弹性与塑性力学基础-第4章广义虎克定律和弹性力学解题ppt课件.ppt

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1、哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院弹性与塑性力学基础弹性与塑性力学基础第第 四四 章章广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题的基本方程与方法的基本方程与方法 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.1 应力与应变关系的提出应力与应变关系的提出 4.1.2 虎克定律虎克定律 4.1.3 波桑比波桑比 4.1.4 广义虎克定律广义虎克定律 4-2 基本方程基本方程 4.2.1 弹性阶段本构关系弹性阶段本构关系 4.2.2 平衡方程平衡方程 4.2.3 几何方程几何方程 4.2.4 本构方程本构方程 4-3 边界条件边界条件 4.

2、3.1 边界问题类型边界问题类型 4.3.2 位移边界问题位移边界问题 4.3.3 应力边界问题应力边界问题 4.3.4 混合边界问题混合边界问题 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.1 问题的提出问题的提出 弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用弹性力学问题中，物体的受力与变形情况，需用1515个变量来个变量来 描述。即：描述。即：6 6个应力分量，个应力分量，3 3个位移分量，个位移分量，6

3、 6个应变分量个应变分量。 已学的基本方程已学的基本方程9 9个。包括：变形体的平衡微分方程（微元个。包括：变形体的平衡微分方程（微元 体的力平衡）体的力平衡）3 3个，几何方程（应变位移关系）个，几何方程（应变位移关系）6 6个。个。 未知变量的个数（未知变量的个数（1515）多于方程数（）多于方程数（9 9）必须研究受力物体必须研究受力物体 的应力与应变之间的关系的应力与应变之间的关系物理方程。对于弹性问题，即广义物理方程。对于弹性问题，即广义 虎克定律。虎克定律。弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程

4、与方法的基本方程与方法哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.2 虎克定律虎克定律 1 1、单向拉伸（压缩、单向拉伸（压缩）：）： 材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹材料的应变小于弹性比例极限时，应力和应变之间的关系是线弹 性的，两者之间满足虎克定律。其表达式如下：性的，两者之间满足虎克定律。其表达式如下： 拉伸或压缩方向：拉伸或压缩方向： x x = = x x 与拉伸或压缩垂直的方向：与拉伸或压缩垂直的方向： y y = = z z=-=- x x 式中：式中： 弹性模量弹性模量， 泊松比泊松比 2 2、纯剪：纯剪： 在小

5、变形情况下，由实验可知，正应力与剪应变无关，剪应力与在小变形情况下，由实验可知，正应力与剪应变无关，剪应力与 正应变无关。剪应力与剪应变的关系为：正应变无关。剪应力与剪应变的关系为： xyxy= = G xyxy 式中：式中：G剪切模量，剪切模量，弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法)1(2EG哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 3 3、平面应力状态、平面应力状态: : 对于各向同性的均匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下，对于各向同性的均

6、匀材料，根据实验结果，在小变形的情况下， 正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的正应力和剪应变没有关系，而剪应力只与剪应变有关，且应力的 叠加原理叠加原理是适用的。是适用的。 平面双向拉（压）应力平面双向拉（压）应力 纯剪应力状态纯剪应力状态 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 3 3、平面应力状态、平面应力状态: :由于应力由于应力 x的作用：的作用：x方向应变为方向应变为 y方向应变为

7、方向应变为由于应力由于应力 y的作用：的作用：y方向应变为方向应变为x方向应变为方向应变为 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础ExxEEyEy)(1)(1xyxyyyxyxxEEEEEE同时有同时有 x和和 y作用在作用在x方向及方向及y方向方向的应变为的应变为 (4-3)平平面面应应力力时时的的虎虎克克定定律律第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 3 3、平面应力状态：、平面应力状态： 在在 x x和和 y y作用下，作用下，z方向的应变方

8、向的应变 z= - -( x x y y)/E 在剪应力作用下，在剪应力作用下， X-Y 平面内的平面内的剪剪 应变与纯剪时相同，即：应变与纯剪时相同，即： 式中，式中， 为剪切弹性模量为剪切弹性模量 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础纯剪应力状态纯剪应力状态Gxyxy)1 (2EG第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.3 广义虎克定律广义虎克定律 用相同的方法，可以导用相同的方法，可以导 出出三维应力状态下三维应力状态下的各的各 向

9、同性均匀材料的广义向同性均匀材料的广义 虎克定律，其形式为：虎克定律，其形式为： (4-4) （各向同性均匀材料的各向同性均匀材料的 含义，即材料内部各处含义，即材料内部各处 的不同方向具有相同的的不同方向具有相同的 、E、G 值值）弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础GGGEEEzxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxx)(1)(1)(1第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律的不同形式广义虎克定律的不同形式 将式

10、将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有的前三式左右两边相加后，则有 如令如令 则上式可写为则上式可写为 或或 (4-5)(4-5)表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的表明：弹性变形时，体积变化与三个正应力之和即应力张量的球张量成正比，而与应力偏量无关。球张量成正比，而与应力偏量无关。 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法)(2)(1zyxzyxzyxE)(21zyxE03 ,3xyzxyzm E21mE210哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广

11、义虎克定律广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律的不同形式广义虎克定律的不同形式 引入以上表达式后，广义虎克定律又可写为：引入以上表达式后，广义虎克定律又可写为： (4-6) 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法11(1),11(1),11(1),xxxyxyyyyzyzzzzxzxEGEGEG 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律的不同形式广义虎克定律的不同形式 由式由式(4-6)及式及式(4-5)，可得，可得 即：

12、即： 式中：式中： ex= x- 0 为应变偏量分量，为应变偏量分量， 为应力偏量分量。为应力偏量分量。 用相同的方法，可得：用相同的方法，可得： 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法)(1213)1(121)1(10mxmmxmxxEEEEExxxGEe211mxxyyyGEe211zzzGEe211哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律的不同形式广义虎克定律的不同形式 因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，

13、因为：因此，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成比例的，因为： (4-7) 弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意：弹性阶段应力主轴和应变主轴重合（注意：应力或应变球张量对应力或应变球张量对应力主轴或应变主轴无影响应力主轴或应变主轴无影响） 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法xxxGEe211yyyGEe211zzzGEe211Geeezxzxyzyzxyxyzzyyxx21222哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.3 广义虎克定律的不

14、同形式广义虎克定律的不同形式 各向同性体的虎克定律各向同性体的虎克定律(4-4)是以是以应力表示应变应力表示应变，在求解某些问题，在求解某些问题 时，有时需要用时，有时需要用应变表示应力应变表示应力关系。将式关系。将式(4-4)第一式作如下改变第一式作如下改变 即得式即得式(4-6)的第一式的第一式 利用式利用式(4-5) 便可得便可得 由上式可得由上式可得弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法1()xxxxyzE )1(1xxE)21 ()1(1EExxE211(1)(12 )xxE

15、E哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.3 广义虎克定律的不同形式广义虎克定律的不同形式 如引用如引用 = 并注意到并注意到 则有则有 用相同的方法可以求出其他的关系式，归纳如下用相同的方法可以求出其他的关系式，归纳如下 (4-8) 称为拉梅称为拉梅(Lam)弹性常数。用体积应变表示应力时则有弹性常数。用体积应变表示应力时则有 (4-9) 如令，如令， 则式则式(4-9)可写成可写成(K体积弹性模量体积弹性模量) (4-9)弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方

16、程与方法的基本方程与方法)21)(1 (E12EGxxG2zxzxzzyzyzyyxyxyxxGGGGGG222)23(21GE)21 (3EKK3哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-2 基本方程基本方程 4.2.1 弹性阶段本构关系弹性阶段本构关系 在弹性问题中，本构关系即广义虎克定律（在弹性问题中，本构关系即广义虎克定律（6 6个方程）个方程） 4.2.2 平衡方程（平衡方程（3 3个方程）个方程） (4-10) 或或 (4-10) 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方

17、法000yxxzxxyzyxyyyzxzzKxyzKyzxKzzxy),(0,zyxjiKjjij哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-2 基本方程基本方程 4.2.3 几何方程（应变位移关系，几何方程（应变位移关系，6 6个方程）个方程） (4-11) 或或 (4-11) 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法zuxwzwzvywyvxvyuxuzxzyzyxyx),()(21,zyxjiuuijjiji哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-2 基本方程基本方程

18、4.2.3 几何方程几何方程 由应变位移关由应变位移关 系导出的应变系导出的应变 协调方程：协调方程：(4-12) 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法222222222222222222222yxyxyyzzxxzzyzxyxxzyyzxyxzyzxyxzzyxx yzyy zxzz xy zxxyzz xyxyzx yzxyz 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-2 基本方程基本方程 4.2.4 本构方程本构方程 弹性阶段本构关系为广义虎克定律弹性阶段本构关系为广义虎

19、克定律 (4-13) 或或(4-13) 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法GEGEGEzxzxyxzzyzyzzxyyxyxyzyxx),(1),(1),(1),(,1zyxjiEEkkijijij哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-2 基本方程基本方程 4.2.4 本构方程本构方程 如用应变表示应力，则有如用应变表示应力，则有 (4-14)或或 (4-14) 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学

20、解题 的基本方程与方法的基本方程与方法zxzxzzyzyzyyxyxyxxGGGGGG),21(2),21(2),21(2kkijijijeEE)21)(1 (1哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-3 边界条件边界条件 解弹性力学问题时，除利用上述方程外，还应针对具体问题给出解弹性力学问题时，除利用上述方程外，还应针对具体问题给出 弹性体表面上的边界条件作为补充条件，方可求出定解。弹性体表面上的边界条件作为补充条件，方可求出定解。 4.3.1 边界问题类型边界问题类型 三类：位移边界问题；应力边界问题；混合边界问题三类：位移边界问题；应力边界问题；混合边界问题 1、位移边界问题位移

21、边界问题 物体在全部边界上位移分量已知。如平面问题位移边界条件为：物体在全部边界上位移分量已知。如平面问题位移边界条件为： 其中，其中，us和和vs是位移的边界值，是位移的边界值， 和和 在边界上是坐标的已知函数在边界上是坐标的已知函数 2、应力边界问题应力边界问题 物体在全部边界上所受的面力是已知的，面力分量在边界上是物体在全部边界上所受的面力是已知的，面力分量在边界上是坐标已知函数。把面力已知的条件转换成为应力方面的已知条件，坐标已知函数。把面力已知的条件转换成为应力方面的已知条件，即为应力边界条件。即为应力边界条件。 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克

22、定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法vvuuss,vu哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-3 边界条件边界条件 2、应力边界问题（平面问题）应力边界问题（平面问题） 由平衡微分方程采用的正平行六面体，到物体的边界上，将成由平衡微分方程采用的正平行六面体，到物体的边界上，将成为三角形或三棱柱为三角形或三棱柱(它的斜面它的斜面AB与物体的边界重合与物体的边界重合). 平面问题如图所示，用平面问题如图所示，用N代表边界面代表边界面AB的外法线方向，并令的外法线方向，并令N的方向余弦为的方向余弦为 几何尺寸：设边界面几何尺寸：设边界面AB的长度为的

23、长度为dS， 则有：则有：PA ldS ， PBmdS。 垂直于垂直于XOY面方向的尺寸仍取一个单位面方向的尺寸仍取一个单位 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法.),cos(,),cos(myNlxN受力平衡图受力平衡图 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-3 边界条件边界条件 2、 应力边界问题（平面问题）应力边界问题（平面问题） 由由平衡条件平衡条件 FX=0 得得 略去含略去含dS2的高阶微量项，得的高阶微量项，得 其中其中(X)s和和(yx)s是应力分量边界值是

24、应力分量边界值, 由由 FY=0，可得另一相似方程。，可得另一相似方程。 边界各点应力分量与面力分量关系边界各点应力分量与面力分量关系 (4-16) (4-16)式即为平面问题应力边界条件式即为平面问题应力边界条件 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法受力平衡图受力平衡图 012111ldSmdSKmdSldSdSSxyxxxxxyxsxSml)()()()()()xsyxsxysxysylmSlmS哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-3 边界条件边界条件 2、应力边界问

25、题（平面问题）应力边界问题（平面问题） 考虑第三个平衡条件考虑第三个平衡条件 M=0 ，有，有 特例：垂直于特例：垂直于x轴的边界上，轴的边界上， l=1，m0， 应力边界条件简化为应力边界条件简化为 垂直于垂直于y轴的边界上，轴的边界上， l=0，m= 1，应力边界条件简化为应力边界条件简化为 即：应力分量边界值等于对应面力分量即：应力分量边界值等于对应面力分量弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法受力平衡图受力平衡图 syxsxy)()(),()xsxxysySS (),()ysy

26、yxsxSS 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-3 边界条件边界条件 2、应力边界问题应力边界问题 注意注意: (1)垂直于垂直于x轴边界上应力边界条件中并没有轴边界上应力边界条件中并没有 y (2)垂直于垂直于y轴边界上应力边界条件中并没有轴边界上应力边界条件中并没有 x 由此可见，平行于边界的正应力，其边界值与面力分量并由此可见，平行于边界的正应力，其边界值与面力分量并不直接相关。不直接相关。 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法受力平衡图受力平衡图 哈工大（威海）

27、哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 边界条件边界条件 3、混合边界问题混合边界问题 部分边界具有位移边界条件，部分边界则具有应力边界条件部分边界具有位移边界条件，部分边界则具有应力边界条件. . 混合边界条件：同时存在位移边界条件和应力边界条件混合边界条件：同时存在位移边界条件和应力边界条件弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法混合边界问题实例：混合边界问题实例： (a)连杆支承边连杆支承边(x轴轴) (b)齿槽边界齿槽边界(x轴轴) 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-

28、4 边界条件边界条件 垂直于垂直于x轴的边界（轴的边界（l=1, m=0）是连杆支承边）是连杆支承边(图图a) x方向：位移边界条件：方向：位移边界条件： y方向：应力边界条件：方向：应力边界条件： 垂直于垂直于x轴边界是齿槽边轴边界是齿槽边(图图b) x方向：应力边界条件：方向：应力边界条件： y方向：位移边界条件：方向：位移边界条件：弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法0 uussxy)(0yS0)(xsxS0 vvs哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解

29、弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法：(a) 位移法；位移法；(b) 应力法。应力法。 位移法：位移法：取取位移分量为基本未知变量位移分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件，利用基本方程和边界条件， 求解弹性力学问题。求解弹性力学问题。 应力法：应力法：取取应力分量为基本未知变量应力分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件，利用基本方程和边界条件， 求解弹性力学问题。求解弹性力学问题。 位移法求解弹性力学问题的基本步骤位移法求解弹性力学问题的基本步骤 利用几何方程用位移表示应变利用几何方程用位移表示应变 代入本构方程，得到用位代入本构方程，得到

30、用位移表示的应力分量移表示的应力分量 代入平衡微分方程，得出关于位移的方程式代入平衡微分方程，得出关于位移的方程式 利用边界条件，求解关于位移分量的方程组，得出位移分量利用边界条件，求解关于位移分量的方程组，得出位移分量 代入几何方程，求出应变分量代入几何方程，求出应变分量 代入本构方程，求出应代入本构方程，求出应力分量。力分量。 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问

31、题的基本过程位移法求解弹性力学问题的基本过程 用位移表示应变用位移表示应变的几何方程：的几何方程： 用应变表示应力用应变表示应力的本构方程：的本构方程： 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法zuxwzwzvywyvxvyuxuzxzyzyxyxzxzxzzyzyzyyxyxyxxGGGGGG222哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程位移法求解弹性力学问题的基本过程 代入代入 ，得：，得： （

32、A A） 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法2()2()2()xxyyyzzzxuuvGGxyxvwGGyzywwuGGzxz哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程位移法求解弹性力学问题的基本过程 将将(A)(A)式表示的各应力分量代入平衡微分方程式表示的各应力分量代入平衡微分方程， 由第由第1 1式，得：式，得： 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和

33、弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法000KzyxzKxzyKzyxyzxxzyxyzyyxzxyxx222222222()()0 xuuvwuGGGKxxyx yx zz 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程位移法求解弹性力学问题的基本过程 因为，因为， 所以，上式可变为：所以，上式可变为： (B-1) (B-1) (B-1)(B-1)式中：式中：2 2称为拉普拉斯算子，称为拉普拉斯算子， 为体积应变，为体积应变， 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础

34、第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法2222222222()()0 xuuuuvwGGKxxyzxx yx z 2()0 xGGuKx2222uvwxxx yx z 2222222xyz uvwxyz哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程位移法求解弹性力学问题的基本过程 用同样的方法，可得另外两相似的表达式。因此，有：用同样的方法，可得另外两相似的表达式。因此，有： (B1)(B1) (B2) (B2) (B3) (B3) 至此，至此，15

35、15个基本方程均已被利用个基本方程均已被利用1 1次，得到了关于位移分量的次，得到了关于位移分量的3 3个个方程式方程式(B1-B3)(B1-B3)。再利用边界条件，即可由求解出位移分量。再利用边界条件，即可由求解出位移分量u, v, w。 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法2()0zGGwKz2()0yGGvKy2()0 xGGuKx哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程位移法求解弹性力学

36、问题的基本过程 边界条件的应用：边界条件的应用： 1 1、若边界条件为位移边界条件，即已知物体表面的位移，则由、若边界条件为位移边界条件，即已知物体表面的位移，则由 方程方程 B1-B3 B1-B3 和直接应用边界条件，即可求解出和直接应用边界条件，即可求解出u, v, w。 2 2、若在物体表面给定的是面力条件，即为应力边界条件时，则、若在物体表面给定的是面力条件，即为应力边界条件时，则必须进行适当变换，即必须进行适当变换，即利用虎克定律利用虎克定律( (应变表示应力的形式应变表示应力的形式) )和应力和应力边界条件表达式，边界条件表达式，将物体表面的面力条件与位移分量的边界值联系将物体表面

37、的面力条件与位移分量的边界值联系起来。起来。 由：由：虎克定律虎克定律 应力边界条件应力边界条件 几何方程几何方程 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法zxzxzzyzyzyyxyxyxxGGGGGG222哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程位移法求解弹性力学问题的基本过程 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的

38、基本方程与方法的基本方程与方法()()()()()()()()()xxsyxszxsyxysyszyszxzsyzszsSlmnSlmnSlmnzuxwzwzvywyvxvyuxuzxzyzyxyx哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题的基本过程位移法求解弹性力学问题的基本过程 可得：可得： 由上述边界条件和方程由上述边界条件和方程B1-B3B1-B3，即可求解出，即可求解出u, v, w, 求出求出6 6个应个应变分量变分量 求出求出6 6个应力分量。个应力分量。 弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基

39、础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法()()(2)ssszwuwvwlGmGnGSxzyzz()(2)()sssyuvvwvlGmGnGSyxyyz(2)()()sssxuvuwulGmGnGSxxyxz哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法 利用广义虎克定律，

40、得到用应力分量表示的协调条件；利用广义虎克定律，得到用应力分量表示的协调条件； 将平衡微分方程代入协调条件，化简方程组，得出满足将平衡微分方程代入协调条件，化简方程组，得出满足平衡微分方程的协调条件；平衡微分方程的协调条件； 利用边界条件，求解关于应力分量的方程组，得出各应利用边界条件，求解关于应力分量的方程组，得出各应力量；力量； 利用广义虎克定律，求各应变分量；利用广义虎克定律，求各应变分量； 代入几何方程，求位移变分量；代入几何方程，求位移变分量； 哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程应力法求解

41、弹性力学问题的基本过程弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法xzxzzyzyyxyxzxzxyzyzxyxy222222222222222yxzyxzxzyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxzyxyzx222222 利用广义虎克定律，消去协调条件中的应变分量：利用广义虎克定律，消去协调条件中的应变分量：用用应应变变分分量量表表示示的的协协调调条条件件哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基

42、本过程应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法用用应应力力分分量量表表示示的的协协调调条条件件zyxzyxyxyxzyxzxzxzyxzyzyxzxzzxzyzyyzyxyxxyxyzxyzzzxyzxyyyzxyzxxzxxzyzzyxyyx222222222222222222222222222222222111212121（4-214-21）哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性

43、力学问题的基本过程应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法 将将（4-214-21）中的第一式与第三式相加，利用）中的第一式与第三式相加，利用平衡微分方程，平衡微分方程，可得：可得：xxzxxyzxxyzyxxKxxzyxxzyxzyxxzy22222122222222222222xKxxx2112222即：即：哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程应力法求解弹性力

44、学问题的基本过程弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法用同样的方法，用同样的方法，可得：可得：xKxxx2112222即有：即有：zKzyKyzzyy21121122222222zKzyKyzzyy21121122222222（4-22）哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广

45、义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法将将（4-224-22）中三式相加，）中三式相加，得：得：2zKyKxKzyx21122（4-23）再将再将（4-234-23）中的）中的 代入（代入（4-224-22），可），可得：得：2221211yxxzxKKKKxxxyz 用同样的方法，用同样的方法，可可得另外两个类似的方程：得另外两个类似的方程：22222212111211yyxzyyxzzzKKKKyyxyzKKKKzzxyz （4-244-24）-A-A哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题

46、的基本过程应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法利用平衡微分方程，将利用平衡微分方程，将（4-24-2）中的第四式变为如形式）中的第四式变为如形式：整理化简后，得：整理化简后，得：22222211xyyzxz xyzyyzyzzzyyzyzyzy zy zxyzxKKyyzzyzxKKy zyz 用同样的方法，用同样的方法，可可得另外两个类似的方程。得另外两个类似的方程。yKzKzyzyyz2211（4-244-24）-B-B哈工大（威海）哈工大（威海）

47、材料学院材料学院4-5 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法因此，利用平衡微分方程，可将用应力分量表示的变形协调条因此，利用平衡微分方程，可将用应力分量表示的变形协调条件变为：件变为：zKxKxzyKzKzyxKyKyxzKyKxKzKzzKyKxKyKyzKyKxKxKxxzzxzyyzyxxyzyxzzzyxyyzyxxx222222222222222111121112111211（4-244-24）哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力求解弹性力学问题按应力求解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题的基本过程应力法求解弹性力学问题的基本过程弹性与塑性弹性与塑性力 学 基 础力 学 基 础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 的基本方程与方法的基本方程与方法 利用边界条件，求解方程组利用边界条件，求解方程组(4-24)(4-24)，得出各应力量；，得出各应力量；,xyzx yy zz x 利用广义虎克定律，求各应变分量；利用广义虎克定律，求各应变分量； 利用几何方程，求位移变分量；利用几何方程，求位移变分量；