专题12抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破（全国通用）（解析版）.docx

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1、专题12 抛物线的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（ ）ABCD【解析】设直线方程为，联立方程组，整理得，因为直线与抛物线交于两点，所以，解得，因为线段中点的横坐标为2，可得，所以或（舍），所以，可得，则故选：C.2已知直线过抛物线：的焦点，并交抛物线于，两点，则弦中点的横坐标是（ ）ABCD1【解析】如图，由题意可得抛物线的准线的方程为，过点作抛物线准线的垂线于，过分别作于点，于点，则，因为弦的中点为，所以，所以点的横坐标是，故选：C3直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F，且与C相交于A，B两点，且AB的中点M的坐标

2、为(3，2)，则抛物线C的方程为（ ）Ay22x或y24xBy24x或y28xCy26x或y28xDy22x或y28x【解析】由题可得直线l的方程为，与抛物线方程C：y22px(p0)联立，得k2x2k2px2px0AB的中点为M(3，2)，解得k1或k2，p2或p4，抛物线C的方程为y24x或y28x故选：B4过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若为定值，则这个定值是（ ）ApB2pCD【解析】抛物线y22px(p0)的焦点F的坐标为， 可取过F与x轴垂直的直线x，把x代入y22px，得yp，假设， 故|MF|p，|NF|p，所以， 即该定值为故选：D5已知抛物线C

3、：的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A16B20C24D32【解析】抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：由题意可知，则，联立，整理得：设，则，设，同理可得： 由抛物线的性质可得：，当且仅当时，上式“”成立的最小值24.故选：C6过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）A3B2CD1【解析】方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，过点作于点，交轴于点由已知条件及抛物线的定义，得，所以在中，因为，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线

4、的方程为，将其代入抛物线的方程，得设，则因为，所以，即，所以，解得故选：C.7过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，且的面积为，则抛物线C的标准方程为（ ）ABCD【解析】由题设，令为，联立抛物线方程并整理得，若，则，又易得，则，即， 又，而，即，又，则，故.故选：D8设直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，若，则面积的取值范围是（ ）ABCD【解析】因为直线与抛物线相交于两点，所以该直线斜率不为零，设该直线的方程为，其中不同时为零；设，由可得，则，即；因此，又，所以，即，解得；所以；又点到直线的距离为，所以的面积为，即面积的取值范围是.故选：D.二、多选题9已知抛物线的

5、焦点为，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A点的坐标为B若直线过点，则C若，则的最小值为D若，则线段的中点到轴的距离为【解析】对于A，抛物线，即，易知点的坐标为，故A错误；对于B，显然直线斜率存在，设直线的方程为，联立，整理得，故B正确；对于C，若，则过点，则，当时，即抛物线通经的长，故C正确，对于D，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，分别作准线的垂直线，垂足分别为，所以，所以，所以线段，所以线段的中点到轴的距离为，故D正确故选：BCD10已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点.若线段的长是16，中点到轴的距离是6，为坐标原点，则（ ）A抛物线的方程是B抛物线的准线为C直线的斜率

6、为1D的面积为【解析】依题意直线过抛物线的焦点，中点到轴的距离是6，结合抛物线的定义可知，所以抛物线方程为，准线为，所以A正确，B错误.抛物线焦点坐标为，设直线的方程为，消去并化简得，设，则.所以，解得.所以C错误.当时，直线的方程为，即，原点到直线的距离为，所以.当时，同理求得，D正确.故选：AD11若抛物线的焦点为F，过点F倾斜角为的直线与抛物线交于两点，过A，B分别作抛物线的切线，设交于点P，下列命题正确的有（ ）ABCD点P的纵坐标为定值【解析】由题意，直线的倾斜角为满足.设直线的方程为,由，得 ，故选项A正确. ,所以选项C不正确.设的方程为 ，由，得 ，所以 ，即，即，所以，则，同

7、理设的方程为，可得所以，所以，故选项B正确.所以的方程为，即，同理的方程为，则由，可得，将其代入其中一个方程可得 ，所以点P的纵坐标为定值，故选项D正确，故选：ABD12已知直线与抛物线交于两点，若线段的中点是，则（ ）ABCD点在以为直径的圆内【解析】对于A，设，由得：，又线段的中点为，解得：，A正确；对于B，在直线上，B正确；对于C，过点，为抛物线的焦点，C错误；对于D，设，则，又，在以为直径的圆上，D错误.故选：AB.三、填空题13已知直线与抛物线交于，两点，则_【解析】联立，得：，即，设，则，所以.14直线与抛物线交于，两点，若线段被点平分，则抛物线的准线方程为_.【解析】设，由线段被

8、点平分，可知，又，所以，由题意可知，直线的斜率存在，且为1，所以，所以，即，所以.故抛物线的准线方程为.15已知抛物线yx2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|NF|，则|MF|_.【解析】如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|NF|，在RtNHM中，|NM|NH|，则NMH45.在MFK中，FMK45，所以|MF|FK|.而|FK|1.所以|MF|.16在直角坐标系中，点为抛物线上一点，点为该抛物线的焦点，若，则的面积为_.【解析】抛物线的焦点，因点为抛物线上一点，且，由抛物线对称性，不妨令点A在第一象限，则直线AF倾斜角为，如图，

9、直线AF方程为：，由消去x得：，解得，于是得点A的纵坐标为，从而有，所以的面积为.四、解答题17已知抛物线的焦点到其准线的距离为2（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及【解析】（1）因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，的方程为（2）设，则，两式相减得， ，联立，消去整理得，直线过抛物线的焦点，18已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线交C于，两点，.（1）求抛物线C的方程；（2）O为坐标原点，D为C上一点，若，求的值.【解析】（1）直线的方程可表示为，与抛物线方程联立可得方程组，消去y得，解得，.由于直线过焦点，故，得，解得，所以抛物线C的方程为.

10、（2）由（1）知，.设，由，得，所以.因为点D在C上，所以，化简得，解得或.19已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，点M为抛物线C上一点，|MF|=8，且OFM=(O为坐标原点).（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求AOB面积的最小值.【解析】（1）抛物线C：y2=2px(p0)的焦点，准线方程为：，过点M作准线的垂线，垂足为N，过点M作x轴的垂线，垂足为D，如图，依题意得：，即，解得，抛物线C的方程为；（2）焦点F(2，0)，由题意知直线l不垂直于y轴，设直线l方程为，由消去x得，设，则有，而坐标原点到直线l的距离，因此，当且仅当时取“=”，所以

11、AOB面积的最小值为8.20已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：（1）若与只有一个公共点，求的值；（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积【解析】（1）依题意消去得，即，当时，显然方程只有一个解，满足条件；当时，解得；综上，当或时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，由，消去得，所以，所以，所以.21椭圆的焦点到直线的距离为，离心率为，抛物线的焦点与椭圆的焦点重合，斜率为的直线过的焦点与交于两点，与交于两点（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）是否存在常数，使得为常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）设椭圆与抛物线的公共焦点为所以焦点到直线的距离为，可得：，所以，由，可得：，所以，所以椭圆，抛物线；由（1）知：，设直线，由可得：，所以，所以，由可得：，所以，因为是焦点弦，所以，所以若为常数，则，所以.22已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，且（为坐标原点）（1）求抛物线的方程；（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于，求四边形面积的最小值【解析】（1）设直线为代入整理得设，所以 ，又所以，由得，综上：所求抛物线的方程为（2）由（1）得，因为所以，令，有故当时，四边形面积有最小值13