q-Kampé de Fériet函数的简化和求和公式.doc

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1、第 20 卷 第 1 期 大 连 民 族 大 学 学 报 Vol 20， No 1 2018 年 1 月 Journal of Dalian Minzu University January 2018 文章编号 ： 2096 1383（ 2018） 01 0044 04 q Kamp de Friet 函 数 的 简 化 和 求 和 公 式 （ 刘红梅 ，秦艳杰 ， 116650） 大连民族大学 理学院 辽宁 大连 摘 要： 利用著名的 Jackson 变换和 Heine 变换公式建立了几个一般形式的双变 量 q 级数变换公式。经 ， Kamp de Friet 。 过参数特殊化推导出 一系列

2、关于 q 关键词： q Kamp de Friet 函数 变换公式； 中图分类号： 0157 1 文献标志码： A ； 求和公式 函数的简化与求和公式 DOI:10.13744/21-1431/g4.2018.01.011 eduction and Summation Formulae for q Kamp de Friet Functions LIU Hong mei ， QIN Yan jie （ School of Science， Dalian Minzu University， Dalian Liaoning 116650， China） Abstract： Jackson s an

3、d Heines transformations are utilized to establish several general bivariate q series transformation formulae Some reduction and summation formulae for q Kamp de Friet functions are derived from parameters specialization Key words： q Kamp de Friet functions； transformation formula； summation formula

4、 1 预 备 1 （ 1 m+n （ a1， ，ar；q） m（ c1， ，cs； q） n q i m 2 +j n 2 +kmn x y 。 对 | q | 1 ，基本超几何级数定义为 m， n =0 （ 1， ，； q） m+n（ b1， ，bu； q） m（ d1， ，dv； q） n （ q； q） m（ q； q） n r + 1 s a0 ， a1 ， ， a r q； z = 式中 ： | x | 1； | y | 1； | q | 1； i，j， k 瓔 0 。 b1 ， ， b s 当 = = r = s = 1， u = v = 0 时 ， （ 1） n q n 2 s

5、r （ a0 ， a1 ， ，ar ； q） n z n 。 1： 0； 0 a： b； c； q： x， y = n =0 （ q， b1 ， ，bs ； q） n d： ； ； 0， 0， 0 m n 式中： b j q n （ j = 1， 2， ， s） ，（ x1 ， x 2， ， xr ； q） n = a；b， c； d； x， y= （ a； q） m+n （ b； q） m （ c； q） n x y 。 （ x1 ； q） n （ x2 ； q） n （ xr ； q） n 为升阶乘乘积，其中的 （ 1 ） m， n =0 （ q； q） m （ q； q） n （ d；

6、q） m+n 因子为升阶乘 ，定义为 式中 ： 为相对常见的第 一类 283 232 q Appell 函数 （ x： q） = 1 ，（ x； q） = n1 （ 1 q x） ，（ n = 1，2， ） 。 见文献 1 和 3 。 0 n k =0 近来，关于双变量 q 级数以及 q Kamp de Friet函数的变换 与求和问 题得到了 广泛关 注。 q Kamp de Friet 函数是 Kamp de Friet 例如 ，在已有的经典变换与求和公式基础上 ，文献 函数的 q 模 拟，是双 变量 基本超 几何 级数，在 1985 年由 Srivastava 和 Karlsson 给出

7、定义 4 7建立了很多双重 q 级数恒等式以及 q ， ， ； q） m n 1： 1； 1 （ 1） k 2 ： r； s 1， ， ： a1 ， ， ar ； c1， ， cs ； q： x， y = Kamp de Friet 函数的简化公式。最近，利用文 ： u； v b1 ， ， bu ； d1 ， ， dv； i， j， k 献 8中 两个 Euler 变 换建 立 了一 系列 形式 为 1： 0； 1 ： 0； 1： 0； 化公式。本文利用 Jackson 和 Heine 变换，推导出 收稿日期 ： 2017 09 26； ： 最后修回日期 ： 2017 11 15 （ 1150

8、1081） ； （ DC20150205- 基金项目 国家自然科学基金青年基金 项目 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目 0405） ； 大连民族大学大创省级项目（ 201712026126） 。 作者简介： 刘红梅（ 1979 ） ，女，山东栖霞人，副教授，博士，主要从事组合数学、特殊函数研究。 ， ， ： 1： 1； 0 ： 2； 2： 0； F ， F F Kamp de Friet 第 1 期 刘红梅 等， ： q Kamp de Friet 函数的简化和求和公式 45 文献 8中给出公式的 q 模拟，其中之一为文献 9中公式的 q 模拟。 （ 若在定 理 1 中，令 x ； q）

9、 m = z， y = z， （ m） = 2 基于 Jackson 变换的简化公式 （ ； q） m ，运用 q chu Vandermonde 公式（ 见文 1 （ 1 5 3） ） 2 1 Jackson 变换公式为 c 2 2 a， c ， c / b az q； bz 。 献 2 中公式 1 （ 3） b c q； q ， 得 = （ c / b； q） （ c； q） n n b ， （ 8） （ 6） ， （ 1） 计算式 的内和 经过化简立即可得公式 定理 1 （ m） 为任意复数序列 ，假设下列 这个公式正好是文献 9中公 式（ 2 2） 的 q 模 拟。 级数都绝对收敛，有

10、变换公式 （ m） ； q） n x m y n 3 基 于 Heine 变换的简化和求和公式 m， n =0 （ ； q） m+n （ q； q） m （ q； q） n 在这一节中，通过应用 Heine 的三 个变换公 = （ y； q） （ ； q） n （ /； q） n （ 1） n q n 2 （ y） n （ 2） （m） 式，又建立了三个一般的双重 q 级数变换和一 些简化公式。 首先，将定理 1 证明中的 Jackson 公式（ 1） 替 n （ y； q） n=0 m （ ； q） n （ y； q） n （ q； q） n m =0 换为 Heine 变换公式 （ 见 文

11、献 1中 公式 （ 1 4 （ q ； q） m （ qx/y） 。 （3） 1） ，也可见文献 10中公式（ E3 1a） ） （ q； q） m a， b （ b， az； q） c / b z 证明 利用式（ 1） ，计算式（ 2） （ ； q） （ / ； q） x m 2 1 c q； z = （ c， z； q） 2 1 az q； b ， 式（ 2） = m =0 （ m） （ m ； q） m（ q； q） m m m m 2 1 q ， m q m q； y 得到级数变换公式定理3。 定理 2 对于任意 复数序列 m ，假设级数 = （m） （ ； q） m（ / ； q）

12、mx （ q y； q） 2 q ， m q / m q； y m=0 （ ； q） m（ q； q） m （ y； q） 2 m q ， n q y n n 都绝对收敛，则 / ； q n y； q n n = （ y； q） （ m） （ ； q） m+n （ /； q） m+n x （ y） （ 1） q 2 。 式 2 = ， y； q n=0 y； q n q； q n （ y； q） m， n=0 （ ； q） m+n （ y； q） m+n （ q； q） m（ q； q） n （4） ； q m q n ； q m qx m m 。 （ 9） 在式（ 4） 中，令 m + n

13、= N ，化简，可推导出式（ 3） 。 m= 0 q；q m q 1 n y ； q m y 推论 1 假 设 下 列 级 数都 绝 对 收 敛，有 关 推论 2 假设级数都绝对收敛，有 求和与简 q KampdeFriet ： ； ； （ y； q） ， / 函数的简化公式成立。 0， 0， 0 ， y /x = 化公式 1： 0； 0 ： ： / ； ； ； ； q： y，y 0， 0，0 = （ az； q） = n q ， n （ ； q） （ / ； q） （ m+n m n m m n ： /； ； 1： 1； 1 （ y； q） 2 ， y q；x ； （ 5） 1 ； / ，；

14、 ； y，y = y； q ， （ 10） 3 1： 2； 1 ： / ， ； ； q： z， z y；q 1： 1； 0 ： ； ； 0， 0， 0 = 1：1； 0 ： /， ； ； q： y，y = （ z； q） 3 ， / ， / q； z 。 （ 6） ： y； ， ； y 0， 0， 0 （ z； q） 3 ， ， 1 z ， （ m） = 1， ， y； q 2 1 q； ， （ 11） 证明 在 定 理 中 令 由 y q 二项式定理（ 见文献 1中公式（ 1 3 2） ） 得 1： 2； 0 ： / ， q 1 2 1 2 ，y 1 2 1 2 ； q： y，y = （ 3

15、） （ z； q） ： ， qy ； 1 ； 0， 0， 0 1 1 可得计算式 的内部求和公式为 n ， y； q 3 2 ， / ， y 2 ， q 2 y 2 q； ， （ 1） n q 2 （ y/ x； q） n （ x / y） n 。 ， y； q q y 2 ， 2 y 2 经过化简可以 得到简化公式（5） 。 （ 12） 1： 2； 1 （ az； q） = ， （ 7） 1： 3； 1 ， 1 1 1 46 大 连 民 族 大 学 学 报 第 20 卷 1： 2；0 ： /， q 1 2 ， /q 1 1 2 ； ； q： 1 2 ， 1 2 = w/ qa， a 2 1

16、2 ， q a / w； q n ， （15） ： 2 ， ； ； 0， 0， 0 w， a ， qa / w； q n ， 2 ； q / ， /q， q / q； 。 （ 13） 计算式（ 9） 的内部和式，得到了式（ 13） 。 （ 10） ， 1 2 3 2 ， q / 式 等号右边的式子与参数 和 无关 ， ； q y m 这个求和公式可以在式（ 5 ） 中直接令 x 。 = y 获 证明 令定理 2 中 m = x ，并将 q 得 其次，运用 Heine 的 q 欧拉变换 （ 见文献 Chu Vandermonde 公式（ 8） 应用于式（ 9） 中的内 1 （ 1 4 3） 1

17、（ E3 1c） ） 和，得到 ； q m+n /； q m ； q n y m y n = 得 中公式 a， b 或文献 中公式 c /a， c/b m， n =0 ； q m+n n q； q m q； q n 2 1 c q； z = z； q 2 1 c q； abz /c ， ， y； q /； q n y； q n q 1 n 1 n /y； q n n = （16） ， y； q n =0 y； q n q； q n q /y； q n 有如下双重 q 级数变换公式。 ， y； q /； q n = y； q 。 定理 3 对于任意复数序列 m ，设级数都 ， y； q n =0

18、 q； q n q y； q （ 7） ， 绝对收敛 ，有 最后一个等式是来自 和公式（ 10） 得证。 二项式公式 求 m / ； q m / ； q ； q m ； q n ； q n 定理 2 中令 m ； q y m ， m， n =0 x y m n m+n （ 17） y； q m x y/ ； q / ； q n / ； q n y n n 并通过 q Pfaff Saalschtz 求和定理 （ 见文献 1 = y；q n = 0 ； q n q； q n m =0 中公式（ 1 7 2） ） 得 q / y； q q n ； q x m 3 2 q n ， a， b q； q

19、 = c /a， c / b； q n ， m q； q m m 。 （ 18） c， q 1 n ab / c c， c / ab； q n m （17） ， 对式 ， （ 7） 中内部的和式进行计算 （ 11） 。 ，然后进行一些化 证明 重新计算式 / ； q m / ； q m 简 得到简化公式 在定理 2 中令 m 式 （ 17 ） = m= 0 m ； q m （ m） = （ q 1 2 1 2 ，y 1 2 1 2 ； q） m y x m ， x q；q m 2 1 ， q m q； y ， （ ， qy ； q） m 运用公式（ 16） ，并经过一些化简，可得式（ 18）

20、。 1： 3； 1 1 2 1 2 n = m m n 然后利用求和公式（ 见文献 1中例 2 14） n 推论 3 设级数都绝对收敛 ，有简化公式 4 3 a， q a 1 2 2 ， b， q 1 n 2 q； q = 1： 1； 0 ： ： / ， / ； q / y； ， ； ； q： x，y 0， 0，0 2 a ， 1 2 qa / b， q b = y / ； q / ， / ， q / x q； xy ， a / b ， 1 / b， q a 1 / b ， qa / b， a 2 / b； q / b； q n n ， （ 14） y； q 3 1 q 计算式（ 9） （ 1

21、2） 。 中内部和式 ， 2 ，推导出另一个 简化公式 1： 1； 0 ： / ， / ； ， ； q： q，y （ 19） 另外 q 在定理 2 ， / q 中令 2 ； q m 1 ： ； ； 0， 0， 0 m = 1 2 m y x ， y = 2 ， = y / ； q y； q 3 2 / ， / ， y / q q； q 。 （ ， ； q 1 m （ 3 10 9） ） ， 并用公式 见文献 1 2 中公式 1 2 n 1 （ 20） 4 3 a， q a a2 ， ， w /q a w， ， q q a 1 2 q； q = 证明 q 在定理 3 中，令 （ 7） m = q

22、/y； q （ 18） m ， 并通过 二项式定理式 计算出式 内部 的和式，得到简化公式（ 19） 。 1 0： 2； 2 1 0： 2； 2 1 1 1 1 n 第 1 期 刘红梅 等， ： q Kamp de Friet 函数的简化和求和公式 47 若在定理 3 中令 m = 1 ；q m ， x = q，并 （ 23） 的内部求和， 2 1 q；q = y/ ； q n ， 通过 q Chu Vandermonde 公式 （ 8） 计算式 （ 18） q 1 n / y y / ； q n 内部和式，得到了简化公式（ 20） 。 最后，给出第三个 Heine 变换（ 见文献 10中 公

23、式（ e3 1b） ） ， 然后经过一些化简，得到简化 公式 在定理 4 中令 （ 24）。 m a， b q； z = c/ b， bz ； q ab z /c， b q； c /b 。 m = ， q 1 ， / y 1 ； q m y ， 2 1 c c， z； q 2 1 bz 2 2 ， q y / 2 ； q m x 类似于定理 2 和定理 3 的证明 ，通过 （ 21） Heine 变 m = / y ， q / y， y/ q； q m m y x m ， （ 21） ， 。 在式（ 23） 中分别利用式（ 14） 和（ 15） ，可以得到另 换式 定理4 得到了第三个变换公式

24、 对于任意复数序列 m ，设级数都 外两个简化公式（ 25） 和（ 26） 。 绝对收敛 ，有 ； q m+n ； q n x m y n 参考文献 ： m， n = 0 m ；q m+n q； q m q； q n （ 22） 1 GASPE G， AHMAN M Basic Hypergeometric Series / ， y； q ； q y/ ； q n M second ed ， Cambridge： Cambridge Univ Press， = n n =0 m n y； q n q； q n n / n m =0 2004 2S IVASTAVA H M， KA LSSON

25、P W Multiple Gaussi- q ； q m 1 n qx/ y m 。 （ 23） an Hypergeometric Series M New York： Halsted q； q m q /y； q 4 m ， Press， 1985 推论 ： ； 设级数都绝对收敛 ； q： y， y 有 3 SLATE L J Generalized Hypergeometric Functions 1：0； 0 ： ； ； 0， 0，0 = 1 ； ， ； ； y， y M Cambridge： Cambridge Univ Press， 1966 = / ， y； q ， y； q 2

26、 1 ， y / q； ， （ 24） 4 JIA C Z， WANG T M Transformation and reduction for- 1： 1； J Math Anal Appl ， 2007， 328： 609 624 1： 2； 0 ： ， q 2 1 2 / y 1 2 ； y ； q： y，y 5 JIA C Z， WANG T M eduction and transformation for- mulae for bivariate basic hypergeometric series J J Math Anal Appl ， 2007， 328： 1152 116

27、0 ： ， q y / 2 ； ； 0， 0， 0 6 CHU W C， JIA C Z Transformation and reduction for- = / ， y； q mulae for double q Clausen hypergeometric series J ， y； q n q ， 1 2 1： 1； 1 1： 2； mulae for double q Clausen series of type J 1： 3； 1 1 1 1 2 1 2 Math Methods Appl Sci ，2008，31： 1 17 4 3 ， y /， y/ ， 1 q y / 1 7

28、 JIA C Z， ZHANG X D Transformation and reduction 2：0； ， y， q y/ 2 ， y / 2 （25） formulae for double q series of type 2： 1； Math J 2010， 52： 195 204 J Glasg 1： 3； 1 ： ： /y 2 ， q /y， y /q； ； q： y， y 8 LIU H M， WANG W P Transformation and summation 1： 2； 0 ： ： / y， ； ； 0， 0，0 formulae for Kamp de Friet

29、series J nal Appl ， 2014， 409： 100 110 J Math A- / ， y； q = ， y； q 2 2 2 2 9 CVIJOVICD ， MILLE A A reduction formula for the Kamp de Friet function J Appl Math Lett ， 2010， 23： 769 771 4 3 ， y /q ， /y， q / y q； ， 10 CHU W C ， CLAUDIO L D Classical Partition Identi- y， ， q 2 / y 2 y （ 26） m ties and Basic Hypergeometric Series M Lecce Ital- ia： Universit di Lecce， 2004 （ ） 证明 在定理 4 中令 m = ； q m x ，然 责任编辑 王楠楠 后再用 q Chu Vandermonde 公式 （ 8） ，计算式 q； / ，