高二数学上 第七章 直线和圆的方程 ： 7.5曲线的方程(二)课件.ppt

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1、一、复习回顾一、复习回顾曲线的方程和方程的曲线的概念：曲线的方程和方程的曲线的概念： 在直角坐标系中，如果某曲线在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一上的点与一个二元方程个二元方程 f(x,y)=0的实数解满足下列关系：的实数解满足下列关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上. 这个方程叫做这个方程叫做曲线的方程；曲线的方程；这个曲线叫做这个曲线叫做 方程的曲线方程的曲线.满足某种条件的点的集合或轨迹满足某种条件的点的集合或轨迹. 借助坐标系研究几何图形的方法借助坐标系研究几

2、何图形的方法.解析几何解析几何 根据已知条件，求出表示平面曲根据已知条件，求出表示平面曲线的方程线的方程通过方程，研究平面曲线的性质通过方程，研究平面曲线的性质曲线曲线坐标法坐标法二、导入二、导入(x,y)f(x,y)=0二、例题分析二、例题分析例、设、两点的坐标是例、设、两点的坐标是 (-1, -1)、(3,7),求线求线 段的垂直平分线方程段的垂直平分线方程 .0 xyABM解：解：设设M M（x,yx,y）是）是 线段线段ABAB的垂直平分的垂直平分线上任意一点，也就是点线上任意一点，也就是点M M属于集合属于集合P=M|MA|=|MB|P=M|MA|=|MB|由由两点间距离公式两点间距

3、离公式，点，点M M所适合的条件所适合的条件可表示为：可表示为：将上式两边平方，整理得将上式两边平方，整理得 x+2y-7=0 , （1）证明：证明：方程（方程（1）是线段）是线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程1、由求解过程知由求解过程知，垂直平分线，垂直平分线上点的坐标都是方程的解上点的坐标都是方程的解.2、设设(x1,y1)是方程是方程（1）的解，的解， x1+2y1-7=0 ，x1=7-2y1点点M到到A、B的距离分别是的距离分别是|MA,|MB|;易知易知|MA|=|MB|，即，即M在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上由由(1)(2)(1)(2)知方程（知方程（1 1

4、）是线段）是线段ABAB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. .2222)7() 3() 1() 1(yxyx例例2 2、点、点M M与两条互相垂直的直线的距离的积是常与两条互相垂直的直线的距离的积是常数数 k (k0)k (k0)，求点，求点M M轨迹方程轨迹方程. .解：解：以已知的两条垂直直线为坐标系，以已知的两条垂直直线为坐标系，建建立直角坐标立直角坐标系系. .设点设点M(x,y)M(x,y)是满足题设条件的轨迹上的任意一点，则是满足题设条件的轨迹上的任意一点，则P= M/ |MR| |MQ|=k ,P= M/ |MR| |MQ|=k ,其中其中Q,RQ,R分别是点分别是点M M到

5、到x x轴，轴，y y轴的垂线的垂足轴的垂线的垂足 所以所以 |x|y|=k|x|y|=k, ,即即 xy=xy=k.k.证明证明:(1) :(1) 由求解过程知，曲线上点的坐标都是方程的解由求解过程知，曲线上点的坐标都是方程的解. .(2)(2)设设(x(x1 1,y,y1 1) )是方程是方程xy=xy=k k的解，则的解，则x x1 1y y1 1= =k k 即即 |x|x1 1|y|y1 1|=k|=k而而|x|x1 1|,|y|,|y1 1| |是点是点M M到到y y轴，轴，x x轴的距离，轴的距离，所以所以 M(xM(x1 1,y,y1 1) ) 到这两条直线的距离之积是常数到

6、这两条直线的距离之积是常数k, k, 即以方程的解为坐标的点在曲线上即以方程的解为坐标的点在曲线上. . 由由(1)(2)(1)(2)知方程知方程xy=xy=k k 是所求轨迹方程是所求轨迹方程. .xyMRQ小结小结求曲线方程的一般步骤：求曲线方程的一般步骤：1. 建系设标建系设标：建立适当的坐标系，用建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲表示曲 线上任意一点线上任意一点;. 几何列式几何列式：写出满足条件的点的集合写出满足条件的点的集合P=/p (M) ;. 坐标代换坐标代换：将点坐标（将点坐标（x,y）代入）代入几何条件，列出方程几何条件，列出方程 f (x,y) =0;4. 化简化

7、简：化方程为最简形式；化方程为最简形式；. 证明证明：验证化简过的方程所表示的曲线是否是验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹已知点的轨迹例例3 3 已知一条曲线在已知一条曲线在 x x轴的上方，它上面的轴的上方，它上面的每一点到点每一点到点 A(0A(0，2)2)的距离减去它到的距离减去它到x x轴的距离轴的距离的差都是的差都是 2 2，求这条曲线的方程，求这条曲线的方程. .M0yxAB解：解：设设M M（x,yx,y）是）是 曲线上任意一点，曲线上任意一点，也就是点也就是点M M属于集合属于集合P=M|MA|-|MB|=2P=M|MA|-|MB|=2由由距离公式距离公式，点，点M

8、 M所适合的条件可表示为：所适合的条件可表示为：22(2)2,xyy移项，在两边平方，得：移项，在两边平方，得：222(2)(2) ,xyy化简得：化简得：21(0 ).8yxx练习练习 求到坐标原点的距离等于求到坐标原点的距离等于2 2的点的轨迹方程的点的轨迹方程. . 已知点已知点M M到到x x轴的距离和到点轴的距离和到点F(0,4)F(0,4)的距离相的距离相等，求点等，求点F F的轨迹方程的轨迹方程. .(3)(3)已知两点已知两点A(2,0),B(-2,0),PA(2,0),B(-2,0),P到到A A的距离是它的距离是它到到B B的距离的的距离的2 2倍，求点倍，求点M M的轨迹方程的轨迹方程. . 作业作业 习题习题7.5第第3、4、5、6题题