大连理工大学矩阵与数值分析第1章-计算方法ppt课件.ppt

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1、大连理工大学研究生教育大楼大连理工大学研究生教育大楼矩阵与数值分析 大连理工大学工科硕士研究生数学公共基础课程大连理工大学工科硕士研究生数学公共基础课程 主主 讲讲 教教 材材& 参考书目参考书目 (Reference) 科学和工程计算基础科学和工程计算基础 施妙根施妙根 顾丽珍顾丽珍 编著编著 （清华大学出版社）（清华大学出版社） 数值方法（数值方法（MATLABMATLAB版）版）美美 陈渝陈渝 等等 译译 李晓梅李晓梅 审校审校 （电子工业出版社）（电子工业出版社） 矩阵论简明教程矩阵论简明教程 许仲许仲 张凯院等编著张凯院等编著 科学出版社科学出版社John.H.MathewsKurt

2、is D.Fink课程的总成绩课程的总成绩考考 核核 要要 求求期末考试期末考试平时作业平时作业数值实验数值实验占占20%20%；占占10%10%；占占70%70%； 知识，只有当它靠积极的知识，只有当它靠积极的思考得来而不是凭记忆得来的思考得来而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识。时候，才是真正的知识。 列夫列夫 托尔斯泰托尔斯泰第第1 1章章 绪绪 论论1.1 计算机科学计算研究对象与特点计算机科学计算研究对象与特点1.2 误差分析与数值方法的稳定性误差分析与数值方法的稳定性1.3 向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数 科学计算科学计算、理论计算理论计算和和实验实验并列为三大科学方法。并列为

3、三大科学方法。 我们所学习的内容属于我们所学习的内容属于一门新学科一门新学科科学计算科学计算。 即即现代意义下的现代意义下的计算数学。计算数学。 主要研究在计算机上可计算的有效算法及其相关理主要研究在计算机上可计算的有效算法及其相关理论。论。本课程主要研究现代、行之有效本课程主要研究现代、行之有效数值方法数值方法1.1 计算机科学计算研究对象与特点计算机科学计算研究对象与特点 主要内容包括：主要内容包括：微分方程数值解法微分方程数值解法 本课程主要研究用计算机求解各种数学问题本课程主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现的数值计算方法及其理论与软件实现数值代数数值代数数

4、值逼近数值逼近（数值微分积分）（数值微分积分）bAx 0 0 xf xf xf xxfxbad d 00,utuutfu矩阵分析简介矩阵分析简介0kkA0kkA AAAsin、ef dttdAdttba)(A 三、有好的计算复杂性，既要三、有好的计算复杂性，既要时间复杂性时间复杂性好，是指节省时好，是指节省时间，又要间，又要空间复杂性空间复杂性好，是指节省存储量，这也是建立算法要好，是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。 课程的特点课程的特点： 一、构造计算机可行的一、构造计算机可行的有效算法有效算法 二、给出可

5、靠的理论分析，即对任意逼近并达到精度要求，二、给出可靠的理论分析，即对任意逼近并达到精度要求，保证数值算法的保证数值算法的收敛性收敛性和和数值稳定性数值稳定性，并可进行，并可进行误差分析误差分析。 四、四、数值实验数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。 考察，线性方程组的解法考察，线性方程组的解法 早在早在1818世纪世纪Cramer已给出了求解法则：已给出了求解法则： Cramers Ruler 什么是有效算法？什么是有效算法？nnnnnnbxaxaxa22112

6、2222121bxaxaxann11212111bxaxaxannDiD AdetiAdetix1, 2,in（D0）Cramers Ruler第第 i列列iDD这一结果理论上是非常漂亮的，它把线性方程组的求解问题这一结果理论上是非常漂亮的，它把线性方程组的求解问题归结果为计算归结果为计算n+1+1个个n阶行列式问题。阶行列式问题。111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1112121nnnnnaaaaaa1b2bnb对于行列式的计算，理论上又有著名的对于行列式的计算，理论上又有著名的Laplace展开定理展开定理。这样理论上我们就有了一种非常漂亮的求解线性方程组的方法。这样理论

7、上我们就有了一种非常漂亮的求解线性方程组的方法。然而我们做一简单的计算就会发现然而我们做一简单的计算就会发现, ,由于这一方法的运算量由于这一方法的运算量大得惊人，以至于完全不能用于实际计算。大得惊人，以至于完全不能用于实际计算。 ininiiiiAaAaAaD2211det A其中其中Aij表示元素表示元素aij的代数余子式。的代数余子式。设计算设计算k阶行列式所需要的乘法运算的次数为阶行列式所需要的乘法运算的次数为mk，则容易推出，则容易推出1kkmkkm于是，我们有于是，我们有 1211nnnmnnmnnnnm11213 2nn nn nnn n! n 这样，利用这样，利用Cramer法

8、和法和Laplace展开定理来求解一个展开定理来求解一个n阶线阶线性方程组，所需的乘法运算次数就大于性方程组，所需的乘法运算次数就大于在算法中运用行列展开计算，则总的的乘法运算次数将达：在算法中运用行列展开计算，则总的的乘法运算次数将达：若使用每秒百亿次的串行计算机计算若使用每秒百亿次的串行计算机计算, , 一年可进行的运算应为：一年可进行的运算应为：26！=4.03291026（次次）13(亿年亿年)365(天天) 24(小时小时) 3600(秒秒) 1010 3.1536 1017 （次）（次） 以求解以求解25阶线性方程组为例，如果用阶线性方程组为例，如果用Cramer法则求解，法则求解

9、，共需要耗费时间为：共需要耗费时间为：264.0329 10173.1536 1091.2788 10（n+1+1）n!=(!=(n+1)!+1)!它远远超出目前所了解的人类文明历史！它远远超出目前所了解的人类文明历史！这就是研究数值方法的必要性。这就是研究数值方法的必要性。 随着科学技术的发展，出现的数学问题也越来越多样化，随着科学技术的发展，出现的数学问题也越来越多样化，有些问题用消去法求解达不到精度，甚至算不出结果，从而有些问题用消去法求解达不到精度，甚至算不出结果，从而促使人们对消去法进行改进，又出现了主元消去法，大大提促使人们对消去法进行改进，又出现了主元消去法，大大提高了消去法的计

10、算精度。高了消去法的计算精度。而著名的而著名的 Gauss消元法，它的计算过程已作根本改进，消元法，它的计算过程已作根本改进，成为有效算法，使得可在不到一秒钟之内即可完成上述计算成为有效算法，使得可在不到一秒钟之内即可完成上述计算Cramer 算法是算法是“实际计算不了实际计算不了”的。的。任务。任务。误差分析与数值方法的稳定性误差分析与数值方法的稳定性 1.2.1 误差来源与分类误差来源与分类 1.2.2 误差的基本概念和有效数字误差的基本概念和有效数字1.2.3 函数计算的误差估计函数计算的误差估计 1.2.4 数值方法的稳定性和避免误差危害的基本原则数值方法的稳定性和避免误差危害的基本原

11、则 1.2.1 误差来源与分类误差来源与分类 用计算机解决科学计算问题时用计算机解决科学计算问题时经常采用的处理方式是将连经常采用的处理方式是将连续的问题离散化、用有限代替无限等，并且用数值分析所处理续的问题离散化、用有限代替无限等，并且用数值分析所处理的一些数据，不论是原始数据，还是最终结果，绝大多数都是的一些数据，不论是原始数据，还是最终结果，绝大多数都是近似的，因此在近似的，因此在此过程此过程中，误差无处不在。中，误差无处不在。误差的来源主要从以下几个方面：误差的来源主要从以下几个方面：实际问题实际问题数学模型数学模型计算机数值结果计算机数值结果编程实现算法编程实现算法数值计算方法数值计

12、算方法计算机科学计算的流程计算机科学计算的流程图图模型误差方法误差或称为截断误差观测误差舍入误差型的解之间的误差型的解之间的误差 生的误差，如用有限代替无限的过程所产生的误差生的误差，如用有限代替无限的过程所产生的误差 1 1模型误差模型误差2.2. 截断误差截断误差由实际问题抽象出数学模型，要简化许多由实际问题抽象出数学模型，要简化许多条件，这就不可避免地要产生误差实际问题的解与数学模条件，这就不可避免地要产生误差实际问题的解与数学模从数学问题转化为数值问题的算法时所产从数学问题转化为数值问题的算法时所产 截断误差通常是指用一个基本表达式替换一个相当复杂截断误差通常是指用一个基本表达式替换一

13、个相当复杂的算术表达式时所引起的误差。这一术语从用截断的算术表达式时所引起的误差。这一术语从用截断Taylor级级数替换一个复杂的算术表达式的技术中衍生而来。数替换一个复杂的算术表达式的技术中衍生而来。x2xe例如，例如，求求的值的运算，的值的运算，我们可用无穷级数：我们可用无穷级数：我们可用它的前我们可用它的前项和项和1n截截断断误误差差则数值方法的误差是则数值方法的误差是2xe，近似代替函数近似代替函数给定给定2xe! 3! 212642nxxxxn=! 3! 212642nxxxxn!112nxn xs xsexRxn210,!1122nxxne计算过程中也可能产生误差计算过程中也可能产

14、生误差 测手段的限制，得到的数据必然有误差测手段的限制，得到的数据必然有误差3.3. 观测误差观测误差4.4. 舍入误差舍入误差例如，例如，就是就是舍入误差舍入误差。21.41420.0000135E产生的误差产生的误差用用1.41421.4142近似代替近似代替 ，2初始数据大多数是由观测而得到的。由于观初始数据大多数是由观测而得到的。由于观以计算机为工具进行数值运算时，由于计算以计算机为工具进行数值运算时，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上的表示往往会有误差，在机的字长有限，原始数据在计算机上的表示往往会有误差，在1.41421351.4142 模型和观测两种误差不在本课程的讨论范围

15、模型和观测两种误差不在本课程的讨论范围 这里主要讨论算法的这里主要讨论算法的截断误差截断误差与与舍入误差舍入误差，而截，而截分析初始数据的误差通常也归结为分析初始数据的误差通常也归结为舍入误差舍入误差研究计算结果的误差是否满足精度要求就是：研究计算结果的误差是否满足精度要求就是：断误差将结合具体算法讨论断误差将结合具体算法讨论误差估计问题误差估计问题 1.2.2 误差的基本概念和有效数字误差的基本概念和有效数字 设设x为精确值，为精确值，ax 因此误差因此误差 x-a 也未知。也未知。称称 通常准确值通常准确值 x 是未知的，是未知的，为近似值为近似值a的的绝对误差，绝对误差，简称简称误差误差

16、。a为为x的一个近似值的一个近似值，aeax绝对误差界误差误差 x-a 可正可负。可正可负。绝对误差（误差） 则则 叫做近似值叫做近似值a的的误差界（限）误差界（限）。ae它总是正数它总是正数。定义定义定义定义ea 使得使得（1-1） 设设x为精确值，为精确值，若有常数若有常数a为为x的一个近似值的一个近似值， 例如，用毫米刻度的米尺测量一长度例如，用毫米刻度的米尺测量一长度x，读出和该长度，读出和该长度接近的刻度接近的刻度a，a是是x的近似值，它的误差界是的近似值，它的误差界是0.5mm，于是有于是有 0.5xamm如若读出的长度为如若读出的长度为765mm ，则有，则有， 5.0765x

17、虽然从这个不等式不能知道准确的虽然从这个不等式不能知道准确的x是多少，但可知是多少，但可知绝对误差界, 5 .7655 .764 x结果说明结果说明x x在区间在区间764.5764.5，765.5765.5内内。 对于一般情形对于一般情形 ，aeax即可以表示为即可以表示为aae也可以表示为也可以表示为。aeax 但要注意的是，误差的大小并不能完全表示近似值的好坏。但要注意的是，误差的大小并不能完全表示近似值的好坏。 x,aea 实际计算中，实际计算中，如果真值如果真值 未知时，未知时，x 若若 ，0 x称为近似值称为近似值a 的的相对误差相对误差。作为作为a的相对误差，的相对误差，条件是条

18、件是 较小较小。xax 通常取通常取相对误差（误差）则将近似值的误差与准确值的比值则将近似值的误差与准确值的比值定义定义axxaxxaxa相对误差也可正可负。相对误差也可正可负。xaxaax是是 的平方项级，故可忽略不计的平方项级，故可忽略不计。xax axxxax2)(2xax这是由于两者之差这是由于两者之差axax211xax下面我们看看下面我们看看相对误差相对误差的作用的作用 有两个量有两个量 x=3.000， a=3.100，1 . 0axxax ，0 .300 xax xax , 0 .310a绝对误差相对误差绝对误差相对误差则其绝对误差：则其绝对误差：00. 31 . 0,1033

19、3. 01,101 . 0242103 . 0101 . 0110333. 0例例其相对误差为：其相对误差为：则其绝对误差：则其绝对误差：其相对误差为：其相对误差为：又有两个量又有两个量 上例说明上例说明绝对误差绝对误差有较大变化，有较大变化，相相对误差对误差相同。作为精确值的度量，相同。作为精确值的度量，绝对绝对误差误差可能会引起误会，而可能会引起误会，而相对误差相对误差由于由于考虑到准确值本身的大小而更有意义。考虑到准确值本身的大小而更有意义。 相对误差的绝对值上界叫做相对误差的绝对值上界叫做相对误差界（限）相对误差界（限）， 记为：记为：相对误差界（限）aeaaxa其近似值其近似值 ,

20、,求求a 718. 2a71828182. 2e00028182. 0aeae718. 20003. 0aae已知已知，因此其绝对误差界为：，因此其绝对误差界为：相对误差界为：相对误差界为：不是唯一的。不是唯一的。的绝对误差界和相对误差界。的绝对误差界和相对误差界。解：0.00030.0002。此例计算中不难发现，此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并绝对误差界和相对误差界并例例1 10001110375. 0我们要注意它们的作用。我们要注意它们的作用。 当准确值当准确值x位数比较多时，人们常常按四舍五入的原则得位数比较多时，人们常常按四舍五入的原则得到到x的前几位近似值的前几位近似值a

21、，14159265. 3 x,14.31a,1416.32a那么，它们的误差界的取法应为：那么，它们的误差界的取法应为：,102114.32例如例如00159265. 01a00000735. 02a.10211416.34误差界的取法误差界的取法取取3 3位：位：取取5 5位：位：a（1-2）一个数字，一个数字，,01a（1-3）则称则称a为为x的具有的具有n位有效数字位有效数字的近似值。的近似值。定义定义1.31.3 设设 x 为精确值，为精确值，a为为x 的一个近似值的一个近似值，表示为：表示为：可以是有限或无限小数形式，可以是有限或无限小数形式， 其中其中 ai( (i=1,2,=1,

22、2,n) )是是0到到9中的中的如果其绝对误差界如果其绝对误差界n为正整数为正整数，k为整数为整数，k10naaa21. 01021axnk0003. 0ae，2718.0101a,27182. 0107182. 211a00009. 01ae在在例例1 1中，中，而而的具有的具有4位有效字的近似值。位有效字的近似值。因其因其绝对误差界为绝对误差界为故故a1 1也只是也只是e 的具有的具有4 4位有效数字的近似值。位有效数字的近似值。再取再取71828182. 2e3nk, 4n即即a 是是那么那么，可知可知由于由于a的绝对误差界为的绝对误差界为，31021，310212718. 010027

23、18. 01a0271828182. 0 x作为作为也具有也具有4 4位有效数字。位有效数字。同样我们可以分析出同样我们可以分析出51021000002. 0ax5nk。4n这是因为这是因为：那么，有那么，有这表明：这表明：有效数字位数与小数点的位置无关有效数字位数与小数点的位置无关的近似值，的近似值，00.138a,0312. 0b。41086. 0c,1013800. 03a,10312. 01b。41086. 0c21021 ax23n5n 下列近似值的绝对误差限均为下列近似值的绝对误差限均为0.005，问它们，问它们解：首先将它们表示成标准形式首先将它们表示成标准形式则由已知条件，则由

24、已知条件， 各有几位有效数字？各有几位有效数字？ 例 2即即a有有5位有效数字；位有效数字； 21021bx21n1n21021cx24n2n即即b有有1位有效数字位有效数字；同理，由同理，由由由即即c无无有效数字。有效数字。,10312. 01b,1086. 04c 如果一个近似值是由精确值经四舍五入如果一个近似值是由精确值经四舍五入得到的，那么，从这个近似值的末尾数向前得到的，那么，从这个近似值的末尾数向前数起直到再无非零数字止，所数到的数字均数起直到再无非零数字止，所数到的数字均为有效数字为有效数字 一般来说，绝对误差与小数位数有一般来说，绝对误差与小数位数有关，相对误差与有效数字位数有

25、关关，相对误差与有效数字位数有关其表达形式如其表达形式如xaa（1-4）xaa（2）如果其相对误差界满足如果其相对误差界满足 （1-5）（1）如果如果a有位有位n有效数字，则其相对误差界满足有效数字，则其相对误差界满足则则a至少具有至少具有n位有效数字。位有效数字。 设实数设实数x为某个精确值，为某个精确值，a为它的一个近似值，为它的一个近似值，定理定理 1.11.1nkaaaa21.01011110,2na11110,2(1)na由（由（1-21-2）可得到）可得到a（1-6） ,102111na结论（结论（1 1）成立。）成立。证证1110ka1110) 1(kaaaxax a1nk102

26、111101kaxaana1110) 1(2所以如果所以如果a有有n位有效数字，那么位有效数字，那么 再由（再由（1-51-5）和（）和（1-61-6）1nkaa111110) 1(210) 1(,1021nk由定义由定义1.31.3知，知，a具有具有n位有效数字。位有效数字。 近似值为近似值为a， f( (a) )作为作为f( (x) )的近似，其误差应如何估计？的近似，其误差应如何估计？1.2.3 1.2.3 函数计算的误差估计函数计算的误差估计 下面我们用下面我们用Taylor展开的展开的方法来估计其误差。方法来估计其误差。 )()(afxf 即有即有设一元函数设一元函数f( (x) )

27、具有二阶连续导数，具有二阶连续导数，自变量自变量的一个的一个x)(xf)()(afxf进一步，有进一步，有,2)()()(2 axfaxafaf,2)()(2 axfaxafaxaf)(,2)(2 axf取绝对值，由三角不等式，得取绝对值，由三角不等式，得注意不等式注意不等式,2)()()()(2 axfaxafafxf相比不太大，相比不太大，其中其中在在x与与a之间。之间。 近似近似绝对误差估计式绝对误差估计式：ax的二次项，的二次项，就得到就得到f( (a) )的一个的一个则可忽略则可忽略axaf)()()(afxf如果如果近似近似相对误差界相对误差界为：为：( )( )f ax af a

28、( )( )( )f xf af a ,0 af af f 与与的值的值,21naaa的近似值分别为的近似值分别为则则),(),(2121nnaaafxxxf（1-7-7）其中其中,),(21knakxaaafxf所以可以估计到函数值的误差界，所以可以估计到函数值的误差界，（1-8）2121,xxxxf2121,xxxxf2121,xxxxf为为n元函数，元函数，如果如果),(21nxxxfnxxx,21现将估计式（现将估计式（1-81-8）应用到数的四则运算的误差估计中，）应用到数的四则运算的误差估计中，即即 n=2=2，分别取，分别取自变量自变量nk 1akxf)(kkax nk 1akx

29、fkkax ),(),(2121nnaaafxxxf1212()xxaa1212x xa a1122xaxa2221112121),(),(axxfaxxfaafxxfaa这时有这时有从而得到四则运算的估计式从而得到四则运算的估计式：计算中应尽力避免小数作除数 1122xaxa211axa122a xa21112222axaa xaa112xaa12222a xaa(1-9)(1-10)(1-11)练习练习已知已知均为有效数字均为有效数字，,21. 11a,65. 32a81. 93a求求 的相对误差界。的相对误差界。321aaa解：解：取取,321321xxxxxxf321321321,aa

30、afaaafxxxf 321321321aaaaaaxxx根据（根据（1-81-8）式，得）式，得32133222311aaaaxaaxaax由已知，由已知，,1021211ax,1021222ax,1021233ax从而从而 321321321aaaaaaxxx321231aaaaa210212102120435598. 000102178.0这时由（这时由（1-241-24）可知，计算的相对误差会很大）可知，计算的相对误差会很大（1-9） 212211212121)(aaaxaxaaaaxx当当 时，时，21xx ,21aa 则则,021aa会会导致计算值导致计算值的有效数字的损失。的有效

31、数字的损失。在计算中在计算中应尽量避免出现两个相近的数相减应尽量避免出现两个相近的数相减211aa 。两个数相减的相对误差两个数相减的相对误差结论结论进而进而必有必有例例299.9997,x 299.9996,a 各自的相对误差为：各自的相对误差为： 11610.000110,99.9999xaa121212()xxaaaa0.0001 0.00030.0003236622310103倍 22620.000110,99.9996xaa和和而而差的相对误差界扩大了差的相对误差界扩大了 否则，出现与数值稳定相反的情况，否则，出现与数值稳定相反的情况，1.2.4 1.2.4 数值方法的稳定性和避免误

32、差危害的基本原则数值方法的稳定性和避免误差危害的基本原则1.1.数值方法的稳定性数值方法的稳定性用某一种数值方法求一个问题的数值解，用某一种数值方法求一个问题的数值解， 如果在方法的计算如果在方法的计算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制（或者说舍入误差过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制（或者说舍入误差的增长不影响产生可靠的结果），的增长不影响产生可靠的结果）， 则称该方法是则称该方法是数值稳定数值稳定的；的；则称之为则称之为数值不稳定数值不稳定的。的。 蝴蝶效应蝴蝶效应 亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使风和日丽的美洲亚洲蝴蝶拍拍翅膀，将使风和日丽的美洲 几个月后出现狂风暴雨几个月后出现狂风暴雨?

33、 ?！AsiaAmerica什么是蝴蝶效应？什么是蝴蝶效应？ 美国麻省理工学院气象学家洛伦兹美国麻省理工学院气象学家洛伦兹(Lorenz)(Lorenz)为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的1313个方程式。为了更细致地考察结果，他把一个个方程式。为了更细致地考察结果，他把一个中间解取出，提高精度再送回。而当他喝了杯咖中间解取出，提高精度再送回。而当他喝了杯咖啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，啡以后回来再看时竟大吃一惊：本来很小的差异，结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于结果却偏离了十万八千里！计算机没有毛病，于是，洛伦兹（是，洛

34、伦兹（LorenzLorenz）认定，他发现了新的现象：）认定，他发现了新的现象：“对初始值的极端不稳定性对初始值的极端不稳定性”，即：，即：“混沌混沌 ” ”，又称又称“蝴蝶效应蝴蝶效应” ,510dxxxInn15nnII由于由于则递归算法如下：则递归算法如下： , 511nnInI1.1. , 1511nnInI2.2.7, 2, 1, 0n101dxxndxxxn10155计算积分计算积分例例6 6解：解：dxxxn105dxxxxnn10155n156ln0I0210. 07I计算出计算出由由71,II 计算出计算出07,II由由nI方法1n01820. 01820. 01820.

35、0120880. 00880. 00900. 00580. 00580. 00500. 0456730431. 00343. 00343. 00830. 00431. 00165. 00284. 00284. 00250. 10240. 00240. 00210. 00210. 09580. 4933.24方法2What happened?! !? !? 设设0I的近似值为的近似值为0I，然后按方法，然后按方法1 1计算计算71,II 的近似值的近似值71,II ，如果最初计算时误差为：，如果最初计算时误差为：000IIE递推过程的舍入误差不记，并记递推过程的舍入误差不记，并记nnnIIE，则

36、有，则有由此可见，用该方法计算由此可见，用该方法计算71,II 时，时，那么计算，那么计算7I时产生的舍入误差时产生的舍入误差放大了放大了 倍，因此，该方法是倍，因此，该方法是数值不稳定数值不稳定的。的。125,7857按方法按方法2 2计算时，计算时， 记初始误差为记初始误差为777IIE，则有，则有生生的舍入误差为的舍入误差为0E0I时产时产当计算当计算000IIE151E25151E 7751E777IIE65 E 555E 由此可知，使用公式由此可知，使用公式2 2计算时不会放大舍入误差。计算时不会放大舍入误差。该方法是该方法是数值稳定数值稳定的。的。因此，因此，075 E 为了用数值

37、方法求得数值问题满意的近似解，为了用数值方法求得数值问题满意的近似解，2 2、避免误差危害的基本原则避免误差危害的基本原则(I)(I)避免有效数字的损失避免有效数字的损失（3 3）避免小数做除数或大数做乘数。）避免小数做除数或大数做乘数。 在四则运算中为避免有效数值的损失，应注意以下事项：在四则运算中为避免有效数值的损失，应注意以下事项：（1 1）在做加法运算时，应防止）在做加法运算时，应防止“大数吃小数大数吃小数”；（2 2）避免两个相近数相减；）避免两个相近数相减；中应注意下面两个基本原则。中应注意下面两个基本原则。在数值运算在数值运算,6301510001iix4 . 0i5510000

38、004. 010000004. 051063015. 0531063015. 0104 . 0在五位十进制的计算机上计算在五位十进制的计算机上计算 解解 计算机作加减法时，先将所相加数阶码对齐，根据计算机作加减法时，先将所相加数阶码对齐，根据510000004. 0因其中因其中的舍入结果为的舍入结果为0 0，所以上式的计算结果是，所以上式的计算结果是。这种现象被称为。这种现象被称为“大数吃小数大数吃小数”。后一种方法的结果是正确的，前一种方法的舍入误差影响太大。后一种方法的结果是正确的，前一种方法的舍入误差影响太大。例例5 5字长舍入，再加减。字长舍入，再加减。规范化和阶码对齐后的数表示为规范

39、化和阶码对齐后的数表示为: :x51063015. 0i相加，再和相加，再和6301563015相加，即相加，即 次序，先把次序，先把10001000个个1000个10004 . 04 . 04 . 051063015. 0551063015. 010004. 051063415. 0，那么上式用那么上式用i如果用如果用6301563015依次加各个依次加各个如果改变运算如果改变运算xaacbb2abb)0(022cbacbxaxaacbbx21acb 2bacb2如果如果，则，则，用上述公式计算时，用上述公式计算时总之，两者其中之一必将会损失有效数字总之，两者其中之一必将会损失有效数字。一元

40、二次方程一元二次方程例7有两个根，其求根公式为有两个根，其求根公式为aacbbx22,如果如果0b，则有，则有abbaacbb21x0如果如果0b，则有，则有2xabbabb0,)sgn(21aacbbbx)sgn(b解解一般二次方程一般二次方程 ax2+2bx+c=0,(a, ,b, ,c均不为零均不为零) )，其中其中是是b b 的符号函数。的符号函数。21;cxax时当0, 1b时当01b，应取应取2sgn( )bbbaca bba acb 2bacb2如果如果，则，则，用上述公式计算，用上述公式计算时时如果如果0b，则有，则有bba 2sgn( )bbbaca 1x如果如果0b，则有，

41、则有1xbba bba 21;cxax如果改用公式如果改用公式:2111cxaxx计算得计算得x2 2 0.062746，具有三位有效数字。具有三位有效数字。而而 x2 2的精确值是的精确值是 0.062746。其原因为在计算其原因为在计算x2 2时发生了两个相近数相减，造成有效数字损失。时发生了两个相近数相减，造成有效数字损失。,6381x2863x 。637.94。18638.007.9415.9x 06. 094. 700. 86382x求方程求方程 x2 2- -16x+ +1=0 的根的根若取三位有效数字计算，有若取三位有效数字计算，有由习惯的公式：由习惯的公式：，有三位有效数字。，

42、有三位有效数字。，只有一位有效数字。，只有一位有效数字。例例而而8102712. 388102712. 3102712. 3910)2 . 0120000000037. 0(又例如又例如, 在八位十进制计算机上，计算在八位十进制计算机上，计算为为9 9位尾数左移变成机器零，位尾数左移变成机器零，9102 . 03.712 3.712 与与在计算机上做和时，在计算机上做和时，大数做乘数大数做乘数时，容易产生大的舍入误差，应尽量避免。时，容易产生大的舍入误差，应尽量避免。 81023.7123.712由于阶码升由于阶码升这便说明这便说明用用小数做除数小数做除数或用或用就是所求就是所求的值。的值。0

43、111)(axaxaxaxpnnnnnkkxt ,10kkkxaxaau, 2, 1nk0001autnu)(xpn如果直接逐项求和计算，需要大约如果直接逐项求和计算，需要大约 次乘法运算次乘法运算 即即n2例如，多项式求值运算，设例如，多项式求值运算，设若取若取， (II)(II)减少运算次数减少运算次数x x2xxx3xx1nxnxxa 1,nnxa ,11nnxa,次次1n n次次 则有递推公式则有递推公式：总的计算量需进行总的计算量需进行 次乘法次乘法。n21kktxtkkkktauu1若将公式变成如下递推公式，即令若将公式变成如下递推公式，即令01axa0133221)(axaxax

44、axaxannnnnn01221)(axaxaxaxaxannnkskknnnaxaxaxaxa)(1210, 1, 2, 2, 1nnk0s)(xpn若令若令)(xpn1nx1nnaxa()nnas kkkasxs1则有递推公式则有递推公式：总的计算量为总的计算量为n次乘法。次乘法。就是所求的的值。就是所求的的值。39105( )(50)1)3)1)1P xxxxxx5( )(50)1)3)1)1P xxxxxx501-31-1501-31-1令X=2 27810220242212 2791581575(2)P以上计算过程称之为以上计算过程称之为 秦九韶算法秦九韶算法 1352355xxxx

45、xP 11310523455xxxxxxP要计算十万项的和，计算量很大，要计算十万项的和，计算量很大，另一方面舍入误差的积累也十分另一方面舍入误差的积累也十分严重。严重。1253211ln1253nxxxxxxn若要精确到若要精确到1010-5-5,31x取取1010只须计算前只须计算前9 9项的和，截断误差便小于项的和，截断误差便小于如果改用级数如果改用级数例10311311ln12315313313121253nn2ln11) 1()1ln(nnnnxx利用利用计算计算ln2 2，向量与矩阵范数向量与矩阵范数 1.3.1 向量范数向量范数1.3.2 范数的等价性范数的等价性1.3.3 矩阵

46、范数矩阵范数1.3.4 矩阵范数的性质矩阵范数的性质供了实数变量或复数变量大小的度量。供了实数变量或复数变量大小的度量。即在即在 f( (x)=)=x(绝对值或模绝对值或模)意义下，意义下，（2）齐次齐次性性 ax= =ax （3）三角不等式三角不等式 x+yx+y 注意到注意到实函数实函数 f( (x)=)=x满足以下三个条件：满足以下三个条件：（1）非负性非负性 x00当且仅当当且仅当x=0 时时,x=0=0 我们在讨论实数、复数的大小、误差时，我们在讨论实数、复数的大小、误差时，把任何把任何一个实数变量或复数变量与一个非负实函数联系起来一个实数变量或复数变量与一个非负实函数联系起来这个实

47、函数提这个实函数提二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则范数的主要的应用范数的主要的应用：一、研究这些矩阵和向量的误差估计一、研究这些矩阵和向量的误差估计把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。度量。取不同的向量或矩阵，就对应有一类向量或矩阵取不同的向量或矩阵，就对应有一类向量或矩阵矩阵大小的一种度量，称之为矩阵大小的一种度量，称之为范数范数。变量的实值函数，变量的实值函数，其中每一个函数都可以看作向量或

48、其中每一个函数都可以看作向量或1.3.1 1.3.1 向量范数向量范数 （1）非负性非负性xx（2）齐次性齐次性yxyx （3）三角不等式三角不等式则称函数则称函数 为为上的一个上的一个向量范数向量范数。nCC即对任意向量即对任意向量x和和y以及任意复常数以及任意复常数若该函数满足以下三个条件：若该函数满足以下三个条件：函数，记为函数，记为 f( (x)=)=x，定义定义1.41.4定义定义Cn在在( (n维复向量空间）上的一个维复向量空间）上的一个非负实值非负实值向量范数的概念是复数模的概念的自然推广，其定义如下：向量范数的概念是复数模的概念的自然推广，其定义如下：x00当且仅当当且仅当x=

49、 =0n1时时x=0=0,),(21Tnxxxx设任意设任意n维向量维向量 ( ( 为向量为向量x的转置）。的转置）。Tx常用的向量范数有：常用的向量范数有：niix11x (1-18) 12221nHiixxx x( ( xH 为向量为向量x的共轭转置）的共轭转置）inixx1maxpxpnipip1,11x上述四种范数分别称为上述四种范数分别称为, ,2,范数和范数和p- -范数。范数。 xi表示表示xi的模。的模。(1-17)(1-19)(1-20)xx,前面三种范数都为前面三种范数都为p- -范数，当范数，当，2，时的范数。时的范数。 注意，当注意，当时时 ，p。 xpxpinipxx

50、1max两边开两边开p次方得次方得,)(111xxpnippnx, 1limppn 由于由于 xpx 故故容易验证以上三种范数均满足范数定义中的三个条件。容易验证以上三种范数均满足范数定义中的三个条件。 下面我们分析向量的，下面我们分析向量的，2 2和和-范数的几何意义，范数的几何意义，为此，不妨设为此，不妨设,),(221RTxxx1x11x 和和 。pininx1maxpnx事实上，事实上，、12xnipix11x2x111112x12x1x2x111112221 xx1x2x11111, 1max21xx1, 1max21xx1, 1max21xx121xx121 xx121 xx121