锐角三角函数与解直角三角形复习课件.ppt

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1、鉴江中学 于孙潮 CAB bca 1. 本章内容有锐角三角函数的概念，解直角三角形及解直角三角形的应用。 在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中,并且三角函数值与边无关。的邻边的对边AAAtan的斜边的对边AAAsin的斜边的邻边AAAcos 2. 锐角的取值范围及变化情况：锐角的函数 记法 锐角的取值范围 三角函数的取值范围 增减性从 090 锐角的正弦 sin 0sin1 随着角度增大而增大 锐角的余弦 cos 0cos0 随着角度增大而增大 锐角的余切 cot 00 随着角度增大而减小 3. 特殊角的三角函数值：三 角 函 数 0 30 45 60

2、 90 sin 0 12 22 32 1 cos 1 32 22 12 0 tan 0 33 1 3 不 存 在 cot 不 存 在 3 1 33 0 4. 同一锐角的三角函数之间的关系： （1）平方关系：sin2+cos2=1 （ ）比的关系：，2tansincoscotcossin。，或）倒数关系：（tan1cotcot1tan1cottan3 5. 互余两角的三角函数之间的关系： sin()coscos()sin9090，tan()cotcot()tan9090，。 6. 解直角三角形的依据： 在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别为a、b、c，除直角C外，其余五个元素之间有以下

3、关系： （1）三边关系：a2+b2=c2（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A+B=90（互余关系） （3）边角关系： B c a A b C (图 1 ) sincostancotAacAbcAabAba，；sincostancotBbcBacBbaBab，。解直角三角形时，要注意适当选用恰含一个未知数的关系式。 任意锐角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值， 任意锐角的余弦（切）值等于它的余角的正弦（切）值。7. 解直角三角形的分类： 已知两边两直角边一斜边，一直角边一边一角一锐角，一直角边一锐角，一斜边例如选用关系式归纳为口诀： 已知斜边求直边，正弦余弦很方便； 已知直边求直边，正切

4、余切理当然； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知两边求一角，函数关系要选好； 已知锐角求锐角，互余关系要记好； 已知直边求斜边，用除还需正余弦； 计算方法要选择，能用乘法不用除。 8. 有关解直角三角形的应用题： 视线 眼睛 仰角 水平线 俯角 视线 图 1 应用解直角三角形的知识解决实际问题的时候，常用的几个概念： (1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图1。 (2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示。 坡度（坡比）：坡面的铅垂高度h和水平宽度 的比叫做坡度，用字母i表示，即 ，如图2。lihltg ihltg h l

5、 图 2 (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角，如图3中，目标A、B、C的方位角分别为。 3 09 02 1 0、 北 A 0 B C 图 3 (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 的水平角叫做方向角，6045303045 D 北 A 30 60 西 东 0 30 45 C B 南 图 4 90如图4中，目标A、B、C、D的方向角分别表示北偏东 、南偏东 、南偏西 、北偏西 。又如，东南方向，指的是南偏东 角。一. 基础题型分析： 例1. 在中，则的值是（）RtACBC = 90coscotBB23ABCD.35522 5555 分析： ,3

6、232cos90ABC2xABxBCBC，可设，利用，可以构造直角三角形如图.55252cot522cxxACBCBxBCABAC，应选，所以，根据勾股定理，有 A 3x C 2x B (图 2) 解法二：利用同角的三角函数的关系式。 sin2B+cos2B=1 ，舍负sincos( )(sin)BBB112353022。cotcossinBBB23532 55 ，解三角形。，中，在332=b32=a90=CABCRt A 323 B 32 C (图 3) （ ）13232 333tanAab（ ）3sinAac。caAsinsin323064cab22222223232 3321332464

7、()() 。例2. A=30。（2）B=90A=9030=60。解法二：（1）在RtABC中 无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知中的数值，少用在前面的求解过程中刚算出的数值，以减少以错传误的机会。（ ）233tanAab（ ）39060BA不要计算错误。，但应注意斜边，求出求出解法二也可由cAAcaA21sinsinA=30说明：解法一：在RtABC中，如图3。 例3. 当45cosB. sin=cosC. tancotD. tanAC。 解法一：利用三角函数定义。 应选A，其余三项也可根据定义证明不成立。 解法二：化为同名三角函数，利用增减性比较大小。 根据锐角的正弦（切）

8、的增减性可知应选A，其它两项也不成立。解法三：找标准量45角比较。 45sin45，coscos， 同理tancot，应选A。 例4. A. 等腰非等边三角形B. 等边三角形 C. 直角非等腰三角形D. 等腰直角三角形在中，若，则是（）ABCABABC|sin|(cos)321202分析：根据“两个非负数的和等于 ，则两个数都等于 ”的性质，有，0032sinA cosB 12， 所以A=60，B=60，应选B。 例5. 为锐角，若m2，下列四个等式中不可能成立的是（ ） AmBmCmDm.sin.cos.tan.cot111111分析：根据三角函数值的取值范围，有 010100sincost

9、ancot，而，sincostancot1111111010mmmm判断可知cos选项不可能成立，应选B。 例6. 若 为锐角，求的值。sincossincos43 分析：题目涉及到同角的正余弦的和差，可以考虑应用关系式： sin2+cos2=1解题。34cossin解： 两边平方，得sincossincos222169 2169179sincos (sincos )sincossincos2222 1792932cossin注意：开平方要取正负，因为题中不能确定sin与cos的大小。例7. 在RtABC中，C=90，a+c=12，b=8，求cosB。 A c b B a C (图1 ) 解：

10、 列方程组accacaca cacacaac126412641216310326322()()。cosBac103263513二. 综合题型分析： 例8. 已知：如图5，ABC中，B=30，ADC=45，ACB=120，D是BC上一点，若CD=8，求BD的长。 A B D C ( 图 5) 30 45 120 解法一：过A作AEBC的延长线于E，ACB=120，ACE=60。设，则，CE = xAE =3x ADC=45 DE=AExx38 x 8314 34，BAEx303 BExx3303cot。BDBEDCCExxx38288 3E 解法二：如图6，过D作DFBC于D，交AB于F。 A

11、B D C ( 图 6) 30 45 120 F 易证得FAD=DAC=15FDBC，ADC=45 ADF=ADC=45 在ADF和ADC中 FADCADADADADFADC ADF ADC DF=DC=8 在RtBDF中， cot BBDDFBDDFBcotcot8308 3 例9. 如图7，已知MNBE和ABCD都是正方形，MC与AB相交于F，已知sin=513，求的值。tanB A D M F N B C （图 7） E 分析：实质上是已知比值求比值的问题，不过它是特殊的比值问题，因为这里两条线段的比是直角三角形中两条边的比值问题。 的一个是三角形中，如放在一个直角，为了应用它，要把已知

12、FBCRt135sin锐角，或是RtMNC的锐角，或是RtEMF的一个锐角，这样就有三种解法。 求tan，从图形直观上看，就是把放在RtAME中，求出AE和ME，或用某个字母x的代数式表示AE和ME即可。 解：在RtMNC中， sin513 设MN=5x，MC=13x， 则NC=12x。ME=MN=NB=5x，BC=NCNB=7x。AEABBExxx752。tanAEMExx2525 例10. 在ABC中，C=90，A=15，AB=12，求SABC。 C A （图8） 15 解法一：如图8，取AB的中点D，连结CD，过C作CEAB于E。 AB=12ADBDCD12126 A=ACD=15 CD

13、B=30在RtCDE中， CECD123。SABCEABC121212318BED 解法二：如图9，把ACB沿AC翻折，得到ACD， C A （图9） D 则ACD ACB DAC=CAB=15，DAB=30 AD=AB=12过点D作DEAB于E， DE=ADsin30=6 SABDEABD121212636。SSABCABD12123618BE 例11. 如图湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60，然后，自C处沿BC方向行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30，求建筑物的高（结果保留根号） A 30 60 D 100 C B 分析：分析：本题的关键在于（1）D

14、B-CB=100（2）RtABC与RtADB有一条共同的线段AB，因此只要利用RtABC和RtADB分别用AB表示出DB和CB即可列出方程DB-CB=100，问题便可迎刃而解。解：设AB=xxABBCBCABABCRt3360tan60tan中，在xABBDBDABABDRt330tan30tan中，在10033100 xxBCBD3，350100332ABAB，答：建筑物的高为米。AB50 3例3. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向以26海里/时的

15、速度追赶在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：（1）需几小时才能追上？（点B为追上的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向，（精确到0.1） 分析：分析：（1）此题可利用于方程来解决，设需t小时追上，然后根据直角三角形三边满足勾股定理来列出一个关于“t”的一元二次方程，从而求出时间t。（2）要求B点的方位角，首先应理解方位角在几何图中的表示方法，然后借助正弦函数值以及计算器来求出B的方位角。 解：解：设需t小时才能追上。则，（ ）在中，ABtOBtRt AOBOBOAAB24261222即解得，（不合题意舍去）()()()2610241122212tttt t11即需 小时才能追上。（2）在RtA

16、OB中sin.AOBABOBtt2426121309231AOB674 . 即巡逻艇的追赶方向为北偏东67.4。ABO 例5. 如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。 （1）问B处是否会受到影响？请说明理由。 （2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物。北AB西C分析：分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离与200的关

17、系，若大于或等于200海里则受影响，若小于200海里则不受影响。 （2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决。北 C 60 西 B A D E F 解：解：（1）过B作BDAC于D根据题意得：BAC=30，在RtABD中BDABABsin3012122016160200B处会受到影响。（2）以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在RtDBE中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在RtBAD中

18、，AB=320，BD=160，由勾股定理可知：AD 160 3 AEADDEAD160 3120（海里） t160 31204038 . （小时） 该船应在3.8小时内卸完货物。江苏省思想政治教学研讨课江苏省思想政治教学研讨课江苏省思想政治教学研讨课江苏省思想政治教学研讨课我国正处于社会主义初级阶段我国正处于社会主义初级阶段我国正处于社会主义初级阶段我国正处于社会主义初级阶段授课教师：范红军授课教师：范红军授课教师：范红军授课教师：范红军 指导教师：吴兆虎指导教师：吴兆虎指导教师：吴兆虎指导教师：吴兆虎 陈陈陈陈 华华华华 范学林范学林范学林范学林在在RtABC中，中，C=90：已知已知A、

19、c, 则则a=_;b=_。已知已知A、 b, 则则a=_;c=_。已知已知A、 a，则，则b=_;c=_。已知已知a、b，则，则c=_。已知已知a、c，则，则b=_ 。ABbacC对边对边邻边邻边斜边斜边已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦正弦； 求邻边，用锐角的求邻边，用锐角的余弦余弦。已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切正切； 求斜边，用锐角的求斜边，用锐角的余弦余弦。已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的余切余切； 求斜边，用锐角的求斜边，用锐角的正弦正弦。Ac sinAc costgAbAbcosctgAaAasin22ba 22ac 返回