新高考艺术生数学基础复习讲义 考点10 平面向量线性运算（教师版含解析）.docx

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1、考点10 平面向量的线性运算知识理解一向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量(没有方向上的规定)(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行或共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量二向量的线性运算(一)加法：求两个向量和的运算1.三角形法则：首尾连，连首尾2.平行四边形法则：起点相同连对角3.运算律交换律：结合律：()()（二） 减法1.三角形法则：共起点，连终点，指向被减2.平行

2、四边形法则：共起点，连终点，指向被减(三)数乘：求实数与向量的积的运算1.数乘意义：| |，当0时，与的方向相同；当0时，与的方向相反；当0时，02.运算律(1)()()(2)()(3)()3向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.4平面向量基本定理如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数1，2，使12.其中，不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底考向分析考向一 概念的辨析【例1】(2020全国高三专题练习)下列关于向量的叙述不正确的是( )A向量的相反向量是B模为1的向量是单位向量，其方向是任意的C若A，B，C，

3、D四点在同一条直线上，且ABCD，则D若向量与满足关系，则与共线【答案】C【解析】A选项中，向量的相反向量是，故正确；B选项中，模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，故正确；C选项中，若A，B，C，D四点在同一条直线上，且ABCD，则与方向可能相同或相反，故不正确，；D选项中，若向量与满足关系，则与共线，正确.故选：C.【方法总结】(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线【举一反三】1(2020全国高三专题练习(

4、文)给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小若 (为实数)，则必为零，为实数，若，则共线其中错误的命题的个数为A1B2C3D4【答案】C【解析】错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当时，不论为何值，.错误，当=0时，此时，与可以是任意向量故选C2(2020全国高三专题练习)给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.(为实数)，则必为零.为实数，若，则与共线.其中正确的命题的个数为( )A

5、1B2C3D4【答案】A【解析】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若(为实数)，则也可以零，因此命题也是错误的；若为0，尽管有，则与也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A3(2020全国高三专题练习)下列命题中正确的是( )A若，则B若，则C若，则与可能共线D若，则一定不与共线【答案】C【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误.故

6、选：C考向二 线性运算【例2-1】(2020山西高三期中)如图，中，E是AB的中点，点F满足，则( )ABCD【答案】A【解析】，故选：A【例2-2】(2020武威第六中学高三月考)在中，为的重心，若，则_【答案】【解析】如图所示，因为为的重心，则点为的中点，根据向量的线性运算和三角形重心的性质，可得：，又因为，所以，所以.故答案为：.【举一反三】1(2020河南高三月考)如图，在梯形中，为线段的中点，且，则( )ABCD【答案】D【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得，故选：D2(2020广东深圳市明德学校高三月考)在中，点P为中点，点D在上，且，则( )ABCD【答案】B【解析】点P为中

7、点，,，,=,故选：B.3(2021全国高三专题练习)设分别为的三边的中点，则( )ABCD【答案】A【解析】，故选：A4(2020咸阳市高新一中高三月考)在中，为边上的中线，E为的中点，且，则_，_【答案】 【解析】如下图所示：为的中点，则，为的中点，所以，因此，即，.故答案为：；.考向三 共线定理【例3】如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_【答案】【解析】注意到N，P，B三点共线，因此mm，从而m1，所以m.【举一反三】1(2020湖北高三学业考试)已知，是不共线的两个向量，若，则( )A，三点共线B，三点共线C，三点共线D，三点共线【答案】D【解析】由，故，所以，三

8、点共线.故选：D.2(2020河南高三月考)已知中，点为线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，点是直线与的交点，则( )ABCD【答案】B【解析】设，因为点是线段的中点，所以所以，所以，即因为点为线段上靠近的三等分点，所以所以，因为三点共线，所以由可解得故选：B3(2020全国高三专题练习)已知A、B、P是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数x、y满足，则的最小值为_.【答案】【解析】A、B、P是直线上三个相异的点，即，所以，当且仅当，即，时取等号，故答案为：.强化练习1(多选)(2020全国高三专题练习)若，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是( )A若，则 B若，则C若，则 D若，则【

9、答案】ACD【解析】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，但，可以不相等，故错误；对应，若，则方向相同或相反，方向相同或相反，故的方向相同或相反，故，故正确；对应，若，则，故正确故选：2(多选)(2020全国高三专题练习)以下说法正确的是( )A零向量与任一非零向量平行B零向量与单位向量的模不相等C平行向量方向相同D平行向量一定是共线向量【答案】ABD【解析】对于A，根据零向量的性质，可知A是正确的；对于B，由零向量的模是0，单位向量的模是1，所以B是正确的；对于C，平行向量的方向相同或相反，所以C是不正确的；对于D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以D是

10、正确的，故选：ABD3(多选)(2020威海市文登区教育教学研究培训中心高三期中)四边形中，则下列表示正确的是( )ABCD【答案】BD【解析】 对于选项A：，故选项A不正确；故选项B正确；，故选项C不正确，故选项D正确；故选：BD4(2020安徽高三月考)在ABC中，D是边AC上的点，E是直线BD上一点，且，若，则m-n=( )ABCD【答案】B【解析】，故选：B5(2020山西吕梁市高三期中)在中，若点满足，点为的中点，则( )ABCD【答案】A【解析】.故选：A6(2020天津高三期中)在中，是的中点.若，则( )ABCD【答案】B【解析】因为，所以，因为是的中点，所以，所以，所以，故选

11、：B7(2021天津市)如图，在四边形中，设，则( )ABCD【答案】D【解析】由题意，在四边形中，设，根据向量的运算法则，可得.故选：D.8(2020大同市煤矿第四中学校高三)长方体中，为的中点，则( )ABCD【答案】A【解析】如图所示，依题意，故，则.故选：A.9(2020河北衡水市衡水中学高三月考)已知平行四边形中，则( )ABCD【答案】C【解析】如图所示，为，所以，又，.故选：C.10(2020宁县第二中学高三期中)已知在中，点，分别在边上，且，若，则的值为_.【答案】【解析】，因为，所以，所以，11(2020全国高三月考)如图所示，正六边形中，点为线段的中点，若，则_【答案】【解

12、析】依题意，故故答案为：12(2020全国高三专题练习)如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则_.【答案】【解析】设，则，由于可得， 解得，所以故答案为：13(2021全国高三专题练习)在中，为的中点，为的中点，为的中点，若，则_【答案】.【解析】因为为的中点，所以，而，所以，所以，故，填14(2021全国高三专题练习)如图，在中，是上一点，若，则实数的值为_【答案】.【解析】因为，所以 则根据B,P，N三点共线，,则t=故答案为 15(2020甘肃天水市高三月考)在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则_.【答案】【解析】因为在正方形中，E为CD中点，所以，又为，所以，所以，所以，又已知，根据平面向量基本定理可得，所以，故答案为：16(2020全国高三专题练习)在AOB中，D为OB的中点，若，则的值为_【答案】【解析】因为，所以()，因为D为OB的中点，所以，所以()()，所以，则的值为.故答案为：.17(2020陕西渭南市高三一模)设D为ABC所在平面内的一点,若,则_.【答案】【解析】如图所示：，+3()，即有=，因为，所以=，=，则=3，故答案为：3.