埃博拉病毒感染数量的一个数学模型.doc

《埃博拉病毒感染数量的一个数学模型.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《埃博拉病毒感染数量的一个数学模型.doc（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第 11 卷 第 4 期 邵阳学院学报（ 自然科学版） Vol 11 No 4 2014 年 12 月 Journal of Shaoyang University（ Natural Science Edition） Dec 2014 文章编号： 1672 7010 （ 2014 ） 04 0001 05 埃 博 拉 病 毒 感 染 数 量 的 一 个 数 学 模 型 1 ， 2 周后卿 徐幼专 （ 1 邵阳学院 理学与信息科学系 湖南 邵阳， 422000； 2 邵阳广播电视大学 湖南 邵阳， 422000） 摘 要 ： 埃博拉 病毒病 （ EVD） 是 严重的 、 往往致 命的人类 疾病

2、，病死率 高达 90% 埃博 拉病毒病疫情主要发 生在中非和西非靠近热带雨林 的边远村庄 该病毒 通过野 生动物 传到 人，并且通过人际间 传播在人群中蔓延 病情严重的 患者需要获 得重症 支持治疗 ，无论 对人 还是对动物都无可用 的已获正式许可的特异性治疗 办法或者疫 苗 由于 缺乏有 效的治 疗手 段和 人用疫 苗，提高 对感染 埃博拉 危险因 素的认识 以及个 人可以 采取一 些保护 措施，这是 减少 人类感 染和死 亡的唯 一方法 本文建 立一个 埃博拉 病毒的数 学模型 ，对疫 情进行 实证 分析； 并且对疫情的 发展也做了一个预测 关键词： 埃博拉 病毒； 数学模型； 实证分析；

3、 预测 中图分类号： O175 1 文 献标志码： A A Mathematical Model of Ebola Virus Infection Numbers ZHOU Hou qing ， XU You zhuan 2 （ 1 Department of Science and Information Science， Shaoyang University， Shaoyang， Hunan 422000， China； 2 Shaoyang adio TV University， Shaoyang， Hunan 422000， China） Abstract： Ebola virus

4、disease （ EVD） ， formerly known as Ebola haemorrhagic fever， is a severe， often fatal illness in humans EVD outbreaks have a case fatality rate of up to 90% EVD outbreaks occur primarily in remote villages in Central and West Afri- ca， near tropical rainforests The virus is transmitted to people fro

5、m wild animals and spreads in the human population through hu- man to human transmission Severely ill patients require intensive supportive care No licensed specific treatment or vaccine is a- vailable for use in people or animals In the absence of effective treatment and a human vaccine， raising aw

6、areness of the risk factors for Ebola infection and the protective measures being taken are the only two ways to reduce human infection and death This paper established a mathematical model of Ebola virus， and made an empirical analysis of epidemic diseases Furthermore， we made a pre- diction to the

7、 development of epidemic Key words： Ebola virus； mathematical model； empirical analysis； prediction 收稿日期 ： 2014 10 12 基金项目： 邵阳市科技局科技计划项目（M230） ： （ 1963 ） ， ， ， ， ： 作者简介 周后卿 男湖南新邵人 副教授 研究方向 组合数学及其应用 1 2 邵阳学院学报（ 自然科学版） 第 11 卷 0 引言 埃博拉病 毒 病 （ 以 往 称 作埃 博 拉 出 血 应用科 学 的分 析 方 法，揭 示预 测 埃 博 拉 传 播的趋 势 本 文利 用

8、传 染 病模 型 对 南 非 部 分国家 的 埃博 拉 疫 情 进行 了 模 拟，模 拟 结 热） 是一 种严重且往 往致命 的疾 病，死 亡率 高达 90% 该 病 会 影响 人 类和 非 人 类灵 长 目动物（ 猴子 、大猩猩和黑 猩猩） 埃博 拉是 1976 年在两起同时出现 的疫情 中首次 出现 的，一起 在 刚 果 民主 共 和 国靠 近 埃 博 拉 河 的一个 村 庄，另 一起 出 现 在 苏丹 一 个 边 远 地区，病毒的 起源 尚不得 而知 但基 于现 有 证据，人 们认 为果 蝠 （ 狐 蝠 科） 可 能 是埃 博 拉病毒的宿主 自西非的几 内亚卫生部在 2014 年 3 月

9、 21 日宣布 本国 出 现埃 博 拉疫 情 后，另外 几 个西非国家 利 比里亚 和塞 拉利昂 也出 现 了埃博 拉 疫 情 这种 病 毒 是 一种 严 重 的 致 命疾病，病死率高 达 90 % ，其传 播感染 的途 径是直 接 接 触受 感 染 的 动物 或 人 的 血 液、 体液和 组织 据法 新社 2014 年 8 月 8 日报 道，国际卫生组织 （ WHO） 8 日 宣布，在 西非 国家肆虐的 埃博拉 病毒 为国 际公共 卫生 紧 急事态 据世 界卫生 组织 最新 统计，截至 目 前，埃博拉病例已增加到 1711 例，死亡人数 上升至 932 人； 8 月 2 日 到 4 日 两天

10、内 新增 病例数量为 108 例，又有 45 人死亡 另据报 道，利比里亚和尼日利亚 分别于 当地时 间 6 日宣布 国 家进 入 紧 急 状态 国 际 卫 生 组 织 还表示 埃 博拉 病 毒 是 40 年 来 最 严 重 的 疫 情，它呼 吁 各 国帮 助 遭 受 埃博 拉 病 毒 肆 虐 的国家 目 前 尽管 只 有 少 数国 家 和 地 区 出现疫 情，但 由 于人 们 对 埃 博拉 的 传 播 机 理，如传染源、 传染 途径、发病 机制、流 行和 变异规 律 等 问题 没 有 弄 清楚 ，并 再 加 之 缺 乏有针 对 性 的治 疗 药 物，所 以病 毒 尚 没 有 得到根本控 制，

11、因 而引起 人们 的恐 慌 为了 应对具 有 蔓 延态 势 的 埃 博拉 病 毒，必 须 搞 清楚，现有的 干预 手段究 竟有 多大 效果，埃 博拉病毒的发展态势如 何？ 只有这 样，才能 确定更加科学准确的防 治措施 因此，我们 必须 在调 查研 究的 基础 上， 果与实 际 疫情 比 较 吻 合 在此 基 础 上 对 疫 情的发 展 提出 了 预 测，以 期有 利 于 对 疫 情 的防范和控制 1 数学模型 对于埃 博 拉 病 毒 的 数 学 模 型 研 究，早 在 1996 年，文献 2就使用 S I 和 S E I 模型，模拟扎伊尔两个时段的 埃博 拉爆发： 1976 年 Yambuk

12、u 疫 情爆发 和 1995 年 Kikwit 的疫情 爆发 他 们得到： 当基本 再 0 0 着埃博 拉 病 毒传 染 性 不 如以 前 那 么 厉 害， 可以使他们减少潜在的死亡 近些 年 来，也 有 一 些 文 献 （ 参 见 3 6 ） 对埃博 拉病毒做了研 究 现 在在这 些文 献的基 础 上，建立 埃 博 拉 病毒 感 染 数 量 的 数学模型 首先对 模 型 进 行 假 设： 把 研 究 对 象 当 成理想人群，总人 数保 持在 固定 水 平 N 没 有迁入 迁 出 及其 他 原 因 引起 的 死 亡 现 象 假设患 传 染病 后 通 过 治好 的 人，都 具 有 长 期的免疫力

13、，同时 设传染 病的 潜伏 期很 短， 可以忽 略 不计 ，即 任 何 人 患病 后 立 即 成 为 传染者 在这 种 情 况 下，把 居 民 分 成 易 感 者 （ S ） ，传染者（ I） 及移 出者（ ） 三 类，分 别记 作 s（ t） ， i （ t） 和 r （ t） ，三 者 之 和 保 持 常 数 N，即 s（ t） + i（ t） + r（ t） = N （ 1 1 ） 病人 的日 接触 率 为 ，日治 愈率 为 ，传 染 模型构成 根据 S I 传染病模型： 1 第 4 期 di = si， s（ 0 ） = s 0 周后卿，徐幼专： 埃博拉病毒感染数量的一个数学模型 消去

14、 dt，得一阶方程， ds s 0 3 dt dr = si i， i（ 0） = i = i0， （ 1 2 ） 解此方程得 i（ s） = i + s ： s + ln s （ 1 7 ） dt 0 0 s 0 解得 由（ 1 1） 式和（ 1 2 ） 式的第 1， 2 个方程 记 lims（ t） t! = s ! ， limi（ t） t! = i ! ， limr（ t） t! = r ! ， r 不论 初始 条 件 s0，i 0 如 何 ，i ! = 0 ，即 s（ t） = s 0 e （ 1 3） 病人终将治愈或者死亡 7 取 e 的泰勒展开 式的前 三项，移 出人 最 终 未

15、 被 感 染 的 健 康 者 的 比 例 是 数变化率近似地等于 = N r s 1 r + 1 r 2 （1 4） s ! ，在 （ 1 7） 式中令 i（ s） s ! = 0 ，得到 s ! 是方程 dt 0 2 i0 + s 0 s ! + ln s 0 =0 在（ 0， ） 内的根 在初 始值 r 出人数： 0 = 0 下 得到 其 解为 累计 移 若 s0 ，则 i（ t） 先增加，当 s = 时， s0 r （ t） = s 2 s 0 1 + tanh 1 2 t ， i（ t） 达到最大值： i m = s0 + i0 1 + ln 其中 0 然后 i（ t） 减小 且趋于

16、0， s（t） 单调减 小 2 2s i 1 2 s 至 s ! 就是说 ，如 果仅当感 染者比 例 i（ t） 有 = s 0 1 + 0 0 2 ， tanh = 0 一段增 长 时 期才 认 为 传 染 病 在 蔓 延，则 ，（ 1 4） 是一个阈值 ，当 s 0 时传染病会蔓延 所以 dr 2 式可化为 1 若 s 0 ，则 i（ t） 单调减 小到 0 ， s （ t） s ， dt = 2 s 0 2 t ， （ 1 5 ） 单调减小至 s ! 减 小传染 期接 触数 使 得 ch 2 0 传染病就不 会蔓延 注意到 人们的 健 因为 ch 1 2 t 2 1 ，所以有 康意识卫生

17、水 平越 高，日 接触 率越 小，医 疗 水平越高，日 治愈率 越大，所以 提高 卫生 和 医疗水平是控制传染病蔓延的有 效途径 ch 2 t 2 1 ， t 2 2 ds di = 1 + ， i = i ， r dr 2 实证分 析 通 过 长 期 的 研 究 发 现 ， 埃 博 拉 病 毒 主 （ 1 5） dr 式当且仅当 2 = 0，即 t = 要通过病人的 血液 、唾液 、汗水 和分 泌物 等 dt 取得极大值，也即移出的人最多 途径传 播 常 规 检 查 发 现 ，血 小 板 严 重 减 下面我们再分析 s （ t） ， i（ t） 和 r（ t） 的变 化情况 模型中前两个 方

18、程与 r（ t） 无 关，所 以可以从前两个方程求 出 i（ t） 与 s（ t） 之间 的关系 dt 少，常见 淋 巴细 胞 减 少，转 氨 酶 升 高，有 时 血淀粉 酶 也增 高，用 电 子 显微 镜 有 时 可 在 肝切片 中 观察 到 病 毒 埃 博拉 感 染 潜 伏 期 为 2 21 天，感 染者 表现 为，起 初突 然出 现 高烧、咽 喉 疼、肌 肉 疼 痛 、头 痛、和 全 身 虚 弱； 然后是腹痛、呕吐、腹泻 发病后的 半个 月内，病 毒外 溢，导致 人 体 内 外 出 血、血 液 凝固 ，而坏 死的 血液 迅 速传 及全 身 各个 器 时， ds = si， s（0） =

19、s 0 dt 即先考虑 ，（ 1 6） di = si i ， i（ 0） = i 0 4 邵阳学院学报（ 自然科学版） 第 11 卷 官，最终 病 人 出现 鼻 腔、口 腔、肛 门 出 血 等 症状，严重患者可在 24 小时内死亡 预防 埃 博 拉 的 最 有 效 办 法 是 实 施 隔 离，防止人们 接触 病患者 埃博 拉病 毒传 播 的 速度，强 度 和 广度 取 决 于人 群 中 感 染 者 和易感 者 的 数量 及 两 者 间的 有 效 接 触 所 谓有效 接 触，即 病原 体 由 感 染者 到 达 易 感 者体内，并使 其感 染乃至 发病 的接 触，它 受 接触程 度、病 原 体

20、种类、病原 体 排 出 状 况、 易感者的抵抗力等许多因 素的影响 建立 流行 病 学 数 学 模 型 后，还 须 把 模 型得到 的 解 用实 际 资 料 作拟 合 检 验 若 一 1 2014 致，则可初步 认为模 型合 理，可 按其 适用 范 围到实 践 中去 应 用 并 作进 一 步 验 证 若 不 一致，则 应 认 真检 查 模 型 的假 设 条 件 和 数 学式，进 行 修 改，直 至 拟 合 结 果 基 本 满 意 为止 下面，根 据世 界 卫 生 组 织 公 布 的 几 内 亚自 3 月 26 日至 7 月 20 日 所发 生的埃 博 拉病毒病 疫 情演 变情 况 的数 据 （

21、 见表 一 ） ， 画出日 增 人数 和 死亡 人 数的 散 点 图（ 见 图 1 ） 病 例总 数 会因 病 例 和实 验 室数 据 的 重 新分类、 回 顾 性调 查 及 合 并整 理 以 及 监 测 活动的加强而发生变化 表 年几内亚埃博拉病毒造成的累计病例和死亡总数 日期 累计病例 死亡总数 日期 累计病例 死亡总数 日期 累计病例 死亡总数 Tab 1 3 26 86 62 5 1 226 149 6 18 390 267 2014 Guinea ebola virus caused cumulative cases and death numbers 3 27 3 28 3 31

22、4 1 4 4 4 7 4 9 4 14 4 16 42 103 112 122 127 143 151 158 168 197 208 66 70 80 83 86 95 101 108 122 136 5 3 5 5 5 7 5 1 5 12 5 23 5 27 5 28 6 1 63 231 235 236 233 248 258 281 291 328 344 155 157 158 157 171 174 186 193 208 215 6 2 6 25 6 3 7 2 7 6 7 8 7 12 7 14 7 17 72 390 393 413 412 408 409 406 411

23、 410 415 270 275 303 305 307 309 304 310 310 314 4 23 218 141 6 5 351 226 ： 4 26 224 143 6 16 398 264 资料来源 世界卫生组织 图 1 日增感染人数和死亡人数散点图 图 2 日感染人数与周数关系 Fig 1 The scatter plot of infecting numbers and deaths Fig 2 elationship between infecting numbers and weeks 3 26 ， 再来分析预测每 天感染的情况 （ 1 3） ， = 我们以 月 日为 基

24、点 那么 将在 今年 的 根据 式和附录提 供的数据 取 11 月下旬 或 12 月 上旬 每 天增 加 的人 数 将 3 72， = 0 863，可以估 计出日感染 人数 s = 1882 达到最多 ， 以 后 ，随 着积极 治疗 防控 力度 加 ch （ 0 195t 6 02） ，其图形参见图 2 大 被感染的人数将逐渐减少 尽管 医 学家 们 想 方 设 法 在 努 力 探 索， 或 从上 面的图 2 我 们发 现，将 在第 32 周 33 周，日感 染人 数最 多 也 就是 说，如果 但还是没 有 破2 解 埃 博 拉 病毒 的 真 实 身 份 ， 至今埃 博 拉是 一 个 不 解之

25、 谜 没 有 哪 个 知 第 4 期 周后卿，徐幼专： 埃博拉病毒感染数量的一个数学模型 www who int 5 道，每 次 爆 发埃 博 拉 病 毒 后，它 潜 伏 在 何 处，也没有哪 个知 道，第 一个受 害者 又是 从 2 Fauci AS： Ebola underscoring the global dispari- 哪里感染 到这 种病 毒 的 ？ 埃 博 拉病 毒就 是 ties in health care resources J The New England Journal of Medicine， 2014， 371： 1084 1086 人类至今 所 知道 的 最

26、可 怕的 病 毒 之 一，一 旦感染这 种 病毒，病人没 有疫 苗注 射，也没 3 Gerardo C and Hiroshi N Transmission dynamics 有其他治疗 方法 ，实际上 等于 判了 死刑 唯 and control of Ebola virus disease （ EVD） ： a review JChowell and Nishiura BMC Medicine， 2014，12 一能阻止 病 毒蔓 延 的 方 法，就是 把 已 经 感 染埃博拉的病人完全隔 离开来 现今 治疗 埃 博 拉 的 唯 一 方 法，就 是 注 射 NPC1 阻碍 剂 埃博 拉 病

27、毒 需 透过 NPC1 进入细胞核 进行 自身 复制， NPC1 蛋白 于细 胞间进 行 运 输胆 固 醇，即 使 阻碍 剂 会 阻 挡 胆固醇 的 运 输路 线 造 成 尼曼 匹 克 症，但 那 是可以 容 忍 的， 绝大 多 数 的 爆发 都 是 短 暂 的时间 从现在到 最后彻 底控 制消 灭埃 博拉 病 毒估计 还 有 相当 一 段 时 间 随着 秋 冬 病 毒 高发季节的 到来，防治任 务异 常艰 巨，必须 引起高 度 重 视 只 有统 一 思 想，提 高 认 识， 掌握实 情，科 学应 对，做 好 防 控 工 作，才 能 取得最后胜利 参考文献： 1 World Health Or

28、ganization Ebola virus disease （ EVD） EB/ OL 2014 08 10： http： / / （ 196） ： 1 16 4 Joseph A L， Martial L N M ， Jorge A A Dynamics and control of Ebola virus transmission in Montser- rado， Liberia： a mathematical modelling analysis J The Lancet Infectious Diseases， 2014， 14（ 12） ： 1189 1195 5 Yarus Z

29、 A Mathematical look at the Ebola Virus J / OL http： / / www home2 fvcc edu / ， 2012 6 Banton S， oth Z， Pavlovic M Mathematical Model- ing of Ebola Virus Dynamics as a Step towards a- tional Vaccine Design C / / Keith E Herold 26th Southern Biomedical Engineering Conference SBEC 2010 Maryland： Springer， 2010， 32： 196 200 7姜启 源，谢金 星，叶 俊 数学 模型 （ 第 三 版） M 北京： 高等教育出版社， 2003 8蒋娇，聂鲁彬 利比里亚名医死于埃博拉病毒 医护人员 危险剧增 EB / OL 2014 07 28 http： / / www huanqiu com / 8