2022年高考数学强基计划讲义 专题6：导数的应用【解析版】.docx

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1、2022年高考数学尖子生强基计划专题6：导数的应用一、 真题特点分析：【2021年清华4】恰有一个实数使得成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD答案：B2.【2020年清华17】已知函数，则的最大值与最小值的和是（ ）A2BC3D4二、知识要点拓展一导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，若极限（*）存在，则称函数在点可导，并称其极限值为函数在的导数，记作。若令，则（*）式可改写为。二导数的几何意义：函数在点的导数是曲线在点处切线的斜率。若表示这个切线与轴正向的夹角，则。三基本求导法则：； ，（为常数）； 反函数导数 ；复合函数导数 。四基本初等函数导数公式（为常数）； （为任何实数）；，

2、， ，；， ；。五.原函数：设是定义在区间上的函数，若存在函数，对任意都有，则称是的一个原函数。一个函数若存在原函数，它必定有无穷多个原函数，若是的一个原函数，则表示的全体原函数.六不定积分：设是的一个原函数，则称的全体原函数为的不定积分。记为，即。七.不定积分的性质：； ， 。八常见积分公式， ， ， ， ，。九函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。三、典例精讲例1已知在处可导，且，求下列极限：（1）； （2）分析：在导数定义中，增量的形式是多种多样，但不论选择哪种形式，也必须选择相对应的形式。利用函数在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的

3、结构形式。解答：（1）（2）练习1：若函数在区间内可导，且则 的值为（ ） A B C D答案：B 解答： 练习2：（2000上海交大）已知在处可导，则 。答案：解答：由导数定义知 。例2求函数的导数。解答： 练习3.,若,则的值等于（ ）A B C D答案：D 解答：例3函数的导数为_；解答： 例4求函数的导数。解答：。例5观察，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解答：若为偶函数 令 可导的偶函数的导函数是奇函数另证：例6求证下列不等式（1） （相减）（2） （相除）（3） 证明：（1） 为上 恒成立 在上 恒成立（2）原式 令 （3）令 例7已知函数，

4、 （1）证明：当时，恒有 （2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;解答：（1）设，则= ， 当时，所以函数在（0，单调递增，又在处连续，所以，即，所以。 （2）设，则在（0，恒大于0， ， 的根为0和即在区间（0，上，的根为0和若，则在单调递减，且，与在（0， 恒大于0矛盾；若，在（0，单调递增，且，满足题设条件，所以，所以。例8利用导数求和：（1）；（2）。分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解答：（1）当时，；当时，两边都是关于的函数，求导得：即（2），两边都是关于

5、的函数，求导得。令得：，即。例9已知函数，是方程的两个根，是的导数；设，（n=1,2,） （1）求的值； （2）证明：对任意的正整数，都有；（3）记（），求数列的前项和。解答：（1），是方程f(x)=0的两个根，； （2），=，有基本不等式可知（当且仅当时取等号），同，样，（）， （3），而，即，同理，又四、真题训练1.若，则（ ）A B C D2.（上海交大）设，则（ ）（A） -2 （B）2 （C）-4 （D）43.与是定义在R上的两个可导函数，若,满足,则与满足（ ）A B为常数函数 C D为常数函数4.若,则等于（ ） A B CD5.若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是（ ）

6、6.于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）A B. C. D. 7.函数在点处的导数是 ( ) A B C D8.设(是两两不等的常数),则的值是 _.9.证明下面不等式：（1）已知：，求证；（2）已知：，求证：。10.已知函数（）求函数的最大值；（）当时，求证:11.设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，() 判断函数在上的单调性； () 设，比较与的大小，并证明你的结论；（）设，若，比较与的大小，并证明你的结论. 12.设函数. ()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项; ()对任意的实数x,证明 ()是否存在,使得an恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请

7、说明理由.真题训练答案1.D 2D由导数定义知 3.B ,的常数项可以任意4.A 5.A 对称轴，直线过第一、三、四象限6.C 当时，函数在上是增函数；当时，在上是减函数，故当时取得最小值，即有得7.D 8. ， ， （A） 证明：（1）令，由， 原不等式等价于，令，当时，有，函数在递增即另令，则有在上递增， 综上得（2）由（1）令并相加得即得10.（）解： ,令得当时， 当时，又当且仅当时，取得最大值0 （）证明： 由（1）知又 11.解：()由于得，而，则，则，因此在上是增函数.()由于，则，而在上是增函数，则，即，（1），同理 （2）（1）+（2）得：，而，因此 .（）证法1: 由于，则

8、，而在上是增函数，则，即， 同理 以上个不等式相加得：而证法2：数学归纳法（1）当时，由（）知，不等式成立；（2）当时，不等式成立，即成立，则当时， +再由()的结论, +因此不等式对任意的自然数均成立.12.（）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。令，有由，得因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处有极小值故当时，从而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（）对，且有又因，故，从而有成立，即存在，使得恒成立。五、强化训练A组1. 函数的极小值、极大值分别为（ ）A.极小值0，极大值4 B.极小值-16，极大值4C.极小值-1，极大

9、值4 D.极小值0，极大值1分析：对函数求导，令是两个驻点。因为时，；时，；时，所以对应极大值，对应极小值。时，；时，答案：A2. 设，则（ ） A. B. C. D.分析：由导数定义可得答案：D3. 函数的单调递减区间为_分析：对函数求导，则时，；时，；时，又函数的定义域为，所以的单调递减区间为答案：4. 若四次函数有四个根，则它的导函数有多少个根？分析： 令的四个根为，且不妨设的最高次项系数大于0，则时。所以在上，在上，在上，在上，在上。所以的导函数有3个极值点，即有3个根答案： 至多3个根5. 若方程有3个不同实根，求实数的取值范围分析：记，有3个不同实根，则应该有2个不同实根。设，令

10、，则时，有极大值，所以；时，有极小值，所以。所以答案：6. 已知三次方程只有一个实根是正的，求的取值范围分析：令，则 (1） 恒成立与题设矛盾 （2）恒成立显然不可能 （3），因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则答案：7. 已知函数（1）判断函数的奇偶性（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围分析：（1）对进行讨论， 为偶函数 ，则，为非奇非偶函数 （2）由题意，在时， 所以答案：（1）时为偶函数，时为非奇非偶函数；（2）8. 已知三次曲线的图象关于点中心对称（1）求常数 （2）若曲线与直线相切，求曲线的方程分析：（1）由题意，若在曲线上，则也在曲线上，即 由于恒成立，所以

11、 （2）由（1）知 令是的切点在该点的切线斜率为4 由， 又，所以，从而 答案：（1）；（2）B组1. 一元三次函数的三次项系数为，的解集为（1）若有两个相等实根，求的解析式（2）若在上单调递减，求的取值范围分析：设，则， 。又因为的解集为，所以，对比系数可得（1），因为有两个相等实根，所以（2），要使得在上单调递减，只需在上恒成立即可。所以答案：（1）；（2）2. 设三次函数，在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为（1）求证：（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围分析：（1），由题意可得 （2）由（1）可知的，所以方程有两 个不同实根。又。 所以，当或时，；当时， 所以，的单调递增区间是

12、，即答案：（1）略；（2）3. 已知定义在正实数集上的函数，其中，设两曲线，有公共点，且在公共点处的切线相同（1）若，求的值（2）用表示，并求的最大值分析：（1），设与在公共点处的切线相同，由题意可知（2），设与在公共点处的切线相同，由题意可知所以令，则当，即时，当，即时，所以在的最大值为答案：（1）；（2），最大值为4. 已知函数.（1）若函数在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（2）若函数的图像在处的切线的斜率为0，且，已知，求证：；分析：（1） 要使函数在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0 当时，在内恒成立 当时，要使恒成立，则 当时，恒成立 所以综上所述， （2）根据题意得

13、 所以 用数学归纳法证明如下： 当时，不等式成立 假设当时，不等式成立，即 则当时， 所以不等式也成立。综上所述，可得证。答案：（1）；（2）略六、参考答案A组1. 分析：对函数求导，令是两个驻点。因为时，；时，；时，所以对应极大值，对应极小值。时，；时，答案：A2. 分析：由导数定义可得答案：D3. 分析：对函数求导，则时，；时，；时，又函数的定义域为，所以的单调递减区间为答案：4. 分析： 令的四个根为，且不妨设的最高次项系数大于0，则时。所以在上，在上，在上，在上，在上。所以的导函数有3个极值点，即有3个根答案： 至多3个根5. 分析：记，有3个不同实根，则应该有2个不同实根。设，令 ，

14、则时，有极大值，所以；时，有极小值，所以。所以答案：6. 分析：令，则 (1） 恒成立与题设矛盾 （2）恒成立显然不可能 （3），因为，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则答案：7. 分析：（1）对进行讨论， 为偶函数 ，则，为非奇非偶函数 （2）由题意，在时， 所以答案：（1）时为偶函数，时为非奇非偶函数；（2）8. 分析：（1）由题意，若在曲线上，则也在曲线上，即 由于恒成立，所以 （2）由（1）知 令是的切点在该点的切线斜率为4 由， 又，所以，从而 答案：（1）；（2）B组1. 分析：设，则， 。又因为的解集为，所以，对比系数可得（1），因为有两个相等实根，所以（2），要使

15、得在上单调递减，只需在上恒成立即可。所以答案：（1）；（2）2. 分析：（1），由题意可得 （2）由（1）可知的，所以方程有两 个不同实根。又。 所以，当或时，；当时， 所以，的单调递增区间是，即答案：（1）略；（2）3. 分析：（1），设与在公共点处的切线相同，由题意可知（2），设与在公共点处的切线相同，由题意可知所以令，则当，即时，当，即时，所以在的最大值为答案：（1）；（2），最大值为4. 分析：（1） 要使函数在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0 当时，在内恒成立 当时，要使恒成立，则 当时，恒成立 所以综上所述， （2）根据题意得 所以 用数学归纳法证明如下： 当时，不等式成立 假设当时，不等式成立，即 则当时， 所以不等式也成立。综上所述，可得证。答案：（1）；（2）略