解析几何中若干经典结论及其应用.doc

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1、解析几何中若干经典结论及其应用结论部分 一、定点类结论结论1 设AB是圆锥曲线C的弦，点A关于x轴的对称点（点，B不重合），且AB过点P（t，0）（1）若曲线C为椭圆，则直线B过定点Q；（2）若曲线C为双曲线，则直线B过定点Q；（3）若曲线C为抛物线，则直线B过定点Q结论2 过圆锥曲线上的一个定点任作两条互相垂直的弦MP，MQ，若曲线为非等轴双曲线，则直线PQ必过定点；若曲线为等轴双曲线，则直线PQ斜率为定值 （1）若M在椭圆上，则PQ过定点； （2）若M在双曲线上，当时，PQ过定点；当时，PQ的斜率为； （3）若M在抛物线上，则PQ过定点结论3 A，B是抛物线上异于顶点的两动点，点为抛物线上

2、一定点，过M作两条弦MA，MB （1）若（非零常数），则直线AB过定点；（2）若（非零常数），则直线AB过定点；（3）若直线MA，MB的倾斜角分别为，且为定值，当变化时，直线AB过定点一般结论：A，B是圆锥曲线上两动点，点为其上一定点，MA，MB的倾斜角分别为，则以下条件均可得出直线AB过定点： （非零常数）； （非零常数）；为定值； 为常数结论4 已知点P为圆锥曲线上一点，若曲线在点P处的切线交准线于点A，则以线段PA为直径的圆恒过与该准线对应的焦点 结论5 已知曲线的左顶点为A，过右焦点F的直线交曲线于点B，C，直线AB，AC分别交右准线于点M，N，则以MN为直径的圆必过F 注：在抛物线中

3、，将抛物线的一个顶点看作在无穷远处，有类似结论成立结论6 已知AB是过圆锥曲线的焦点F的弦，E是与焦点F相对应的准线l和圆锥曲线对称轴的交点，点C在l上，则直线AC过线段EF的中点的充要条件是BCEF推论1 若F是圆锥曲线的焦点，E是与F相对应的准线l和圆锥曲线对称轴的交点，AB是过焦点F的弦，FEBC，N是线段EF的中点，则BC与AN的交点C在准线l上推论2 若F是圆锥曲线的焦点，E是与F相对应的准线l和圆锥曲线对称轴的交点，点B在圆锥曲线上，点C在准线l上，FEBC，N是线段EF的中点，则直线BF与CN的交点A恰在圆锥曲线上结论7 已知椭圆，过椭圆内x轴上一点（m，0）任作两条相互垂直的弦

4、AB，CD，设M，N分别为AB，CD的中点，则直线MN必过定点二、定值类结论21 与有关的结论结论8 （1）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P是椭圆上异于M，N的一点，若直线PM，PN均存在斜率，则；（2）已知M，N是双曲线上关于原点对称的两动点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线PM，PN均存在斜率，则结论9 （1）已知M，N是椭圆上的两动点，P是线段MN的中点，O为坐标原点，若直线OP，MN均存在斜率，则；（2）已知M，N是双曲线上的两动点，P是线段MN的中点，O为坐标原点，若直线OP，MN均存在斜率，则结论10 已知是椭圆上的两动点，OMN的面积为S，点M，N均不在坐标轴上，O

5、为坐标原点，则以下五个命题等价：； ； ； ；若P为椭圆上一点，且，则 结论11 已知圆锥曲线上一定点P（x0，y0），过P作倾斜角互补的两条直线PM，PN分别与交于异于P的两点M，N，则直线MN的倾斜角为定值注：若曲线为椭圆，则，即；若曲线为双曲线，则，即；若曲线为抛物线，则 该命题的逆命题也成立证明：当点P在曲线的对称轴上时，直线MN的倾斜角为0或90，结论显然成立； 当点P不在曲线的对称轴上时，直线PM，PN，MN的斜率均存在且都不为零， 此时条件可设为，设， 则 由两边同时除以，得 ，同理 ，+，得 ，-，得 ，又，所以代入，得，两式相除，得（定值）所以当时，；当时，；当时， 22 与

6、a2有关的结论结论12 已知曲线E：的左右顶点为，点不在曲线E上，QA，QB分别交E于C，D，直线CD交x轴于点P，则有 注：曲线E可以表示焦点在x轴或y轴上的椭圆，也可表示双曲线，结论一致结论13（1）已知A，B为椭圆上两动点且关于x轴对称，P为x轴上一定点，连结PA交椭圆于点M，则BM恒过定点Q，且有； （2）已知A，B为双曲线上两动点且关于x轴对称，P为x轴上一定点，连结PA交双曲线于点M，则BM恒过定点Q，且有； （3）已知A，B为抛物线上两动点且关于x轴对称，P（a，0）为一定点，连结PA交抛物线于点M，则BM恒过定点Q，且有结论14（1）设A，B是椭圆长轴上分别位于椭圆内（异于原点

7、），外部的两点，若过A点引直线（直线不与坐标轴垂直）与椭圆相交于P，Q两点，且，则点A，B的横坐标满足；（2）设A，B是双曲线实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域），外部的两点，若过A点引直线（直线不与坐标轴垂直）与双曲线的这一支相交于P，Q两点，且，则点A，B的横坐标满足.23 焦半径公式结论15 （1）已知椭圆中，弦AB过左焦点F，且倾斜角为，点A在x轴上方，则， （2）已知双曲线中，弦AB过左焦点F，且倾斜角为，点A在x轴上方，则，（3）已知抛物线中，弦AB过焦点F，且倾斜角为，点A在x轴上方，则， 注：在（1）（2）中易得，若左焦点改为右焦点，其他条件不变，则，结论16（1）设直线

8、l过椭圆的一个焦点F，且与椭圆相交于P，Q两点，若，则（）.（2）设直线l过双曲线的一个焦点F，且与双曲线的同一支相交于P，Q两点，若，则.（3）设直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于P，Q两点，若，则. 注：以上结论利用结论15极易获证 结论17 在圆锥曲线中，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R，则 24 与垂直有关的结论结论18 （1）已知O为原点，P，Q为椭圆上两点且OPOQ，则，O到PQ的距离为 （2）已知O为原点，P，Q为双曲线上两点且OPOQ，则， O到PQ的距离为结论19 已知O为原点，P，Q为抛物线上两点且OPOQ，则.结论20 （1

9、）若AB，CD是过椭圆焦点的弦，且ABCD，则；（2）若AB，CD是过双曲线焦点的弦，且ABCD，则；（3）若AB，CD是过抛物线焦点的弦，且ABCD，则 注：其中e为圆锥曲线的离心率，p为焦点到相应准线的距离三、定轨类结论结论21 已知是椭圆上的两动点，O为坐标原点，则与以下命题等价：线段MN中点的轨迹方程为；若动点P满足，则P点的轨迹方程为注：命题与结论10中六个命题均等价 结论22 设定点不在圆锥曲线上，过Q作直线交曲线于M，N两点，P为动直线MN上异于Q的另一点，且满足，则P点的轨迹是直线或其局部证明：设，则，不妨设Q在圆锥曲线外部，令，则所以 此时P点的轨迹是直线在曲线内的部分同理易

10、证得，当点Q在曲线内部时，P点轨迹为直线本身结论23 过椭圆外一点P向椭圆作两条切线PA，PB，若PAPB，则点P的轨迹方程为（蒙日圆） 注：在双曲线中，点P的轨迹方程为结论24 过抛物线外一点P向抛物线作两条切线PA，PB，若PAPB，则点P的轨迹为抛物线的准线结论25 （1）已知长轴为A1A2的椭圆上有一动点P（不与A1，A2重合），直线PA1，PA2分别与右准线l交于点M，N，右焦点为F，则；（2）已知长轴为A1A2的双曲线上有一动点P（不与A1，A2重合），直线PA1，PA2分别与右准线l交于点M，N，右焦点为F，则；（3）已知抛物线上有一动点P（不与顶点O重合），直线PO与准线l交于

11、点M，P向准线作垂线，垂足为N，右焦点为F，则四、极点与极线极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现极点与极线定义：已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换(另一变量也是如此)即可得到点极线方程极点与极线作法：PEFGHMANB图1如图，P是不在圆锥曲线上的点，过P点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F，G，H，连接EH，FG交于N，连接EG，FH交于M，则直线MN为点P对应的极线若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线由图1可知，同理PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线MNP称为自极三点形若连接MN

12、交圆锥曲线于点A，B，则PA，PB恰为圆锥曲线的两条切线事实上，图1也给出了两切线交点P对应的极线的一种作法结论26（1）当P在圆锥曲线上时，则极线是曲线在P点处的切线；（2）当P在外时，则极线是曲线从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；（3）当P在内时，则极线是曲线过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹证明：（1）由极点极线的定义，对于曲线的方程，两边求导得，解得，于是曲线在P点处的切线斜率为，故切线的方程为，化简得（*），又点P在曲线上，故有，从中解出，然后代入（*）式，可得曲线在点P处的切线为PMN图2（2）设过点P所作的两条切线的切点分别为，则由（1）知，在点M，N处

13、的切线方程分别为和，又点P在切线上，所以有，和，观察这两个式子，易知点都在上，又两点确定一条直线，故切点弦MN所在的直线方程为Q(m,n)TS图3P(x0,y0).（3）设曲线过的弦的两端点分别为，则由（1）知，曲线在这两点处的切线方程分别为和，设两切线的交点为，则有，易发现均在直线上，又两点确定一条直线，所以直线ST的方程为，又直线ST过点，所以，因而点在直线上，所以两切线的交点的轨迹方程是结论27 若圆锥曲线中有一些极线共点于点P，则这些极线相应的极点共线于点P相应的极线，反之亦然PABP点P的极线点P的极线图4（1）图4（2）即极点与极线具有对偶性如图4（1）（2）所示结论28设AB，C

14、D是圆锥曲线过焦点F的两动弦，弦端点连线AC，BD交于点M，则动点M的轨迹是圆锥曲线的相应准线注：直线AD，BC交点的轨迹也是圆锥曲线的准线当焦点弦AB，CD重合时，直线AC，BD退化为圆锥曲线的两条切线推 论 设AB是圆锥曲线的动焦点弦，过弦端点A，B分别作圆锥曲线的切线，则两切线交点的轨迹是圆锥曲线的准线第一讲 解析几何经典结论选证例1 设AB是椭圆的弦，点A关于x轴的对称点（点，B不重合），且AB过点P（t，0），求证：直线B过定点Q分析：欲证明直线B过定点，可设出直线B的方程：，接下来的目标为根据条件寻找k，m的关系式条件AB过点P（t，0），可转化为，从而有，消去y1，y2得，以下进

15、入设而不求的套路证明：设，则设直线B：，将其代入消去y并整理，得，BQOxyPA则，因为直线AB过点P（t，0），所以，所以，消去y1，y2得，即，化简得，所以，所以直线B：，所以直线B过定点Q点评：本结论也可通过设，得从而直线AB的方程为：，所以点P的坐标为（，0），同理求出Q点坐标，以下通过消去x1，x2，容易证出PQ的横坐标乘积为a2，获证例2 过抛物线上的一个定点任作两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：直线PQ必过定点 分析：先设出，将弦MP，MQ互相垂直转化为，将其表示成的关系，代入直线PQ的方程化简即可获证证明：设，因为，POxyMQ所以，即，所以（*）， 直线PQ的方程是，由（*）

16、式，又， 代入上式化简得，显然直线PQ必过定点 注：也可设直线PQ的方程是，代入抛物线方程消去x，由韦达定理，可求出代入（*）式，化简可得，从而获证例3 已知AB是过圆锥曲线的焦点F的弦，E是与焦点F相对应的准线l和圆锥曲线对称轴的交点，点C在l上，求证：直线AC过线段EF的中点的充要条件是BCEF证明：充分性：如图，设直线AC与EF交于N，过A作ADl于D由圆锥曲线的定义，有，ABCDEFN 由ADFEBC，得， 从而 必要性：由ADFE，FN=NE，连结BD，则，所以，所以FEBC例4 已知椭圆中，弦AB过左焦点F，且倾斜角为，点A在x轴上方，求证：， ABNOxyPFMld证明：如图，

17、所以 又，所以， 所以， 所以，用替换，得 说明：该结论用圆锥曲线的极坐标方程稍作变形即可证明例5已知是椭圆上的两动点，O为坐标原点，求证：线段MN中点的轨迹方程为证明：设线段MN中点为，则由题意可得，且，因为，所以，所以，所以，所以线段MN中点P的轨迹方程为练习1在椭圆中，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R，求证： 证明：如图，不妨设直线AB的倾斜角为锐角（不为锐角时可类似证明），ABOxyFMR 则 （结论15） ， 所以，又， 所以练习2已知椭圆，过椭圆内x轴上一点（m，0）任作两条相互垂直的弦AB，CD，设M，N分别为AB，CD的中点，求证：直线

18、MN必过定点证明：当直线AB的斜率不存在或为零时，易知直线MN与x轴重合，显然成立； 当直线AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为：y=k(x-m)， 则直线CD的方程为：，设，ABDOxyCMN将y=k(x-m)代入，得，则，所以， 所以，同理， 若x轴，即时，直线MN过定点； 若不与x轴垂直时， 直线MN的斜率， 所以直线MN的方程为，显然过定点练习3设A，B是椭圆长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，若过A点引直线（直线不与坐标轴垂直）与椭圆相交于P，Q两点，且求证：点A，B的横坐标满足证明：设，A（m，0），代入椭圆方程得：，则，若，则，所以，所以，所以，所以，即，所以，

19、从而练习4已知是椭圆上的两动点，O为坐标原点，若，动点P满足，则P点的轨迹方程为证明：由题意可得，设点，则因为，所以，所以，所以，所以P点的轨迹方程为第二讲 解析几何结论在高考与模考中的应用一、有关定点类结论的应用例1 （2017年全国卷1第20题）已知椭圆C：上四点P1（1，1），P2（0，1），P3，P4中恰有三点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点解：（1）（过程略）；（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A的坐标（t，），B

20、的坐标（t，）.则，得，不符合题设从而可设l：（）将代入，得，由题设可知设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=而由题设，故即，解得当且仅当时，欲使l：，即，所以l过定点（2，）注：本题为结论3的特殊情形我们可以得出弱于结论3的较一般情形：已知椭圆C：的上顶点为B，动直线l不经过短轴端点且与椭圆C相交于M，N两点，则直线BM与BN的斜率之和为定值的充要条件是l过定点同学们课后可以尝试证明二、有关定值类结论的应用例2 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，AB为椭圆的一条弦（不过坐标原点），直线恰过弦AB的中点且与椭圆交于P，Q两点，过P作x轴的垂线，垂足为R若直

21、线AB和直线QR倾斜角互补，且PQR的面积为，ABPOxyQR求椭圆的方程 分析：注意到题中出现的三条直线AB，QR，PQ两两斜率均有关系，PQR的面积即点Q的横纵坐标之积，本题将不难求解解：设弦AB的中点为， 由且，两式相减得， 即， 因为，所以，即 因为椭圆的离心率为，即，所以，即为定值 设（，），则，所以直线QR的斜率为 因为直线AB和直线QR倾斜角互补，所以直线QR的斜率为，所以由，且，所以因为PQR的面积为，而，所以，即 从而，又，解得，所以椭圆的方程为 例3 （2012年江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦APOxyBF1F2点分别为F1，F2设是椭圆上位于轴上

22、方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P（1）若，求直线AF1的斜率；（2）求证：是定值 分析：题中出现的线段，AF2，BF1，均为椭圆的焦半径，利用结论15，16及三角形相似知识容易求解解：设直线与直线的倾斜角为，则，（结论15）（1）所以，所以所以直线AF1的斜率为（2）证明：设则（结论16） 因为AF1BF2，所以，所以，所以，同理，所以（定值）三、有关定轨类结论的应用例4 在直角坐标系xoy中，椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点P是椭圆外一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点P作两条互相垂直的直线，且，与椭圆均只有一个公共点，分别PBOA为A，B两点.记O到，的距离分别

23、为，求的取值范围.分析：由条件过点P作两条互相垂直的直线，且，与椭圆均只有一个公共点，结合结论23知点P的轨迹为圆解：（1）椭圆方程为（过程略）；（2）设P(m，n)(m2)，则切线方程为联立方程组，消去y得，化简为，因为直线为椭圆的切线，所以，化简得即，所以 又PAPB，所以，即，即 (m2)*，当时，点适合*式，所以P点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，又过O分别作PA、PB的垂线，垂足分别记为M，N，因为PAPB，所以四边形MONP为矩形，所以，其中34所以，又，即，所以解得四、极点与极线结论的应用例5 （2010江苏18）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左，右顶点为A，B，右焦点为

24、F设过点T（t，m）的直线TA，TB与椭圆分别交于点BMOxyTAN，其中m0，设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）分析：设直线MN与x轴交于点D（x0，0），点T（9，m）在点D（x0，0）对应的极线上，所以，所以，所以直线MN必过轴上一定点（1，0）解：设直线MN：x=ky+a，因为，所以，又x1=ky1+a，所以；同理，得由得，所以，将两式相除，得，所以，所以因此，直线MN必过轴上一定点（1，0）练习1 （2011江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线P

25、A的斜率为对任意0，求证：PAPB分析：由结论8知直线PB，AB的斜率之积为常数，注意到直线PA，CA（AB）的斜率为倍数关系，从而容易得出直线PA，PB的斜率关系ABOxyPC证明：设点，则且，设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2因为点C在直线AB上，所以，所以， 所以，所以PAPB练习2（2016南通二模）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆（）ABPOxyC的离心率为A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足（1）若点P的坐标为，求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且，直线OA，OB的斜率 之积为，求实数m的值分析：（2）中注意到直线OA，OB的斜率 之积为，恰为，满足结论

26、10中命题，从而有结论10中命题成立，即若能由条件变形出，则有而可化为，又，两式消去得，从而，获解解：（1）椭圆的方程为（过程略）（2）设，因为，所以因为，所以，即 于是 代入椭圆方程，得，即，因为A，B在椭圆上，所以 因为直线OA，OB的斜率之积为，即，结合知将代入，得，解得 练习3 (2011四川卷)过点C(0，1)的椭圆1(ab0)的离心率为.椭圆与x轴交于ABPOxyQDC两点A(a，0)，B(a，0)过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.（1）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（2）当点P异于点B时，求证：为定值 分析：显然点Q在点P（

27、x0，0）对应的极线上，所以点Q的坐标可设为，从而易得解：（1）椭圆方程为，CD（过程略）；（2）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符设直线l的方程为ykx1.代入椭圆方程化简得(4k21)x28kx0.解得x10，x2，代入直线l的方程得y11，y2，所以D点坐标为.又直线AC的方程为y1，直线BD的方程为y(x2)，联立解得因此Q点坐标为(4k,2k1)又P点坐标为.来源:Zxxk.Com所以(4k,2k1)4. 故为定值来源:学+科+网练习4 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点MABOxyDCM（-1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分

28、别为k1，k2 求证：为定值分析：注意到由结论8知，直线AD，BD的斜率之积为常数，由结论3的逆命题知，直线BC，BD的斜率之积为常数，从而知直线AD，BC的斜率成倍数证明：连结BD，设，直线CD的方程为：，代入椭圆方程，整理得，所以，所以，又，所以（定值）第三讲 解析几何结论在自招与竞赛中的应用例1 在平面直角坐标系xOy中，若为椭圆上一定点， 过M任作两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：直线PQ过定点，并求出该定点坐标分析：本题的常规证明方法十分繁冗，这里我们利用齐次化大法来给出证明思路为：先将坐标原点移到M点，再构造新坐标系下关于的一元二次方程，弦MP，MQ的斜率就是该方程的两根，由题意两

29、根之积为-1证明：将坐标原点平移到点，新旧坐标关系满足则新坐标系下椭圆的方程为，设直线PQ：，将椭圆方程展开，得，即，PQOxyM因为点在椭圆上，所以，所以，将其齐次化处理，得，所以，两边同时除以，得 ，所以弦MP，MQ的斜率之积为，所以，代入直线，并整理得，易求出过定点，所以在原坐标系中直线PQ过定点注：利用齐次化大法比较方便解决有关斜率之积、斜率之和、斜率互为相反数等问题，如结论2，3，7，18的证明例2 (2006年湖南省数学竞赛)设A，B分别是椭圆和双曲线的公共的左，右顶点，P，Q分别为双曲线和椭圆上不同于A，B的两个动点，其满足设直线AP，BP，AQ，BQ的斜率分别为k1，k2，k3

30、，k4（1）求证：k1+k2+k3+k4=0； （2）设F1，F2分别是椭圆和双曲线的右焦点，若PF1QF2，求的值ABPOxyQ 分析：（1）设P，Q的坐标，通过计算k1+k2和k3+k4，发现它们是只与P，Q的坐标有关的常数，再根据O，P，Q三点共线，可得出P，Q的坐标关系，代入即可获证；（2）注意到k1k2与k3k4均为常数，且互为相反数，结合（1）中已求，考虑先研究与的值解：（1）设，则 ， 同理， 又因为 所以 所以O，P，Q三点共线， 所以，所以 （2）因为P，Q分别在双曲线和椭圆上， 所以 ，又所以， 由，可解出， 又因为PF1QF2，所以，所以，再由得，同理，又，同理，所以BA

31、DOxyCNMF例3 (2013年四川省数学竞赛)过椭圆的右焦点F作两条垂直的弦AB，CD设AB，CD的中点分别为M，N（1）求证：直线MN必过定点，并求出这个定点；（2）若弦的斜率均存在，求FMN的面积的最大值解：（1）由结论7（课时1练习2已作过证明），直线MN必过定点，下面再给出利用极坐标方程的证明：以F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则椭圆的方程为：，设，其中，所以点即记，点即记， 所以 设直线MN上任意一点，则直线的极坐标方程为，令，得 由得时，即点在直线MN上，又因为c=1，所以在直角坐标系中直线MN过定点（2）由（1）PMN的面积为 ， 所以当时，PMN的面积有最大值为例4 设A

32、，B为椭圆上的动点，O为坐标原点，若AOB的面积为，AB的中点M的轨迹为E，点P，Q，R为曲线E上三点，且，若PQR的面积为，求曲线E的离心率分析：结合结论10和结论21知，由AOB的面积为，可得出AB的中点M的轨迹为以为方程的椭圆，从而条件变为：已知椭圆的内接PQR以原点为重心且面积为，以下利用仿射变换（高考慎用）求解较方便解：设所以，所以，所以，又AB的中点M的横，纵坐标分别为：所以，所以曲线E的方程为由，可得O为PQR的重心，令，有，O仍为的重心，且，则，所以a=2b，易求得离心率例5 已知ABC为锐角三角形，以AB为长轴的椭圆分别交AC，BC于P，Q，分别过A和Q作椭圆的两条切线交于点

33、R，分别过B和P作椭圆的两条切线交于点SOABCPQR(-a,y2)S(a,y1)xy求证：点C在线段RS上证明：以AB为轴，线段AB为轴建立直角坐标系，设椭圆方程为，并设点，则R点对应的极线，代入椭圆方程解得点，直线，同理我们可以得到直线，将直线BQ的方程与AP的方程联立解得，可验证其坐标满足直线的方程，所以三点共线.评析：用极点与极线方法证明不仅显得简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.练习1 (2013年贵州省数学竞赛)已知抛物线C：，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ（1）若APAQ，证明直线PQ过一个定点，并求出定点坐标；（2）假设直线PQ过点T（5，-2），请问是否存

34、在以PQ为底边的等腰APQ？若存在，求出APQ的个数；若不存在，请说明理由 解：（1）由结论2知，直线PQ过定点（5，-2）；（第一课时已证明过该结论） （2）假设存在以PQ为底边的等腰APQ，设，直线PQ的方程为：直线， 即，代入方程，得，所以，所以PQ的中点坐标为，由题意，得，即，记，则，所以在R上为单调增函数又因为，所以在（0，1）内恰有一个零点，所以方程在R上有且只有一个根，所以满足条件的等腰三角形有且只有一个练习2 (2011年全国联赛试题)作斜率为的直线l与椭圆C：交于A，B两点，ABOxyP且在直线l的左上方（1）证明：PAB的内切圆的圆心在一条直线上；（2）若60，求PAB的面

35、积 分析：（1）注意到，由结论11的逆命题，知直线PA，PB的倾斜角互补，从而PAB的内切圆的圆心应在直线上，从而可直接通过证明直线PA，PB的斜率之和为零获证；（2）由（1）得直线PA，PB的方程均已知，故可求出A，B的横坐标，再求出PA，PB的长度，再求出PAB的面积（1）证明：设，直线，将其代入椭圆方程， 化简并整理得， 所以 ， 所以 又因为点P在l上方，所以的角平分线是平行于y轴的直线， 所以PAB的内切圆的圆心在直线上 （2）若时，结合（1）的结论可知直线的方程为：，代入中，消去得它的两根分别是和，所以，即所以同理可求得 练习3 在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别为椭圆的左右顶

36、点，M，N是POxyMBAN椭圆上不同于顶点的两点，且OMN的面积等于过点A作交椭圆C于点P，求证：分析：OMN的面积恰为，由结论10知直线OM，ON的斜率乘积为，由结论8知直线AP，BP的斜率乘积也为，再结合条件不难获证证明：设直线OM，ON的方程为，联立方程组，解得，同理可得， 所以 ，化简可得，设，则，又已知，所以要证，只要证明，而，所以可得 练习ABCOxyDF1F24(2013年山东省数学竞赛)已知椭圆的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点F1，F2，求该平行四边形面积的最大值解：设x轴的正半轴到F1A的角为，则，（前已证） 所以，所以平行四边形的面积，令，所以在上为增函数，所以面积的最大值为6.练习5 已知圆O：，椭圆，过圆O上一点P作圆O的切线l，设l交椭圆C于A，B两点，分别过A，B作椭圆的切线交于点Q，求动点Q的轨迹方程POxyQBA 分析：注意到直线AB既是点P在圆O中对应的极线，又是 点Q在椭圆C中对应的极线，故对直线AB的方程算两次获解解：设，则 圆O在点P处的切线AB的方程为： 同时，AB为点对应的极线，所以其方程又为： 比较，得，所以， 所以，所以动点Q的轨迹方程为32