1月月16日）日）】 梁楠梁楠* ，刘二微，童星，韩冬雪，何建明，刘二微，童星，韩冬雪，何建明 析因设计析因设计【第九周（第九周（2月月27日）日）】 刘柄林刘柄林* ，王华明，邱涛，高长源，王华明，邱涛，

9、高长源平时成绩（平时成绩（50分）分） 平时成绩计分办法：本课除老师主讲和考试外，平时成绩计分办法：本课除老师主讲和考试外，剩余共计剩余共计8个专题（个专题（结合材料学科例子！结合材料学科例子！），每），每5人人一个专题一个专题( (析因设计专题小组析因设计专题小组4人），每一专题讲完人），每一专题讲完后，由其它后，由其它7个专题小组成员当场给主讲者打分，个专题小组成员当场给主讲者打分，每一小组经小组长每一小组经小组长统计平均后统计平均后交与老师，老师再根交与老师，老师再根据据7个专题小组的打分成绩，去掉最高和最低分，个专题小组的打分成绩，去掉最高和最低分，5组的平均作为该生的平时成绩。打分主

10、要看备课是组的平均作为该生的平时成绩。打分主要看备课是否用功、主讲是否清楚、回答提问如何等方面。否用功、主讲是否清楚、回答提问如何等方面。 此外（此外（1）无故缺席一次课，从平时成绩扣掉）无故缺席一次课，从平时成绩扣掉5分；（分；（2）老师根据学生平时课堂提问情况，有）老师根据学生平时课堂提问情况，有5分分的加分或扣分权利。的加分或扣分权利。第一讲：材料科学实验设计基本概念、第一讲：材料科学实验设计基本概念、方差及回归分析方差及回归分析第第1节节 实验设计基本概念实验设计基本概念第第1节节 实验设计基本概念实验设计基本概念1.1基本术语基本术语 总体与样本 通过样本来推断总体是统计分析的基本特

11、点。 参数与统计量 由总体的全部观测值计算的特征数称为参数（parameter),参数一般用希腊字母表示；由样本计算的特征数称为统计量（statistic）常用拉丁字母表示。由于参数通常无法获得，所以总体参数由相应的统计量来估计。l 准确性与精确性l 随机误差与系统误差1.2实验设计基本概念实验设计基本概念 实验设计实验设计：对实验进行科学合理的安排，以达到最好的实验效果。 实验因素实验因素（因素或因子）：是实验的设计者希望考察的实验条件，因素的具体取值称水平。 因素的选定必须以专业技术知识和经验为基础，判断哪些因素是试验中需要研究的。 实验单元实验单元：按照因素的给定水平对实验对象所做的操作

12、称处理，接受处理的实验对象称实验单元。 实验指标实验指标（响应变量）：衡量实验结果好坏程度的标准。 超临界锅炉用奥氏体不锈钢TP347H高温持久强度改善实验中，考察微量元素硼对高温持久强度的影响，硼的加入量分别为 0%、0.005%、 0.01%、 0.02%、0.04%、0.08%、0.16% ， 这个实验中硼的加入量是实验因素实验因素 ； 取0%、0.005%、 0.01%、 0.02%、0.04%、0.08%、0.16% 共7个水平；水平； 按每一种硼加入量的水平所做的高温持久实验称按每一种硼加入量的水平所做的高温持久实验称为一种处理，共有为一种处理，共有7种处理，其中硼加入量为种处理，

13、其中硼加入量为0%的处理称的处理称空白处理空白处理；加入硼的合金为实验单元；加入硼的合金为实验单元； 合金的高温持久寿命为合金的高温持久寿命为实验指标实验指标。1.3 实验设计的要素与原则实验设计的要素与原则 实验设计的三要素： 实验因素， 实验单元，实验效应实验效应 实验因素实验因素取不同水平时在取不同水平时在实验单位实验单位上所产生的反应上所产生的反应称为称为实验效应实验效应。 实验设计的四原则： 科学设计+试验数据进行统计分析 结论。各种试验设计需遵循一些基本原则。 随机化原则，重复原则，对照原则，区组原则（局部管理原则local control，人为划分的时间、空间、设备等实验条件）1

14、.4 试验的基本过程：试验的基本过程：（1）明确试验指标，选择试验因素和水平。（2）选择试验方法，进行实验。 “根据实际的具体问题，选择适当的试验设计方法”确保试验结果的可靠性（3）试验结果分析。（4）结论和建议。1.5 随机变量的统计处理方法（自学）随机变量的统计处理方法（自学）第第2节节 方差分析方差分析(Analysis of variance, ANOVA) 在生产实践中，人们经常遇到这样的问题，即在各种因素错综复杂的作用下，要确定哪种因素对结果的影响大，哪种因素对结果的影响小，因素间是否存在相互作用以及试验条件的最优化等，这就需要应用一些统计手段。-方差分析就是解决这类问题的方法之一

15、。 是试验设计所需掌握的基本内容之一第第2节节 方差分析方差分析(Analysis of variance, ANOVA) 方差分析的建立英国的R.A.Fisher等，20世纪的19231926年。 方差分析的方法： 把全部数据关于总平均值的方差分解成几个部分，每一部分表示方差的一种来源，将各种来源的方差进行比较，从而判断试验各有关因素对试验结果的影响大小。（ F检验，用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验） 方差分析的理论基础 通常称多次试验结果之间的差异为变差，变差一般用偏差平方和表示。 各因素形成的偏差平方和相加恰好等于总偏差平方和，此为偏差平方和的加和性，是建立方差分析的基础。 总

16、偏差平方和各因素形成的偏差平方和相总偏差平方和各因素形成的偏差平方和相加加。 方差分析的定义通过对比观察一种或多种因素的变化对试验指标试验指标的影响，从而选取最优方案最优方案的分析方法。 方差分析的目的： 分析不同分析不同因素因素、不同、不同水平水平对对试验指试验指标标影响的大小。影响的大小。 找出主要因素，通过对主要因素的控制调整，找出主要因素，通过对主要因素的控制调整，提高产品的性能（实验指标）提高产品的性能（实验指标） 方差分析的基本思想： 把试验数据的总波动分解为两部分，一部分反映由试验因素水平变化引起的波动；另一部分反映由试验误差引起的波动。 （ 将所有样本测值的总平均值的方差分解成

17、来源不同的几部分，对各种来源不同的方差进行比较，从而判断各有关因素对试验结果的影响大小。） 偏差平方和的加和性，可分解性。概念 方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。简单说是偏差平方和除以自由度。 总体方差2，其估计值即样本方差S2。 偏差，表示测定结果与平均结果之间的差值。误差，测定结果与真实值之间的差值。 偏差的大小通常用样本方差来衡量。它的大小反映了数据的离散程度，是衡量试验条件稳定性的一个重要尺度。 2.1 单因素方差分析单因素方差分析 设单因素A有n个水平A1、A2、.An,每个水平重复m次，总共进行nm次试验，试验结果为xij(i=1,2,n;j=1,2,m)。 在水平Ai下的

18、样本均值：mjixijmx11 样本数据的总平均值：样本数据的总平均值： 总离差平方和：总离差平方和：nimjijxmnx11121211)()(xxmxxQniinimjiijT 组间差（因素组间差（因素A效应的平方和，水平的改变对结果的影效应的平方和，水平的改变对结果的影响）：响）： 组内差组内差(误差平方和，由随机误差引起）：误差平方和，由随机误差引起）：21)(xxmQniiA211)(nimjiijExxQEATQQQ各偏差平方和的自由度 组内偏差平方和的自由度： 组间偏差平方和的自由度： 总偏差平方和的自由度：) 1(mnnmnfE1 nfA1mnfT用方差表示偏差平方和的大小12

19、mnQfQSTTTT12mnQfQSEEEE12nQfQSAAAAN (m-1)是否显著性检验？ 假设检验（假设检验（ 均为均为2的无偏估计，的无偏估计，用用F检验）检验）：),(22EAEAffFSSF2AS2ES （1）非显著性因素 (2)显著性因素：试验条件的改变对试验结果有显著影响 (3)高度显著性因素：试验条件的改变对试验结果有高度显著的影响),(05. 0EAffFF ),(),(05. 001. 0EAEAffFFffF),(01. 0EAffFF 2.2 多因素实验方差分析多因素实验方差分析 以双因素无重复试验的方差分析为例。以双因素无重复试验的方差分析为例。 设A因素有a个水

20、平，分别记为A1、.、Ai、.、Aa；B因素有b个水平，分别记为B1、.、Bj、.、Bb；A因素和B因素的每个组合Ai Bj只进行一次试验，无重复，结果记为xij(i=1,a;j=1,.,b),共进行ab次试验。偏差平方和的计算 总偏差平方和：EBATQQQQ210)(xxbQaiiA210)(xxaQbjjB21100)(aibjjiijExxxxQaibjijxabx111各偏差平方和的方差计算12aQfQSAAAA12bQfQSBBBB) 1)(1(2baQfQSEEEEA因素是否显著性检验？ 用用F检验：检验：),(22EAEAAffFSSF （1）非显著性因素 (2)显著性因素：试验

21、条件的改变对试验结果有显著影响 (3)高度显著性因素：试验条件的改变对试验结果有高度显著的影响),(05. 0EAAffFF ),(),(05. 001. 0EAAEAffFFffF),(01. 0EAAffFF B因素是否显著性检验？),(22EBEBBffFSSF （1）非显著性因素 (2)显著性因素：试验条件的改变对试验结果有显著影响 (3)高度显著性因素：试验条件的改变对试验结果有高度显著的影响),(05. 0EBBffFF ),(),(05. 001. 0EBBEBffFFffF),(01. 0EBBffFF 2.3 案例分析 “方差分析在等离子表面冶金中的应用方差分析在等离子表面冶

22、金中的应用”（电子工艺技术，2006年第27卷第2期P104-107）TiAlNb金属间化合物表面渗Mo后的表面硬度 影响因素：工作气压、工作温度、保温时间、极间距等 (1)工作气压（因素A）对硬度的影响 固定工作温度980，保温时间3h，极间距15mm 工作气压取：30Pa、40Pa、50Pa，每个水平下测硬度值4次，结果如下：不同气压下的硬度值不同气压下的硬度值水平工作气压（Pa）304050硬度值（Hv）1393.6380.4338.42443.0368.2384.03470.8385.4461.94519.5410.1405.3 QA11529.8, S2A=5764.9 QE=139

23、91.65, S2E=1554.63 FA=3.71 取显著性水平0.05,F0.05(2,9)=4.26 FAF0.05(5,18) 说明工作温度对硬度有显著影响说明工作温度对硬度有显著影响(3)保温时间（因素保温时间（因素C）对硬度的影响）对硬度的影响固定工作气压为固定工作气压为30Pa,工作温度为工作温度为980,极间距为极间距为15 mm的工的工艺条件不变的情况下艺条件不变的情况下,因素因素C为保温时间为保温时间,取取4个水平即个水平即5 h、3 h、2 h、1 h,每个水平下测定其基体硬度值每个水平下测定其基体硬度值4次次,其试验结果如下表：其试验结果如下表：水平保温时间（ h）53

24、21硬度值（Hv）1405.5 393.6 379.7 370.52518.2 443.0 397.3 403.33614.7 470.8 415.3 412.64592.0 519.5 420.8 427.0Qc48091.80, S2c=16030.6QE=37707.23, S2E=3142.27Fc=5.10取显著性水平=0.05,F0.05(3,12)=3.49FcF0.05(3,12)说明保温时间对硬度有显著影响说明保温时间对硬度有显著影响（4）极间距（因素）极间距（因素D）对硬度的影响）对硬度的影响固定工作气压为固定工作气压为30 Pa,工作温度为工作温度为980,保温时间为保温

25、时间为3 h的工艺条件不变的情况下的工艺条件不变的情况下,因素因素D为极间距为极间距,取取3个水平个水平即即15mm、20 mm、12 mm,每个水平下测定其基体硬每个水平下测定其基体硬度值度值4次次,其试验结果如下表：其试验结果如下表：水平极间距（ mm）152012硬度值（Hv）1393.6 398.2 397.82443.0 350.0 387.53470.8 373.8 313.54519.5 383.7 338.8QD21614.96, S2D=10807.48QE=14339.51, S2E=1593.28FD=6.78取显著性水平=0.05,F0.05(2,9)=4.26FDF0

26、.05(3,12)说明极间距对硬度有显著影响说明极间距对硬度有显著影响 通过单因素方差分析试验结果表明通过单因素方差分析试验结果表明: 工艺参数如工作温度、保温时间、极间距对工艺参数如工作温度、保温时间、极间距对Ti2AlNb金属间化合物等离子表面渗金属间化合物等离子表面渗Mo显微硬度显微硬度均有显著影响，而工作气压对均有显著影响，而工作气压对Ti2AlNb金属间化金属间化合物等离子表面渗合物等离子表面渗Mo显微硬度无显著影响。在研显微硬度无显著影响。在研究过程中应综合考虑以上工艺参数对硬度的影响，究过程中应综合考虑以上工艺参数对硬度的影响，选择最佳工艺。选择最佳工艺。方差分析表偏差来源偏差平

27、方和自由度方差F值F临界值显著性A的影响B的影响交互作用随机误差总和.FA=s12/se2FBFABF(f1,fe).第第3节节 回归分析回归分析 一元线性回归；一元线性回归； 多元线性回归多元线性回归(以二元线性回归为例）。以二元线性回归为例）。 3.1 回归分析基本概念回归分析基本概念 回归分析的定义回归分析的定义: 处理因变量y与自变量x之间相关关系相关关系的一种应用数学方法。 函数关系与相关关系： 函数关系是由x确定y的取值；而相关关系是由x的取值决定y值的概率分概率分布布。 提供了变量之间关系的一种近似表达，即经验公式，还可以来达到预测和控制的目的。 回归分析主要解决的问题回归分析主

28、要解决的问题： （1）确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，若存在，则找出合理的数学方程式来表达它们间的统计相关关系。 （2）在一定置信度下，利用这种统计相关关系，根据一个或几个变量的取值去预测或控制另一个变量的取值。 （3）进行因素分析，找出哪些是重要的，哪些是不重要的，因素间有何重要关系。3.2 一元线性回归一元线性回归 y=a+bx 只有一个自变量x，实验得n对数据（xi,yi) (i=1,2,.,n)，请判断其是否符合一元线性的相关关系？ 一元线性回归的理论方程：bxay 假设根据n对实验数据得到了上述回归方程，则对于自变量x的一系列取值，根据回归方程可得到相应的 计算值（估计值），

29、其与实测值间必然有偏差（残差）。iy iibxay)(iiibxay2112)(iniiniiebxayQ i为相互独立且服从N(0,2)的随机变量回归估计值与观测值的偏差平方和最小 常用最小二乘法 回归参数估计方法 如果回归方程中的系数如果回归方程中的系数 和和b是最佳值，则所得到的残是最佳值，则所得到的残差平方和应达到最小值最小二乘法原理。差平方和应达到最小值最小二乘法原理。 根据数学求极限的原理，即可求出根据数学求极限的原理，即可求出 和和b。xbyxnbynaniinii111211)()(niiniiixxyyxxbxbyxnbynaniinii111xbyxnbynaniinii1

30、11假设检验 总偏差平方和总偏差平方和QT回归平方和回归平方和Qx残差平方和残差平方和Qe： 当全部实验点落在回归线上，则Qe0， QT Qx； 当x与y不存在线性关系时，则Qe QT ， Qx 0 ； Qx的大小反映了的大小反映了x与与y间的相关程度。间的相关程度。exniiniiiniiTQQyyyyyyQ211221)()()( 总偏差平方和的自由度fTn-1 回归平方和的自由度fx1 残差平方和的自由度fen-2回归分析显著性检验？ 主要内容：主要内容： (1)考察整个回归方程对试验指标是否有显著影响回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验。 (2)考察试验因素对试验指标是否有显著影响

31、回归因素的显著性检验回归因素的显著性检验。 (3)考察事先假设的回归模型是否符合实际失拟检验。失拟检验。 回归方程的显著性检验用回归方程的显著性检验用F检验法。检验法。21nQQFex还有一种检验：相关系数r的检验 （1)当F F0.01(1，n2）时，所建立的回归方程是高度显著的。 （2）当F0.01(1，n2） F F0.05(1，n2）时，所建立的回归方程是显著的。 （3）当FF0.05(1，n2）时，所建立的回归方程是不显著的。回归因素的显著性检验回归因素的显著性检验 为了考察试验中心区域的拟和情况，需要安排m0次零水平（零点）重复试验，一般要求m03，则误差平方和和失拟平方和，及其自

32、由度如下：2102)(000miieyyS12)(0212mfnfyySelfiniilf fx=1 若FxF（fx，fe），则因素x对指标的效应在水平下显著。),(22exeexxxffFfSfSF)(12yiSnixy 失拟检验：失拟检验： 即使某回归方程是高度显著的，但不能保证该方程所表达的线性关系是最优的回归模型。 若FlfF（flf，fe），则表明该方程拟合得好。),(22elfeelflflfffFfSfSF回归方程的精度和置信区间回归方程的精度和置信区间 实验点的离散性 残差平方和Qe与残余方差表示： 回归系数 和b估计值的波动性 各自的方差表示：222nQQnQSxexxnii

33、blSxxSS22122)(2122SnlxSxxniiaxbyxnbynaniinii111 取显著水平取显著水平 ，则回归系数，则回归系数b和和 在置信度（在置信度（1 ）下）下的的置信区间：置信区间：)2(2xxlSntb)2(122xxniinlxSntaxbyxnbynaniinii111给定显著水平，查t分布表,得相应的t值利用回归方程进行预测利用回归方程进行预测 进行回归分析的目的：为了预报和控制被测参数。 在x取某一值x0时，预测变量y的测定值的取值范围； 或在y取某一值y0时，预测变量x的测定值的取值范围。 在统计上，预报与区间估计类似。 取显著水平取显著水平 ，则测定值，则

34、测定值y0或或x0的的1 置信区间：置信区间：)(11)2(2020 xxlxxnSntbxa)(11)2(22020 xxlbyynbSntbay3.3 非线性回归的线性转化非线性回归的线性转化 随机变量Y 与自变量x不存在线性关系 y=f(x)，适当变换适当变换，转化为线性回归问题。 为了找到更符合实际情况的回归公式，一方面要根据专业知识和经验来确定经验曲线的函数类型，另一方面要根据散点图的分布形状及特征来选择适当的曲线拟合这些试验数据。具体方法为：具体方法为： （1）根据样本数据，在直角坐标系中画出散点图；（2）根据散点图，推测出Y与x间的函数关系；（3）选择适当的变换适当的变换，使之变

35、成线性关系；（4）用线性回归方法求出线性回归方程；（5）返回到原来的函数关系，得到要求的回归方程。常见的曲线和变量变换公式（1）双曲线：）双曲线：（2）幂函数：）幂函数：（3）指数函数：）指数函数：（4）对数函数：）对数函数：（5）S型曲线：型曲线：xbay1*1,1bxayxxyy0, 0,xccxyb*ln,ln,lnbxayxxcayy0, cceybx*,ln,lnbxayxxcayyxbayln*ln,bxayxxyyxbeay1*,1bxayexyyx3.4 多元线性回归 以二元线性回归为例 设因变量y，两个自变量为x1，x2，经试验得一系列结果（x11，x21，y1 ) ,(x1

36、2，x22， y2 ). (x1n，x2n， yn ),则二元线性回归方程表示为： -常数，b1和b2为y对x1，x2的偏回归系数。 根据最小二乘法原理，令残差平方和最小，可求得 、 b1和b2。2211xbxbayxbyxnbynaniinii111xbyxnbynaniinii111221112211111xbxbyxnbxnbynanjjnjjnjj211222111222211llllllllbyy211222112111122llllllllbyynjjnjjnjjxnxxxl121121211111)(1)(212122221222)(1)(njjnjjnjjxnxxxlnjnjj

37、jnjjjjnjjxxnxxxxxxll11211212211121121)(njnjjjnjjjjnjjyyxnyxyyxxl1111111111)(njnjjjnjjjjnjjyyxnyxyyxxl1121221221)(案例分析案例分析 多元统计分析在材料贮存寿命预测中的应用多元统计分析在材料贮存寿命预测中的应用 【四川大学学报（工程版），2004年，36卷第3期】 为预测轻武器两类材料的贮存寿命，将材料进行不同温度（T）和时间（t）的老化实验，以冲击强度（y）为评判指标，目的是寻求yf（t，T）？）？ 实验结果如下：T50607080t(day)冲击强度(KJ.m-2) Y0.525.

38、0524.3523.8522.11125.6723.8323.9022.51224.3423.2722.9222.69423.2323.2520.8119.78622.5424.2022.8421.091023.8524.8021.6718.971423.2919.1415.1313.902024.6222.9920.4915.412821.4019.4814.3912.77 建立回归方程建立回归方程 设二元线性回归方程模型为设二元线性回归方程模型为： 其正规方程组为：其正规方程组为：), 0(2210NTataay2022212110212111lalallalal 每次测量的误差65.76

39、7)(86.666)(0)(4500)(2900)(36120361103612112236122236111yyTTlyyttlTTttllTTlttliiiiiiiiiiiiiTtyTatayaaa17. 023. 079.3479.3417. 023. 021021二元回归方程为：的所以，材料的冲击强度 回归方程显著性检验回归方程显著性检验 自变量p2，样本数n36 取显著水平0.01,则：86.3952.11788.283)(40.410)(23612361FQQQyyQyyQxeiixii的因此，回归方程是显著18. 5)33, 2() 1,(99. 01FpnPFF 回归因素的显著

40、性检验回归因素的显著性检验 设对冲击强度是显著的。和因素下，因此，在取Tt01. 0)33, 1 (,31. 7)33, 1 () 1, 1 (,.01. 052.36,08.43.105.130,41.153./99. 02199. 0121212FFFFpnFFFpnQQFQQCjjaQejjjj回归方程的应用预测冲击强度回归方程的应用预测冲击强度 取定一组自变量值(x10,x20),便可由回归方程算得对应的y0点预测值其对应的材料冲击强度y0在给定显著性水平的置信度为1-的预测区间：( -(x0), +(x0) )0y0y0y 回归方程的应用预测失效时间回归方程的应用预测失效时间 一定温

41、度T下,置信度为1-的失效时间t的置信区间： 如:对材料而言,y0=13.03 kJ/m2,当T为常温25时,取=0.1,则材料的失效时间t的90%的置信区间为（76.113.5)d，即（62.6-89.6）d。 材料,y0=12.26 kJ/m2,当T为常温25时,取=0.1,同法可算得失效时间t的90%的置信区间为(180.415.3)d,即（165.1-195.7）d。1211200auaTaay 使用多元回归统计分析使用多元回归统计分析的方法来处理科学实验数的方法来处理科学实验数据据, 预测材料性能变化预测材料性能变化,估计估计材料失效时间材料失效时间,不失为一种不失为一种经典而可靠的方法经典而可靠的方法,能满足能满足工程设计和应用的需要。工程设计和应用的需要。需要注意的是： 除非有充分的理论依据，一般不要外推线性回归方程。 通过回归分析虽然可以从量化的角度反映变量之间的联系形式及密切程度，但是仍然无法准确判断变量之间是否确切存在内在联系。