2013高考数学教案和学案（有答案）第8章学案(共13页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上学案40空间的垂直关系导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题自主梳理1直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也_这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内_直线垂直于同一个平面的两条直线_垂直于同一直线的两个平面_2直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这

2、个平面内的_所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角一条直线垂直于平面，说它们所成的角为_；直线l或l，说它们所成的角是_角3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_，那么这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面自我检测1给定空间中的直线l及平面.条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的_条件2(2010浙江改编)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是_(填序号)若lm，m，则l；若l，lm，则m；若l，m，则lm；若l，m

3、，则lm.3对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直线l，直线m，使得lm；存在异面直线l、m，使得l，l，m，m.其中，可以判定与平行的条件有_个4(2009四川卷改编)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的序号是_PBAD；平面PAB平面PBC；直线BC平面PAE；直线PD与平面ABC所成的角为45.5如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)探究点一线面垂直的

4、判定与性质例1RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC.求证：BD平面SAC.变式迁移1四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD.已知ABC45，SASB.证明：SABC.探究点二面面垂直的判定与性质例2如图所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1DC平面ABCD.变式迁移2已知平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，AE平面PBC，E为垂足(1)求证：PA平面ABC；(2)当E为PBC的垂心时，求证：

5、ABC是直角三角形探究点三与垂直有关的探索性问题例3如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)是否存在点E，使得平面ADE平面PDE？并说明理由变式迁移3如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论转化与化归思想例(14分)已知四棱锥PABCD，底面ABCD是A60的菱形，又PD底面ABCD，点M、N分别是棱AD

6、、PC的中点. (1)证明：DN平面PMB；(2)证明：平面PMB平面PAD.【答题模板】证明(1)取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC的中点，所以QNBCMD，且QNMD，故四边形QNDM是平行四边形，于是DNMQ.4分又MQ平面PMB，DN平面PMBDN平面PMB.7分(2)PD平面ABCD，MB平面ABCD，PDMB.9分又因为底面ABCD是A60的菱形，且M为AD中点，所以MBAD.又ADPDD，所以MB平面PAD.12分又MB平面PMB，平面PMB平面PAD.14分【突破思维障碍】1立体几何中平行与垂直的证明充分体现了转化与化归的思想，其转化关系如图2在解决线面

7、、面面平行或垂直的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线”到“线面”，再到“面面”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”1证明线面垂直的方法：(1)定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：l；(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性质：，aa；(5)面面垂直的性质：，l，a，ala.2证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线的夹角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：a，bab.3证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成

8、的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010扬州月考)已知直线a，b和平面，且a，b，那么是ab的_条件2已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若m，mn，n，则；若m，n，则mn.其中正确命题是_(填序号)3设直线m与平面相交但不垂直，给出以下说法：在平面内有且只有一条直线与直线m垂直；过直线m有且只有一个平面与平面垂直；与直线m垂直的直线不可能与平面平行；与直线m平行的平面不可能与平面垂直其中错误的是_4(2009江苏)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直

9、线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)5如图所示，设平面EF，AB，CD，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BDEF.现有：AC；AC与CD在内的投影在同一条直线上；ACEF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是_(填上你认为正确的所有答案序号)6如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PAa，PBPDa，则它的5个面中，互相垂直的面有_对7如图所示，正方体ABCDA1

10、B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：点H是A1BD的中心；AH垂直于平面CB1D1；AC1与B1C所成的角是90.其中正确命题的序号是_8正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为_二、解答题(共42分)9(12分)(2011全国新课标，18)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)设PDAD1，求棱锥DPBC的高10(14分)(2011全国老课标，20)如图，四棱锥SABCD中，ABCD，

11、BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成角的正弦值11(16分)(2011陕西)如图，在ABC中，ABC45，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)若BD1，求三棱锥DABC的表面积学案40空间的垂直关系答案自主梳理1(1)相交垂直(2)任意平行平行2射影直角03.(1)一条垂线(2)交线自我检测1必要非充分2.3.24.5DMPC(或BMPC等)课堂活动区例1解题导引线面垂直的判定方法是：证明直线垂直平面内的两条相交直线即从“线线垂直”到“线面垂直”证明

12、(1)取AB中点E，连结SE，DE，在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DEBC，且DEAB，SASB，SAB为等腰三角形，SEAB.SEAB，DEAB，SEDEE，AB面SDE.而SD面SDE，ABSD.在SAC中，SASC，D为AC的中点，SDAC.又ACABA，SD平面ABC.(2)若ABBC，则BDAC，由(1)可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD.又SDACD，BD平面SAC.变式迁移1证明作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD.因为SASB，所以AOBO.又ABC45，故AOB为等腰直角三角形，且AOBO，又SOBC，SOA

13、OO，BC面SAO.又SA面SAO，SABC.例2解题导引证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行证明如图所示，连结AC，BD，A1C1，则O为AC，BD的交点，O1为A1C1，B1D1的交点由棱柱的性质知：A1O1OC，且A1O1OC，四边形A1OCO1为平行四边形，A1OO1C，又A1O平面ABCD，O1C平面ABCD，又O1C平面O1DC，平面O1DC平面ABCD.变式迁移2证明(1)在平面ABC内取一点D，作DFAC于F，DGAB于G，平面PAC平面ABC，且交线为AC，DF平面PAC.又PA平面PAC

14、，DFPA.同理可证：DGPA.又DG、DF都在平面ABC内，DGDFD，PA平面ABC.(2)连结BE并延长交PC于H，E是PBC的垂心，PCBH.又已知AE是平面PBC的垂线，PC平面PBC，PCAE.又BHAEE，PC平面ABE.又AB平面ABE，PCAB.PA平面ABC，PAAB.又PCPAP，AB平面PAC，又AC平面PAC，ABAC.即ABC为直角三角形例3解题导引这类探究性问题可以由结论出发寻找思路，如本题寻找满足条件的点E，可以从平面ADE平面PDE出发，因为AEP是二面角ADEP的平面角，所以AEP90，即AEPC，从而找到点E的位置对于探究性的开放型问题，应该用分析法找点线

15、面的“位置”，再用综合法写出步骤(1)证明PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC.又PAACA，BC平面PAC.(2)解存在点E使得平面ADE平面PDE.DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP90.平面ADE平面PDE.变式迁移3(1)证明如图所示，取AD的中点G，连结PG，BG，BD.PAD为等边三角形，PGAD，在ABD中，DAB60，ADAB，ABD为等边三角形，BGAD，又BGPGG，AD平面

16、PBG，ADPB.(2)解连结CG，DE，且CG与DE相交于H点，在PGC中作HFPG，交PC于F点，连结DF，由(1)知，PGAD，又平面PAD平面ABCD，PG平面ABCD，FH平面ABCD，平面DHF平面ABCD，即平面DEF平面ABCD，H是CG的中点，F是PC的中点，在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF平面ABCD.课后练习区1充要解析若，由a，易知a或a，而b，于是ab.若ab，易知，故是ab的充要条件2解析正确，两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一个平面；正确，垂直于同一直线的两平面平行；正确，两平面垂直的判定定理；不正确，n、m也可能异面3解析因为直

17、线m是平面的斜线，在平面内，只要和直线m的射影垂直的直线都和m垂直，所以错误；正确；错误，设b，bm，cb，c，则c，cm；错误，如正方体AC1，m是直线BC1，平面ABCD是，则平面ADD1A1既与垂直，又与m平行4解析命题是两个平面平行的判定定理，正确；命题是直线与平面平行的判定定理，正确；命题中在内可以作无数条直线与l垂直，但与只是相交关系，不一定垂直，错误；命题中直线l与垂直可推出l与内两条直线垂直，但l与内的两条直线垂直推不出直线l与垂直，所以直线l与垂直的必要不充分条件是l与内两条直线垂直5解析由线面垂直的判定与性质定理可知可以；由线面垂直、线线垂直的判定与性质定理可知也可以，所以

18、可以成为增加条件的是.65解析面PAB面PAD，面PAB面ABCD，面PAB面PBC，面PAD面ABCD，面PAD面PCD.7解析由于ABCDA1B1C1D1是正方体，所以AA1BD是一个正三棱锥，因此A点在平面A1BD上的射影H是三角形A1BD的中心，故正确；又因为平面CB1D1与平面A1BD平行，所以AH平面CB1D1，故正确；从而可得AC1平面CB1D1，即AC1与B1C垂直，所成的角等于90.8解析如图取CD的中点F，SC的中点G，连结EF，GF，GE.则AC平面GEF，故动点P的轨迹是EFG的三边又EFDB，GEGFSB，EFFGGE.9(1)证明因为DAB60，AB2AD，由余弦定

19、理得BDAD.(2分)从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.(4分)所以BD平面PAD，故PABD.(6分)(2)解如图，作DEPB，垂足为E，已知PD底面ABCD，则PDBC.(8分)由(1)知BDAD，又BCAD，BCBD.又PABD，BC平面PBD，BCDE.DE平面PBC.AD1，AB2，DAB60，BD.又PD1，PB2.(10分)根据DEPBPDBD，得DE，即棱锥DPBC的高为.(12分)10(1)证明取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DECB2，连结SE，则SEAB，SE.又SD1，故ED2SE2SD2，所以DSE为直角，即SDSE

20、.(3分)由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.由SD与两条相交直线AB、SE都垂直，所以SD平面SAB.(6分)(2)解由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE.(8分)作SFDE，垂足为F，则SF平面ABCD，SF.作FGBC，垂足为G，则FGDC1.连结SG，又BCFG，BCSF，SFFGF，故BC平面SFG，平面SBC平面SFG.作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC.FH，则F到平面SBC的距离为.由于EDBC，所以ED平面SBC，E到平面SBC的距离d为.(10分)设AB与平面SBC所成的角为，则sin ，即AB与平面SBC所成的角的正弦值为.(12分)11(1)证明折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.(3分)又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ABD平面BDC.(7分)(2)解由(1)知，DADB，DBDC，DCDA.DBDADC1，ABBCCA，(9分)从而SDABSDBCSDCA11，SABCsin 60，(12分)三棱锥DABC的表面积S3.(16分)专心-专注-专业