专题09双曲线中的定点、定值、定直线问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）（解析版）.docx

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1、专题09 双曲线中的定点、定值、定直线问题一、单选题1已知为坐标原点，点在双曲线（为正常数）上，过点作双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为（ ）ABCD无法确定【解析】设，即有，双曲线的渐近线为，可得 ，由勾股定理可得 ，可得 故选：A2已知点，是双曲线（，）的左、右顶点，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值，则（ ）A2BCD4【解析】设，则，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以故选：A3已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且与直线交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的标准方程是 （ ）ABCD【解析】设双曲线方程为将代入，整理得由韦达定

2、理得，则又抛物线的焦点，所以，解得，所以双曲线的方程是故选C4已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为（ ）A16B12C8D随变化而变化【解析】由双曲线方程知，双曲线的渐近线方程为直线的倾斜角为，所以，又直线过焦点，如图所以直线与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，(1)，(2)，由(1)+(2)得，.故选：A5已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，点A是双曲线右支上一点，且（O为坐标原点），则（ ）A2B3C4D5【解析】由题意，因为，所以，所以点在以为直径的圆上，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，故选：.6已知双曲线，为坐标原点，为双曲线上两动点，且，则（

3、）A2B1CD【解析】由题意设直线方程为，直线方程为，设 ，则，同理，所以，即.故选：D7已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则 （ ）A-4BC4D6【解析】设，则，两式相减，得，即，即，同理，得，所以；故选A.8已知双曲线x29-y216=1,过其右焦点F的直线交双曲线于P,Q两点，线段PQ的中垂线交x轴于点M，则MFPQ的值为（ ）A53B58C54D56【解析】由已知点F5,0，不妨设过点F的直线的斜率为1，点P,Q的坐标分别为x1,y1,x2,y2，则直线PQ的方程为y=x-5，由y=x-5x29-y216=1，消去y得7x2+90x-369=0，所以x1

4、+x2=-907，x1x2=-3697，由弦长公式得PQ=12+1-9072-4-3697=1927，又y1+y2=x1-5+x2-5=x1+x2-10=-1607，则线段PQ的中点为N-457,-807，所以PQ的垂直平分线方程为y+807=-x+457，令y=0得x=-1257，所以MF=5+1257=1607，从而可得MFPQ=16071927=56，故选D.二、多选题9已知为双曲线上一点，令，下列为定值的是（ ）ABCD【解析】不妨设在第二象限，可得，即，而，为定值，A正确；由倍角正切公式及，可得，不为定值，B排除；，而，故为定值，C正确；由C知：不为定值， D排除；故选：AC.10已

5、知双曲线的离心率为2，点，是上关于原点对称的两点，点是的右支上位于第一象限的动点（不与点、重合），记直线，的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）A以线段为直径的圆与可能有两条公切线BC存在点，使得D当时，点到的两条渐近线的距离之积为3【解析】当点，分别是的左、右顶点时，圆与恰有两条公切线，故A正确；设，则，则，所以，故B正确；，故C错误；当时，渐近线方程为，即，点到两条渐近线的距离之积为，双曲线，点是的右支上位于第一象限，则，整理可得，代入上式可得，故D正确故选：ABD11已知双曲线（，），是其左、右顶点，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，下列结论正确的是（ ）AB直线，的斜率之积等

6、于定值C使得为等腰三角形的点有且仅有8个D的面积为【解析】A，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得，所以A正确；B，设点，有，直线的斜率之积，所以B正确；C，根据双曲线对称性分析：要使为等腰三角形，则必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点使，此时为等腰三角形，也且仅有一个点使，此时为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C正确；D，设，由双曲线的定义可得，则，由余弦定理可得，得， 则，所以D不正确.故选：ABC12已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（ ）A恒

7、成立B若，则C面积的最小值为1D对每一个确定的，若，则的面积为定值【解析】设，代入得，显然，即，设，则，是方程的两个根，有，设，由得，由，得；所以，所以和的中点重合，所以，所以恒成立故A正确因为和的中点重合为，所以，又，所以，所以，故B正确设直线方程为，由得，由得，故C错误.因为，所以，得，即，所以，又，所以是定值故D正确故选：ABD.三、填空题13双曲线的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线上的射影是点，若直线AB过右焦点，则直线必定经过的定点的坐标为_【解析】双曲线的右焦点为，设，直线与双曲线方程联立得，则，所以，直线的斜率为，所以直线的方程为 ，令化简得，即，则恒成立，所以直线必定经过

8、的定点的坐标为14已知双曲线C：y21，直线l：ykxm与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，则直线l所过定点为_【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(14k2)x28kmx4(m21)0，所以，x1x20，x1x20，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(2，0)，所以kADkBD1，即，所以y1y2x1x22(x1x2)40，即40，所以3m216mk20k20，解得m2k或m.当m2k时，l的方程为yk(x2)，直线过定点(2，0)，与

9、已知矛盾；当m时，l的方程为yk，直线过定点，经检验符合已知条件故直线l过定点.15双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_.【解析】设，交圆于点，所以，易知:，即.16已知双曲线 ，过双曲线上任意一点分别作斜率为和的两条直线和，设直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，则的值为_.【解析】设，所以，令，所以，令，所以，所以；又，令，所以，令，所以，所以；所以.四、解答题17已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点.（1）若，求直线的方程；（2）若直线与

10、相交于点，求证：点在定直线上.【解析】设直线的方程为，设，把直线与双曲线联立方程组，可得，则，（1），由，可得，即，把式代入式，可得，解得，即直线的方程为或（2）直线的方程为，直线的方程为，直线与的交点为，故，即，进而得到，又，故，解得故点在定直线上18已知双曲线实轴端点分别为，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为（1）求双曲线的方程；（2）若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由【解析】（1）设双曲线的焦距为，因为离心率为2，所以，联立，得：，所以点的坐标为，因为，所以的面积为，所

11、以，双曲线的方程为.（2）设，直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为，联立， 所以点的横坐标为，联立，得：，所以，直线与直线的交点在直线上.19已知双曲线：的左、右顶点分别为，过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点（点在轴上方）（1）若，求直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，证明：为定值【解析】（1）设点，由，可得：，即，将，代入双曲线方程得，消去，解得：，又点在轴上方，点在轴下方，直线的方程为.（2）过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，可设直线的方程为，联立方程，消去整理得：，则，解得：， ，又，又，即为定值.20已知双曲线的一个焦点为，且经过点（1）求双曲线C的标准力程；（2）己知点A

12、是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值【解析】（1）由题意且联立解得，所以双曲线C的标准方程为（2）设，过点的动直线为：设，联立得，-所以，由且，解得且，即，即，化简得，所以，化简得，由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去因此，从而，所以，代入得，解得，此时在双曲线C上综上，或者，21已知双曲线的离心率为，且该双曲线经过点（1）求双曲线C的方程；（2）设斜率分别为，的两条直线，均经过点，且直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在

13、，说明理由【解析】（1）离心率为，则，即双曲线方程为又点在双曲线C上，所以，解得，所以双曲线C的方程为 （2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设，则由，解得，即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在不妨设直线AB的方程为，代入，整理得，设，则，由，得，即，整理得，所以，整理得：，即，所以或当时，直线AB的方程为，经过定点；当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意综上，直线AB过定点（0，1）22在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为记点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为证明：直线过定点，并求出该定点坐标【解析】（1）设，由题意可得：，即，两边同时平方整理可得：，所以曲线的方程为：；（2）若直线，斜率都存在且不为，设：，则：，由可得：，当时，即，方程为，此时只有一解，不符合题意，当时，由韦达定理可得：，所以点的横坐标为，代入直线：可得：，所以线段的中点,用替换可得，所以线段的中点，当时，直线的方程为：，整理可得：，此时直线过定点，若时， 则，或，直线的方程为，此时直线也过点，若直线，中一个斜率不存在，一个斜率为，不妨设斜率为，则：，：，此时直线的方程为，此时直线也过点，综上所述：直线过定点，16原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！