复变函数第1讲ppt课件.ppt

《复变函数第1讲ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数第1讲ppt课件.ppt（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换（复变函数积分变换）主讲 张高民序言序言 复变函数研究的对象：复变函数研究的对象： 自变量为复数的函数（在高等数学中，自变量为复数的函数（在高等数学中，我们研究的是自变量和因变量均为实数的我们研究的是自变量和因变量均为实数的函数，因而也称之为实变函数）。函数，因而也称之为实变函数）。 复数的引入及其发展过程：复数的引入及其发展过程： 在在16世纪中叶，意大利人世纪中叶，意大利人Cardan在解在解代数方程时，首先产生了负数开平方的思代数方程时，首先产生了负数开平方的思想想 。例如，解简单的方程。例如，解简单的方程 x2+1=0 时就会时就会1开平方的问题。开

2、平方的问题。 为了使负数开平方有意义，也就是要使为了使负数开平方有意义，也就是要使上述方程有解，我们需要再一次扩大数系，上述方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。域。 然而，一开始人们对复数的认识仅仅然而，一开始人们对复数的认识仅仅在于一种形式上的表示，对复数的概念及在于一种形式上的表示，对复数的概念及性质了解的不清楚，用它们进行计算时就性质了解的不清楚，用它们进行计算时就有一些矛盾的结果产生。例如：在莱布尼有一些矛盾的结果产生。例如：在莱布尼慈和贝努里的工作中就有因为轻易引进复慈和贝努里的工作中就有因为轻易引进复对数而产

3、生的悖论：对数而产生的悖论： xdxxx0211arctanxdxxixii01121)(12121210lnlnlnixixiixixiixxixiiln21 这样取这样取X =1，得，得112114iiilnarctan21141)ln(iii12124122iiiiiln0181lni矛盾！矛盾！因为上述一些问题，复数在历史上的很长一段因为上述一些问题，复数在历史上的很长一段时间内被人们视为不可接受的时间内被人们视为不可接受的虚数。虚数。直到十七、直到十七、十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的十八世纪，有两个主要原因促使了这种状况的改变：改变： 关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学

4、关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家家Euler （欧拉）作出的。他在（欧拉）作出的。他在1777年系统地建年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，用的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，用符号符号 “ ”i作为虚数单位，也是他首创的。作为虚数单位，也是他首创的。 1 微积分的发展；微积分的发展； 2 复数与平面向量联系起来解决实际问题。复数与平面向量联系起来解决实际问题。 复变函数理论的重要意义复变函数理论的重要意义 十九世纪，复变函数的理论经过法国数学十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家家

5、Cauchy、德国数学家、德国数学家 Rieman 和和Weierstrass的巨大努力，已经形成了非常系的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多统的理论，并且深刻地渗入到数学学科的许多分支，例如，著名的分支，例如，著名的代数学基本定理：代数学基本定理：101100 (0)nnnnaxaxa x aa （其中系数都是复数），在复数域内恒有（其中系数都是复数），在复数域内恒有n个解。个解。用复变函数理论来证明是非常简洁的。用复变函数理论来证明是非常简洁的。一元一元n次方程次方程 现在，复变函数理论及方法在数学及现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用。

6、比如，在复工程技术中有着广泛的应用。比如，在复变函数理论最先得到成功应用的变函数理论最先得到成功应用的流体力学、流体力学、电磁学、平面弹性力学电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一。几种经典方法之一。1. 复数的概念复数的概念 1 复数及其代数运算第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数iyxz其中其中 为虚数单位，满足为虚数单位，满足 0 x若若，则称则称 为纯虚数。为纯虚数。ziy注：）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等；注：）两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相等； ）两个复数

7、之间无法比较大小，除非都是实数。）两个复数之间无法比较大小，除非都是实数。i21i 记号：记号： ImyzRe ,xz称复数称复数xiyzxiy记为记为为复数为复数的共轭复数的共轭复数,zxiy2. 复数的代数运算复数的代数运算2120 ()zzzz 111222, zxiyzxiy记：记： 则定义运算如下则定义运算如下: 加、减：加、减：)()(212121yyixxzz乘乘 法：法：)()(1221212121yxyxiyyxxzz 注注:22)(yxiyxiyxzz除除 法：法：1122222 (0)zz zzzz z运算：运算：12zzz 容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律

8、。容易证明，复数的运算满足分配律、交换律、结合律。此外，共轭复数具有下列性质：此外，共轭复数具有下列性质：1）2121zzzz2）2121zzzz3）2121)(zzzz4) z+z2Re( ), z-z2 Im( )ziz12121212 z , z z z +z z =2Re(z z )设为两个任意复数，证明例例1112255 ,34 , ()().1212z=-i z= -+izzzzzz例例令令求求及及2 2. . I Im m12557345:ziizi 解解1.1.复平面复平面坐标（坐标（x,y)x,y)复数复数iyxz通过下列方式：通过下列方式：直角坐标平面中的点直角坐标平面中的

9、点将平面直角坐标系引入到复数中来将平面直角坐标系引入到复数中来, 此时此时x轴称为实轴，轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面。借助于复轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面。借助于复平面，可以用几何语言和方法研究复变函数的问题，也平面，可以用几何语言和方法研究复变函数的问题，也为复变函数的实际应用奠定了基础。为复变函数的实际应用奠定了基础。1） 复数的点表示复数的点表示 (见图见图1) 复数复数iyxz点点 z (x,y)以后复数和点将不加区分以后复数和点将不加区分o. p(x,y)xyxyoiyxzr图图1 1图图2 22) 复数的向量表示复数的向量表示 (见图见图2)pzxiy

10、op 22z op z =r = xy 复数 的模：向量的长度，记为z z op () 复数 的辐角：实轴正向到非零复数 所对应的向量间的夹角逆时针为正，顺时针为负，显然有显然有tan (A rg)yzx注注:1. 任意非零复数有无穷多个辐角任意非零复数有无穷多个辐角, 1Arg2zk2. 当当z0时时, |z|=0, 辐角规定为任意值辐角规定为任意值. 把满足把满足 的幅角称为幅角主值的幅角称为幅角主值. 记记为为arg z，这样，我们有：，这样，我们有：argzArgarg2zzk辐角的主值：辐角的主值： Arg z=记为 argyzx与arctan关系如下arctan, 0, 0,02a

11、rg, 0,02arctan,0,0arctan,0,0yxxxyzxyyxyxyxyx当时当时当时当时当时复数的向量表示的重要意义：复数的向量表示的重要意义： 能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变的直观。能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变的直观。比如：复数的加、减运算化为向量的运算，而由平行四边比如：复数的加、减运算化为向量的运算，而由平行四边形、三角形法则，立即得到下面不等式：形、三角形法则，立即得到下面不等式：1z2z21zz12zz12121212,.zzzzzzzz还容易看出还容易看出, a r g z = - a r g zzz3) 复数的三角表示复数的三角表示xiyxz

12、yrcossinxryr(cossin )zri根据根据可以得到可以得到上式称为复数的三角表示。上式称为复数的三角表示。4) 复数的指数表示复数的指数表示利用欧拉公式：利用欧拉公式：sincosieiirez 可以得到复数的指数表示式可以得到复数的指数表示式注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具注：复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用体问题时应灵活选用2. 复球面复球面zxyS . oN用如图所示的方法可建立复平面上的点与球面上的点用如图所示的方法可建立复平面上的点与球面上的点（除外）除外）之间的一种一一对应的关系，即之间的一种一一对应的关系，即Pz 这样我们就可以用球

13、面上的点来表示复数。这样我们就可以用球面上的点来表示复数。问题：球面上的北极如何与复平面内的点对应？问题：球面上的北极如何与复平面内的点对应？我们规定：我们规定：）复平面上有唯一的）复平面上有唯一的“无穷远点无穷远点”与球面上北极对应；与球面上北极对应；）复数中有一个唯一的）复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面上的无穷远与复平面上的无穷远点相对应，并把它记为点相对应，并把它记为。这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这这样，球面上的每一个点，就有唯一一个复数与它对应，这样的球面称为样的球面称为复球面复球面我们把包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面，不我们把包括无穷远点在内的

14、复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或就称复平面平面对于复数对于复数来说来说,实部、虚部与辐角的概念均无意义，其模实部、虚部与辐角的概念均无意义，其模规定为规定为 ，对于其它复数，对于其它复数 z ,则有则有 z + () (0), 0 (), (0,)0aaaaaaaaaaa 但可为注：如不声明，我们讨论的都是有限复平面注：如不声明，我们讨论的都是有限复平面关于关于的运算，规定如下：的运算，规定如下：: , 0, , 其它运算如我们不规定其意义。00仍然不确定。仍然不确定。例例3：下列方程各表示什么曲线？：下列方程各

15、表示什么曲线？4） 写出直线的复数形式方程写出直线的复数形式方程1）2 iz2）22zizi解：解：1)，2)的关键是知道的关键是知道az 的几何意义是表示的几何意义是表示所以，所以，1）表示圆周，）表示圆周，2）表示直线。）表示直线。点点 到到 的距离。的距离。azizizi4)3()3(3）注：复数的各种注：复数的各种表达式可以互相表达式可以互相转换，在讨论具转换，在讨论具体问题时应灵活体问题时应灵活选用选用. .3 3）化为实方程，为此代入化为实方程，为此代入iyxz，得，得iiyyxixyiyixx43333化简，得化简，得462yx，表示一直线表示一直线4 4）关键：由）关键：由iyxziyxz,得得izzyzzx2,2，代入直线方程，代入直线方程0cbyax，得，得022abiabizzc因而可记为因而可记为0zz，其中，其中 为实数。为实数。411 ii例例 4 4. . 求求1,1iii 提提示示：22222.例例5 5证证明明: :121212z + zz - zzz1(1);(2)(12 )(23);1cossin(3).cossiniiiii例例6 6求求下下列列复复数数的的实实部部、虚虚部部和和共共轭轭复复数数. .