高数第九章(6)多元函数微分学的几何应用ppt课件.ppt

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1、第六节复习 目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数定义定义: 设数集 ，则称映射D R R:nfD R R为一元向量值函数，通常记为：( ),rf t tD其中D称为函数的定义域，t称为自变量，r称为因变量。注注1 1: 我们只讨论n=3的情形，此时，向量值函数可以表示为123( )( )( )( ) ,f tf t if t jf t k tD123( )( )( )

2、( ),.f tf tf tf ttD或，注注2 2:注意定义域与值域中距离函数的不同。注注4 4:一元一元向量值函数r=f(t),tD与空间曲线一一对应。注注3 3:向量值函数与数量值函数的不同，数量可以比较大小，但是向量不能比较大小。定义定义1（向量值函数的极限向量值函数的极限）0( )f tt设向量值函数在点 的某一去心邻域内有定义，0,r若存在一个常向量0 对于，0,使得00 | -|t t当时，总有0|( )-|,f tr00( )rf ttt则称 为向量值函数当时的极限，记作0000lim( ),( ) .ttf trf tras tt或，0000123lim( )(lim( ),

3、lim( ),lim( )ttttttttf tf tf tf t注：注：定义定义（向量值函数的连续向量值函数的连续）0( )f tt设向量值函数在点 的某一邻域内有定义，00lim( )( ),ttf tf t若0( )f tt则称向量值函数在 连续。注：注：0( )f tt向量值函数在 连续1230( )( )( )( ).f tf tf tf tt的三个分量函数，都在 连续定义定义2（向量值函数的导数或导向量向量值函数的导数或导向量）0( )f tt设向量值函数在点 的某一邻域内有定义，若0000()( )limlimttf ttf trtt 存在，( )rf t则称此极限为向量值函数0

4、t在 处的导数或导向量，00( )|.t tdrftdt记作或注：注：123( )( )( )( )ftftftft，运算法则：运算法则：(1)0;dCdt(2)( )( );dcu tcu tdt(3) ( )( )( )( );du tv tu tv tdt(4) ( ) ( )( ) ( )( ) ( );dt u tt u tt u tdt(5) ( )( )( )( )( )( );du tv tu tv tu tv tdt(6) ( )( )( )( )( )( );du tv tu tv tu tv tdt(7)( ( )( ) ( ).dutt utdt导向量的几何意义：导向量

5、的几何意义：导向量的物理意义：导向量的物理意义：例例1.1.4( )(cos ,sin , ),lim( ).tf ttt tf t设求例例2.2.( )rf t设空间曲线 的向量方程为22(1,4 -3,2-6 ),tttt求该曲线在与02t 相应的点处的单位切向量复习复习: 平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程0yy 法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在点),(00yx切线方程法线方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点有有因

6、0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停1. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况)(, )(, )(:tztytxzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以得令, 0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设 ),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(

7、0t)(0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 TMM:的方程割线MM)(00 xxt此处要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如个别为0, 则理解为分子为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 M不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 说明说明: 若引进向量函数 ) )(, )(, )()(ttttr, 则 为 r (t) 的矢端曲线, 0t而在处的导向量 )(, )(, )()(0000ttttr就是该点的切向量.o)(trTzyxo例例1. 求圆柱螺旋线

8、 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),0,(kRT, 故2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲线上一点),(000zyxM, 且有xzdd,),(),(1xzGFJ ,),(),(1yxGFJ 时, 可表示为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ

9、),(),(1,),(),(1,1机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, 100 xxTxyz 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zz或机动 目录 上页 下页 返回 结束 MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(0)()()()()()(000MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为)(),(),()(),(),(00yy

10、MxzGFxxMzyGF法平面方程法平面方程0)(),(),(0zzMyxGF机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求曲线0,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. MzyGF),(),(切线方程121zyx解法解法1 令,222zyxGzyxF则即0202yzx切向量;0),(),(MxzGFMzy1122Mzy)(2;606xyz6机动 目录 上页 下页 返回 结束 6),(),(MyxGF)6,0, 6(T法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxzzxyydddd解法解法2. 方程组两边对

11、 x 求导, 得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1,0, 1(T0),(:zyxF三、三、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(, )(, )(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytx

12、x不全为0 . 则 在, )(, )(, )(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tttTMT证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上,)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 )(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(0000

13、00000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性 , 的平面上 , 从而切平面存在 .n表明这些切线都在以为法向量n)( ),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 )( ),(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(

14、则在点),(zyx故当函数 ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx特别特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,法向量法向量用2211cosyxff将),(, ),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,) 1, ),(, ),

15、(0000yxfyxfnyx复习 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求球面3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n例例4. 确定正数 使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故000000000

16、zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ),(0000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有20y20z21. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt1) 参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(, )(, )(000tttT切线方程法平面方程MM

17、MyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2) 一般式情况.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zz机动 目录 上页 下页 返回 结束 T空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隐式情况 .的法向量法

18、向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 显式情况.法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 ,(yxffn

19、思考与练习思考与练习1. 如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示: 设切点为, ),(000zyxM则223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点, ),(000zyxM则通过此0zz 作业作业 P100 4，6，8，10, 11, 12)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 设 f ( u ) 可微,第七节 目录 上页 下页 返回 结束 证明原点坐标满足上述方程

20、 .点的切平面为 1. 证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行,.),(可微其中vuF证证: 曲面上任一点的法向量,1F, )()(21nFmF )2F取定直线的方向向量为,m,1)n则(定向量)故结论成立 .的所有切平面恒备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 (n(l,0nl2. 求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 , 1 , 1 (1)2,2,32(zyxn)5,3,2(2n21nnl