【创新设计】2011届高三数学一轮复习 空间中的垂直关系课件 北师大版.ppt

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1、7.4 7.4 空间中的垂直关系空间中的垂直关系1定义：定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直，记作：和这个平面互相垂直，记作：a.2直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面3直线与平面垂直的性质定理：直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行4二面角的概念：二面角的概念：平面内的一条直线把平

2、面分为两个部分，其中的每一部分叫平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l，两个面分别为两个面分别为，的二面角记为的二面角记为l；5二面角的平面角二面角的平面角一个平面垂直于二面角一个平面垂直于二面角l的棱的棱l，且与两半平面交线分别为且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂足，则为垂足，则AOB是是l的平面角的平面角 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；

3、相交成直二面角的两个平面叫做两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面互相垂直的平面7两平面垂直的判定定理：两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面互相垂直8两平面垂直的性质定理：两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面们的交线的直线垂直于另一个平面1对于任意的直线对于任意的直线l与平面与平面，在平面，在平面内必有直线内必有直线m，使，使m与与l()A平行平行 B相

4、交相交 C垂直垂直 D互为异面直线互为异面直线解析：解析：若直线若直线l，l，或，或l，虽然在，虽然在内必有直线内必有直线m，使，使ml；若；若l是平是平面的斜线可找出其射影面的斜线可找出其射影l，则存在直线，则存在直线ml，即，即ml.答案：答案：C2如图，平面如图，平面平面平面，A，B，AB与两平面与两平面、所成的角分所成的角分 别为别为 和和 .过过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，若，若AB 12，则，则AB等于等于() A4 B6 C8 D9 解析：解析：连结连结AB可知可知ABA ，则，则ABABcos 6 ，连结连结AB可知可知BAB ，则

5、，则BBABcos 6 ，在，在RtBBA中，中，AB 6.答案：答案：B3已知平面已知平面，l，P是空间一点，且是空间一点，且P到平面到平面、的距离分别是的距离分别是1、2，则点则点P到到l的距离为的距离为_解析：解析：如图，如图，PO平面平面PAB，lPO.PO就是就是P到直线到直线l的距离的距离，PAOB为矩形，为矩形， 4平行四边形的一个顶点平行四边形的一个顶点A在平面在平面内，其余顶点在内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个的同侧，已知其中有两个顶点到顶点到的距离分别为的距离分别为1和和2，那么剩下的一个顶点到平面，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：的距离可能是：1；2；3；4.以

6、上结论正确的为以上结论正确的为_(写出所有正确结论的编号写出所有正确结论的编号)答案：答案： 证线面垂直的方法：证线面垂直的方法：(1)利用线面垂直定义：证一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面利用线面垂直定义：证一直线垂直于平面内任一直线，则这条直线垂直于该平面(2)用线面垂直的判定定理：证一直线与平面内两相交直线都垂直，用线面垂直的判定定理：证一直线与平面内两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直则这条直线与平面垂直(3)用线面垂直的性质：两平行线之一垂直于这个平面，用线面垂直的性质：两平行线之一垂直于这个平面，则另一条也必垂直于这个平面则另一条也必垂直于这个平面(4)用面面垂直

7、的性质定理：用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面两平面垂直，在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面(5)用面面平行的性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面用面面平行的性质：一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面【例【例1】 如右图，在正方体如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，O为底面正方形为底面正方形 的中心的中心，M为棱为棱DD1的中点，试证的中点，试证：B1O平面平面MAC. 证明：证明：证法一：如图证法一：如图(1)，连结，连结AB1、CB1，由由AB1CB1，又，又O为为AC的中点，的中点， B1OAC.连结

8、连结OM、MB1、B1D1，可证可证 ，B1OOM. 根据直线与平面垂直的判定定理知：根据直线与平面垂直的判定定理知：B1O平面平面MAC. 证法二：如图证法二：如图(2)建立直角坐标系建立直角坐标系Dxyz，设，设DD11则则M、C、B1、O的坐标的坐标分别为分别为(0,0， )、(0,1,0)、(1,1,1)、( ， ，0) (0,1， )， ( ， ，1)， 0，因此，因此 .同理可同理可证：证： ，B1O平面平面MAC. 证法二：设证法二：设 根据已知条件根据已知条件 得得a(bc)0，即，即ADBC. 点评：点评：证法一非常典型地体现了三垂线定理和逆定理的应用；证法一非常典型地体现了

9、三垂线定理和逆定理的应用；而证法二利用向量将几何问题彻底代数化，此种方法也可证明而证法二利用向量将几何问题彻底代数化，此种方法也可证明三角形的三条高线交于一点三角形的三条高线交于一点. .1. 平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题解决平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题解决2利用平面与平面垂直的性质定理，可以有所选择地作出一个平面的垂利用平面与平面垂直的性质定理，可以有所选择地作出一个平面的垂线，进而可解决空间的成角和距离等问题，因此作平面的垂线也是立线，进而可解决空间的成角和距离等问题，因此作平面的垂线也是立体几何中最重要的辅助线之一体几何中最重要的辅助线之一【例【例

10、2】 如右如右图，图，l，A，B，点，点 A在直线在直线l上的射影为上的射影为A1，点，点B在在l上的射影为上的射影为B1.已已 知知AB2，AA11，BB1 ，求：，求： (1)直线直线AB分别与平面分别与平面、所成角的大小；所成角的大小； (2)二面角二面角A1ABB1的大小的大小解答：解答：如图如图，(1)连结连结A1B，AB1.，l，AA1l，AA1.A1B为为AB在在内的射影内的射影，ABA1为为AB与与所成的角所成的角，在在RtAA1B中中，AA11，AB2，ABA130.同理同理BAB1为为AB与与所成的角，在所成的角，在RtABB1中中，BB1 ，AB2，BAB145. (2)

11、由由知知BB1，则平面，则平面平面平面ABB1，作，作A1M平面平面ABB1垂足为垂足为M，作，作MNAB，垂足为，垂足为N，连结，连结A1N(如图如图)， 由三垂线定理知，由三垂线定理知，A1NAB，则，则A1NM为二面角为二面角A1ABB1的平面角，的平面角， 在在RtAA1B1中，中，A1M ， 在在RtAA1B中，中，A1N ， 在在RtA1NM中，中，sinA1NM ，A1NMarcsin ， 所求二面角所求二面角A1ABB1的大小为的大小为arcsin .变式变式2.如图所示如图所示，直二面角，直二面角DABE中，四边形中，四边形ABCD是边长为是边长为2的正方形，的正方形， AE

12、EB，F为为CE上的点，且上的点，且BF平面平面ACE. (1)求证求证AE平面平面BCE；(2)求二面角求二面角BACE的大小；的大小；(3)求点求点D到平面到平面ACE的距离的距离 解答：解答：(1)证明证明：在直二面角：在直二面角DABE中，由中，由ABCD是正方形，则是正方形，则CB平平 面面AEB，AEBC，又，又BF平面平面ACE，则，则AEBF，AE平面平面BCE. (2)由由(1)知平面知平面AEC平面平面BCE，又，又BF平面平面ACE，则，则BFEC，连结，连结BD与与AC交于交于O点，连结点，连结OF(如图如图)，由三垂线定理的逆定理知，由三垂线定理的逆定理知FOAC，又

13、，又ACBD，则，则BOF为二面角为二面角BACE的平面角，在的平面角，在RtAEB中，中，BE ，在，在RtEBC中，中，BC2，BF ，在，在RtBFO中，中，sinBOF ，BOFarcsin . (3)由由DOBO知知D点到平面点到平面ACE的距离为的距离为BF . 解决二面角问题的主要过程是作图、论证与计算，首先要找出二面角的平面解决二面角问题的主要过程是作图、论证与计算，首先要找出二面角的平面 角，作二面角的平面角方法主要有根据定义，利用三垂线定理和逆定理等角，作二面角的平面角方法主要有根据定义，利用三垂线定理和逆定理等【例【例3】 如右图所示，在三棱锥如右图所示，在三棱锥SABC

14、中，中，SA底面底面ABC，ABBC，DE垂直垂直 平分平分SC且分别交且分别交AC、SC于于D、E，又，又SAAB，SBBC. (1)求证：求证：BD平面平面SAC； (2)求二面角求二面角EBDC的大小的大小解答：解答：(1)证明证明：DESC且且E为为SC的中点，又的中点，又SBBC，BESC，根据直线与平面垂直的判定定理知：根据直线与平面垂直的判定定理知：SC平面平面BDE，SCBD，又，又SA平面平面ABC，SABD，因此，因此BD平面平面SAC. (2)由由(1)知知EDC为二面角为二面角EBDC的平面角，又的平面角，又SACDEC，EDCASC，在，在RtSAB中，中，A90，设

15、，设SAAB1，则，则SB . 由由SABC，ABBC，BC平面平面SAB，BCSB，在，在RtSBC中，中，SBBC ，SBC90，则，则SC2，在，在RtSAC中，中，A90，SA1，SC2，ASC60，即二面角，即二面角EBDC的大小为的大小为60.变式变式3.如图如图所示，在四面体所示，在四面体PABC中，已知中，已知PABC6，PCAB10， AC8，PB2 .F是线段是线段PB上一点，上一点，CF ，点，点E在线段在线段AB 上，且上，且EFPB. (1)证明：证明：BP平面平面CEF；(2)求二面角求二面角BCEF的大小的大小解答：解答：(1)证明证明：PA2AC2PC2，PA2

16、AB2PB2，PC2CB2PB2，AC2CB2AB2.PACPABPCBACB90，又，又 ，PCBPFC.则则PFC90，又，又EFPB，因此，因此PB平面平面CEF. (2)由由(1)PA平面平面ABC，则，则PAEC，又，又PB平面平面CEF，CEPB 则则CE平面平面PAB，因此，因此CEEF，CEEB，则，则FEB为二面角为二面角BCEF的的平面角，在平面角，在ABP中，中，tanFEBtanAPB ，FEBarctan . 即二面角即二面角BCEF的大小为的大小为arctan .【方法规律】【方法规律】1(1)在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定在解决直

17、线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化(2)利用向量的内积证明线线垂直是非常有效的利用向量的内积证明线线垂直是非常有效的2(1)对于二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算，同对于二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算，同时要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的时要注意二面角平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的(2)二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截

18、二二面角平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截二面角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也可面角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也可首先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面首先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角的平面角，对于这种方法应引起足够的重视角的平面角，对于这种方法应引起足够的重视(3)对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几何中最重要的辅助线之一

19、，而平面与平面垂直的性质定理也是最重垂线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最重要的作图理论依据要的作图理论依据. (本题满分本题满分5分分)已知平面已知平面与与所成的二面角为所成的二面角为80，P为为、外一定点外一定点，过点过点P的的一条直线与一条直线与、所成的角都是所成的角都是30，则这样的直线有且仅有则这样的直线有且仅有() A1条条 B2条条 C3条条 D4条条解析：解析：如图如图，过，过P分别作分别作、的垂线的垂线PC、PD，其确定的平，其确定的平面与棱面与棱l交于交于Q，若二面角为，若二面角为80，AB与平面与平面、成成30角，角，则则CPD100，AB与

20、与PD、PC成成60角，因此问题转角，因此问题转化为过化为过P点与直线点与直线PD、PC所成的角为所成的角为60的直线有几的直线有几条条 60， 60，这样的直线有这样的直线有4条条答案：答案：D 【答题模板】【答题模板】面面垂直的性质定理是立体几何中作辅助线面面垂直的性质定理是立体几何中作辅助线(平面的垂线平面的垂线)最重要的理论依据之最重要的理论依据之一对二面角及平面与平面垂直的考查是高考的重点和热点求直线与平面所成一对二面角及平面与平面垂直的考查是高考的重点和热点求直线与平面所成的角以及二面角的大小，可用几何法，也可利用向量法的角以及二面角的大小，可用几何法，也可利用向量法(比如利用平面的法向比如利用平面的法向量量)本题考查直线与平面成角问题，可利用平面的法线，将线面位置关系问题转化为本题考查直线与平面成角问题，可利用平面的法线，将线面位置关系问题转化为线线位置关系实质上是已知直线线线位置关系实质上是已知直线a，b相交于点相交于点O，两相交直线的夹角为，两相交直线的夹角为100(或或80)，过，过O点作与点作与a、b夹角为夹角为60的直线有几条？转化思想是解决数学的直线有几条？转化思想是解决数学问题非常重要的思想方法，否则直接求解，难度更大问题非常重要的思想方法，否则直接求解，难度更大. 【分析点评】【分析点评】 点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册