求体积的几种常用的方法ppt课件.ppt

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1、南昌市豫章中学南昌市豫章中学授课人：徐授课人：徐 娜娜复习回顾：1.1.棱柱棱柱、棱锥、棱锥、棱棱台的体积公式台的体积公式是什么？它们的图形有何联系是什么？它们的图形有何联系？上底扩大上底缩小正棱柱正棱台正棱锥s=0s=sV =-h(S+SS+S)13台体V =Sh柱体V =-Sh13锥体2.2.常见的几何体常见的几何体正四正四面体的体积公式是什么？面体的体积公式是什么？答：边长为 的正四面体的体积为a3122aASCBOa36a33aBCAB如何求三棱锥的体积？V三棱锥=-V三棱柱1 3 ABCABCABCACACB 答：由于 和 的面积相等，且三棱锥 和三棱锥 具有相等的高，所以BAA,B

2、AB,BAAC,BABC,BABCBAACVV,又由于 和 的面积相等，且三棱锥 和三棱锥 具有相等的高，所以CBBCCBCBBACCBA CCBACBBAVV一、等积转换法（换底法）一、等积转换法（换底法） 等积转换法是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积。【例例1 1】 在边长为在边长为a a的正方体的正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M M、N N、P P分别是棱分别是棱A A1 1B B1 1、A A1 1D D1 1、A

3、A1 1A A上的点，且满足上的点，且满足A A1 1M M= = A A1 1B B1 1，A A1 1N N=2=2NDND1 1，A A1 1P P= = A A1 1A A，如图，试求三棱锥，如图，试求三棱锥A A1 1MNPMNP的体的体积积2143MNAPMNPAVV11.241433221213121313111aaaaPANAMA解：解：思考：思考：结论：结论：对于三棱锥，四个面都可以作为对于三棱锥，四个面都可以作为底面，选取三个点所在的面作为底面，剩底面，选取三个点所在的面作为底面，剩余的一个点作为顶点。至于如何选取，关余的一个点作为顶点。至于如何选取，关键在于选取的底面积和

4、高易求出。键在于选取的底面积和高易求出。 对于给出的一个不规则的几何对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要体，不能直接套用公式，常常需要通过通过“割割”或或“补补”化复杂图形为化复杂图形为已熟知的简单几何体，并作体积的已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口。题的突破口。二二、割补法、割补法【例例2】 如右图，在多面体如右图，在多面体ABCDEF中，中，已知已知ABCD是边长为是边长为1的正方形，且的正方形，且 ADE、BCF均为正三角形，均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为，则该多面体的体积为.思考

5、：E EF FA AB BC CD DE EF FA AB BC CD DG GH H(分割法分割法2)P PE EF FA AB BC CD D（分割法（分割法3）Q QE EG GF FP PA AB BC CD DH H（补形法）（补形法）E EF FA AB BC CD D(分割法分割法1)E EF FA AB BC CD DE EF FA AB BC CD D（分割法（分割法1 1） 多面体分割成一个三棱锥和一个四棱锥，但是，三棱锥E-ADF的体积不易求得，所以，不考虑这种方法。注：注：将几何体分割时，尽量分割成体积容易求得的小几何体。.32221221213112212112221

6、BHCAGDBHCFAGDEABCDEFBHCAGDVVVV，SS,23HCBHGDAG由题意得21分别过A、B作EF的垂线，垂足分别为G、H，连结DG、CH，容易求得EG=HF= .( (分割法分割法2) 2)E EF FA AB BC CD DE EF FA AB BC CD DG GH H返回返回E EF FA AB BC CD DP PE EF FA AB BC CD D（分割法（分割法3 3）：）： 取EF的中点P，则多面体ABCDEF分割成正四面体ADEP，PBCF和正四棱锥P-ABCD32622122.6222131122ABCDEFABCDPPBCFADEPVVVV返回返回Q

7、QE EG GF FP PA AB BC CD DH HE EF FA AB BC CD D（补形法）：（补形法）： 如图，过E分别作BA、CD的延长线的垂线EG、EH，过F分别作AB、DC的延长线的垂线FP、FQ，连接GH、PQ，则多面体EFH-FPQ为直三棱柱AG=DH=BP=CQ= ，2123EG=EH=FP=FQ=E到平面AGHD的距离为223221222222221211222212131ABCDEFFPQEGHBCQPFAGHDEVVVV返回返回ABCDEF1.多面体常常切割成柱体和锥体，特别是三棱锥,比如2.将大几何体分割时，尽量分割成底面积或高容易求得的小几何体。ABCDEFG

8、Hab bbaa1.将不规则的几何体补成规则的或体积易于计算的几何体。2.常见的补形（1）将被平面所截得几何体还原；（2）将三棱锥补成平行六面体，特别是长方体或正方体；a.三条侧棱互相垂直，补成长方体b.将三棱锥补成三棱柱或平行六面体ABCPABPCc.将正四面体补成正方体解：.,60, 2, 1,求此三棱锥的体积中在三棱锥BACPACPABACABPAABCP练习：练习：.,:,. 360cos21221,222222PBCPAPCPAPBPAPBPAABPBPAB面面故故同同理理即即中中在在 PABCPABC.,PAPBC三三棱棱锥锥的的高高为为则则为为底底面面选选平平面面D.322131

9、31,21322 PAPDBCPDSVBDPBPDPBC又又（等积转换法）（等积转换法）思考思考这个三棱锥还可以用“割补法”做吗？“割”或“补”一个几何体得到常见的几何体呢？法二法二 ( (分割分割法）法）取AB、AC的中点M、N，连接PM、PN、MN，则P-AMN是一个棱长为1的正四面体。明显地，VP-ABC=4VP-AMN故VP-ABC=32112243MNPABCPABCOQ法三：法三： 明显地，P-ABC是棱长为2的正四面体，所以，VP-ABC=1/2VQ-ABC （补形法）（补形法）延长AP至点Q， 连接BQ、CQ，322122213求体积的求体积的常用方法常用方法所给的是非规范所给

10、的是非规范( (或条件比较分散的规或条件比较分散的规范的范的) )几何体时几何体时, ,通过对图象的割补或体通过对图象的割补或体积变换积变换, ,化为与已知条件直接联系的规化为与已知条件直接联系的规范几何体范几何体, ,并作体积的加、减法。并作体积的加、减法。小结小结当按所给图象的方位不便计算时当按所给图象的方位不便计算时, ,可选可选择条件较集中的面作底面择条件较集中的面作底面, ,以便计算底以便计算底面积和高面积和高. .所给的是规范几何体所给的是规范几何体, ,且已知条件比较且已知条件比较集中时集中时, ,就按所给图象的方位用公式直就按所给图象的方位用公式直接计算体积接计算体积. .换底法换底法直接法直接法割补法割补法 作业：作业： P P4 49 B9 B组组 1,2,3 1,2,3