黄金分割.ppt

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1、1第二节第二节 黄金分割黄金分割2我们先来做一个游戏！我们先来做一个游戏！3十秒十秒钟钟加加数数请请用十秒，用十秒，计算计算出出左左边边一一列数列数的的和和。1235813213455+89?时间到时间到！答案是答案是 231231。4十秒十秒钟钟加加数数再再来来一次！一次！3455891442333776109871597+2584?时间到时间到！答案是答案是 67106710。5这与这与“斐波那契斐波那契数数列列”有关有关若一若一个数个数列，列，前两项前两项等等于于1 1，而，而从从第三第三项项起，每一起，每一项项是是其其前前两项两项之和，之和，则称该数则称该数列为列为斐波那契斐波那契数数

2、列列。即：。即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 6 一、兔子问题和斐波那契数列一、兔子问题和斐波那契数列 1 兔子问题兔子问题 1） 问题问题 取自意大利数学家取自意大利数学家斐波那契的斐波那契的算盘书算盘书（1202年）年） (L.Fibonacci,1170-1250(L.Fibonacci,1170-1250） 7兔子问题兔子问题 假设假设一一对对初生兔子要初生兔子要一个月一个月才到成熟才到成熟期，而一期，而一对对成熟兔子每月成熟兔子每月会会生一生一对对兔子，兔子，那那么么，由一，由一对对初生兔子初生兔子开开始，始，12 12 个个月月后会后会有多少有多少对对兔

3、子呢？兔子呢？8解答解答1 1 月月 1 1 对对9解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对10解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对11解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对12解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对13解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对

4、对6 6 月月 8 8 对对14解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对6 6 月月 8 8 对对7 7 月月13 13 对对15解答解答可以可以将结将结果以列果以列表表形式形式给给出：出：1 1月月2 2月月3 3月月5 5月月4 4月月6 6月月7 7月月8 8月月9 9月月1111月月1010月月1212月月1 11 12 23 35 58 813132121343455558989144144因此，斐波那契因此，斐波那契问题问题的答案是的答案是 144144对对。以以上数列上数列， 即即“

5、斐波那契斐波那契数数列列”16 兔子问题的另外一种提法：兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？个月时，共有多少对兔子？ 月月 份份 大兔对数大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子到十二月时有大兔子144对，小兔子对，小兔子89对，对，共有兔子共有兔子144+89=233对。对。 （三点规律）（三点规律）规律规律17 2 斐波那契数列斐波那契数列 1） 公式公式 用用 表示第表示

6、第 个月大兔子的对数，则有个月大兔子的对数，则有二阶递推公式二阶递推公式 （“二阶二阶”） nF12121,3,4,5nnnFFFFFnn18 2） 斐波那契数列斐波那契数列 令令n = 1, 2, 3, 依次写出数列，就是依次写出数列，就是 1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55，89，144，233，377， 这就是这就是斐波那契数列斐波那契数列。其中的任一个。其中的任一个 数，都叫数，都叫斐波那契数斐波那契数。 19 思思：请构造一个请构造一个3阶递推公式。阶递推公式。20 二、二、 相关的问题相关的问题 斐波那契数列是从兔子问题中抽象出斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如

7、果它在其它方面没有应用，它就来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命力。发人深省的是，斐不会有强大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现。波那契数列确实在许多问题中出现。21 1 跳格游戏跳格游戏 22 如图，一个人站在如图，一个人站在“梯子格梯子格”的起点处的起点处向上跳，从格外只能进入第向上跳，从格外只能进入第1 1格，从格中，格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：每次可向上跳一格或两格，问：可以用多可以用多少种方法，跳到第少种方法，跳到第n n格？格？ 解：设跳到第解：设跳到第n n格的方法有格的方法有 种。种。 由于他跳入第由于他跳入第1 1格，只有一种

8、方法；跳入格，只有一种方法；跳入第第2 2格，必须先跳入第格，必须先跳入第1 1格，所以也只有一格，所以也只有一种方法，从而种方法，从而 nt121tt23 而能一次跳入第而能一次跳入第n格的，只有第格的，只有第 和第和第 两格，因此，跳入第两格，因此，跳入第 格的方法格的方法 数，是跳入第数，是跳入第 格的方法数格的方法数 ，加上跳入，加上跳入 第第 格的方法数格的方法数 之和。之和。 即即 。综合得递推公式。综合得递推公式 容易算出，跳格数列容易算出，跳格数列 就是斐波那契数列就是斐波那契数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，1n2n1nt2n2nt12nnnttt12121(3

9、,4,5,)nnntttttnn nt1n24 2 连分数连分数 这 不 是 一 个 普 通 的 分 数 ， 而 是 一 个 分这 不 是 一 个 普 通 的 分 数 ， 而 是 一 个 分母 上 有 无 穷 多 个母 上 有 无 穷 多 个 “ 1 ” 的 繁 分 数 ， 我 们 通 常的 繁 分 数 ， 我 们 通 常称这样的分数为称这样的分数为“连分数连分数”。11111111x 25 上述连分数可以看作是上述连分数可以看作是 中，把中，把 的表达式反复代入等号右端得到的；例如，的表达式反复代入等号右端得到的；例如，第一次代入得到的是第一次代入得到的是 反复迭代，就得到上述连分数。反复迭

10、代，就得到上述连分数。11xx1111xxx26 上述这一全部由上述这一全部由1构成的连分数，构成的连分数，是最简单的一个连分数。是最简单的一个连分数。11111111x 27 通常，求连分数的值，如同求无理数通常，求连分数的值，如同求无理数的值一样，我们常常需要求它的近似值。的值一样，我们常常需要求它的近似值。 如果把该连分数从第如果把该连分数从第 条分数线截住，条分数线截住，即把第即把第 条分数线上、下的部分都删去，条分数线上、下的部分都删去，就得到该连分数的第就得到该连分数的第 次近似值，记作次近似值，记作 nnuvn1nn28 对照对照 可算得可算得 312412341111213,1

11、111235111111111111uuuuvvvv11111111x 29 发现规律后可以改一种方法算，发现规律后可以改一种方法算， 例如例如 顺序排起来，顺序排起来，这个连分数的近似值逐次为这个连分数的近似值逐次为 1111nnnnuuvv56455645115118,35813111158uuuuvvvv111 1 2 3 5 8,1 2 3 5 8 13nnnnuuvv30 3 黄金矩形黄金矩形 1） 定义：一个矩形，如果从中裁去定义：一个矩形，如果从中裁去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与之比，与原矩形的一样（

12、即剩下的矩形与原矩形相似），则称具有这种宽与长之比原矩形相似），则称具有这种宽与长之比的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述方法无限地分割下去。方法无限地分割下去。3132 2） 试求黄金矩形的宽与长之比（也称为试求黄金矩形的宽与长之比（也称为黄金比）黄金比） 解：设黄金比为解：设黄金比为 ，则有，则有 将将 变形为变形为 ，解，解 得得 ，其正根为，其正根为 。 x11abbbabxaaxbbabxaa1xxx210 xx 152x 510.6182x33 3） 与斐波那契数列的联系与斐波那契数列的联系 为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系，我们为讨论黄金矩形

13、与斐波那契数列的联系，我们 把黄金比化为连分数，去求黄金比的近似值。化把黄金比化为连分数，去求黄金比的近似值。化 连分数时，沿用刚才连分数时，沿用刚才“迭代迭代”的思路：的思路： 511111222( 51)51512515122111511151212 34 反复迭代，得反复迭代，得 5111211111135 它竟然与我们在上段中研究的连分数它竟然与我们在上段中研究的连分数一样！因此，黄金比的近似值写成分数表一样！因此，黄金比的近似值写成分数表达的数列，也是，达的数列，也是， 其分子、分母都由斐波那契数列构成。并其分子、分母都由斐波那契数列构成。并且，这一数列的极限就是黄金比且，这一数列的

14、极限就是黄金比 。1 1 2 3 551,1 2 3 5 82nf51236 三、三、 黄金分割黄金分割 1 定义：定义：把任一线段分割成两段，把任一线段分割成两段，使使 ，这样的分割叫黄金分割，这样的分割叫黄金分割，这样的比值叫黄金比。这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）（可以有两个分割点） 1x大段小段全段大段小段小段大段大段1x37 2 求黄金比求黄金比 解：设黄金比为解：设黄金比为 ，不妨设全段长为，不妨设全段长为 1，则大段，则大段= ，小段，小段= 。 故有故有 ， 解得解得 ，其正根为，其正根为 A B xx11xxx210 xx 152x 510.61803390.6182

15、x1x小段小段大段大段38 3 黄金分割的尺规作图黄金分割的尺规作图 设线段为设线段为 。作。作 ，且，且 ，连，连 。作。作 交交 于于 ，再作再作 交交 于于 ，则，则 ， 即即为为 的黄金分割点。的黄金分割点。AB12BDABBDABAD()D DBAD()A AEABC512ACABCABE152EDCBA39 证：不妨令证：不妨令 ，则，则 ， ， ， 证完。证完。1BD 2AB 2215AD 51AEADED5151,2ACACAEAB 40 4. 黄金分割的美黄金分割的美 黄金分割之所以称为黄金分割之所以称为“黄金黄金”分割，是分割，是比喻这一比喻这一“分割分割”如黄金一样珍贵。

16、黄金如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了门类中审美的因素之一。认为它表现了恰恰到好处的到好处的“和谐和谐”。 例如例如:41 1） 人体各部分的比人体各部分的比 肚肚 脐脐 ： （头（头脚）脚） 印堂穴：印堂穴： （口（口头顶）头顶） 肘关节：肘关节： （肩（肩中指尖）中指尖） 膝膝 盖：盖： （髋关节（髋关节足尖）足尖）422） 著名建筑物中各部分的比著名建筑物中各部分的比 如埃及的金字塔，如埃及的金字塔，高（高（137米）与底边长米）与底边长（227米）之比为米）之比为0.629古希腊的巴特农神殿，古

17、希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为塔高与工作厅高之比为340 5530.615（外形的高与宽之比？（外形的高与宽之比？ 大理石廊柱高与神殿高之比？）大理石廊柱高与神殿高之比？）43 3） 美观矩形的美观矩形的 宽长比宽长比 如国旗和其它用到如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家矩形的地方（建筑、家具）具） 4） 风景照片中，风景照片中， 地平线位置的安排地平线位置的安排 445） 正五角星中的比正五角星中的比0.618ABAD0.618ABAC45 6） 舞台报幕者舞台报幕者 的最佳站位的最佳站位 在整个舞台宽度的在整个舞台宽度的0.618处较美处较美 7） 小说、戏剧的小说、戏剧的 高潮出

18、现高潮出现 在整个作品的在整个作品的0.618处较好处较好46 四、四、 优选法优选法 1 华罗庚的优选法（华罗庚的优选法（“0.618法法”） 二十世纪六十年代，华罗庚先生着力推二十世纪六十年代，华罗庚先生着力推广的优选法，在全国产生了很大的影响。广的优选法，在全国产生了很大的影响。 “优选法优选法”，即对某类，即对某类（单峰函数）（单峰函数）单因单因素素问题，用最少的试验次数找到问题，用最少的试验次数找到“最佳点最佳点”的的方方法。法。47 例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢例如，炼钢时要掺入某种化学元素加大钢 的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每的强度，掺入多少最合适？假定已经知道每

19、吨钢加入该化学元素的数量大约应在吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到克到2000克之间，现克之间，现求最佳加入量求最佳加入量，误差，误差不得超过不得超过1克。最克。最“笨笨”的方法是分别加入的方法是分别加入100克，克，1002克，克，1000克，做克，做1千次试千次试验，就能发现最佳方案验，就能发现最佳方案。48 一种动脑筋的办法是二分法，取一种动脑筋的办法是二分法，取10001000克克20002000克的中点克的中点15001500克。再取进一步二分法的中点克。再取进一步二分法的中点12501250克与克与17501750克，分别做两次试验。如果克，分别做两次试验。如果17501

20、750克处效克处效果较差，就删去果较差，就删去17501750克到克到20002000克的一段，如果克的一段，如果12501250克处效果较差，就删去克处效果较差，就删去10001000克到克到12501250克的一克的一段。再在剩下的一段中取中点做试验，比较效果段。再在剩下的一段中取中点做试验，比较效果决定下一次的取舍，这种决定下一次的取舍，这种“二分法二分法”会不断接近会不断接近最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大最好点，而且所用的试验次数与上法相比，大大减少。减少。49 表 面 上 看 来 ， 似 乎 这 就 是 最 好 的 方表 面 上 看 来 ， 似 乎 这 就 是 最 好 的

21、 方法 。 但 华 罗 庚 证 明 了 ， 每 次 取 中 点 的 试 验法 。 但 华 罗 庚 证 明 了 ， 每 次 取 中 点 的 试 验方 法 并 不 是 最 好 的 方 法 ； 每 次 取 试 验 区 间方 法 并 不 是 最 好 的 方 法 ； 每 次 取 试 验 区 间的的 0 . 6 1 8 处 去 做 试 验 的 方 法 ， 才 是 最 好处 去 做 试 验 的 方 法 ， 才 是 最 好的，称之为的，称之为“优选法优选法”或或“0.618法法”。 华 罗 庚 证 明 了 ， 这 可 以 用 较 少 的 试 验华 罗 庚 证 明 了 ， 这 可 以 用 较 少 的 试 验次数

22、，较快地逼近最佳方案。次数，较快地逼近最佳方案。50 2 黄金分割点的再生性和黄金分割点的再生性和“折纸法折纸法” 黄金分割点的再生性黄金分割点的再生性51 即：即： 如果是如果是 的黄金分割点，的黄金分割点， 是是 的的黄金分割点，黄金分割点， 与与 当然关于中点当然关于中点 对称。对称。特殊的是，特殊的是， 又恰是又恰是 的黄金分割点。同样，的黄金分割点。同样，如果如果 是是 的黄金分割点，则的黄金分割点，则 又恰是又恰是 的黄金分割点，等等，一直延续下去的黄金分割点，等等，一直延续下去 。（再生）（再生）CABCBACCOCACCCACAC52 寻找最优方案的寻找最优方案的“折纸法折纸法

23、” 根据黄金分割点的再生性，我们可以设根据黄金分割点的再生性，我们可以设计一种直观的优选法计一种直观的优选法“折纸法折纸法”。 仍以上边仍以上边“在钢水中添加某种元素在钢水中添加某种元素”的问的问题为例。题为例。 53 用一个有刻度的纸条表达用一个有刻度的纸条表达10001000克克20002000克。在克。在这纸条长度的这纸条长度的0.6180.618的地方划一条线，在这条线所指的地方划一条线，在这条线所指示的刻度上做一次试验，也就是按示的刻度上做一次试验，也就是按16181618克做第一次克做第一次试验。试验。 然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的地然后把纸条对折，前一条线落在下一层纸的

24、地方，再划一条线（方，再划一条线（黄金分割点黄金分割点），这条线在），这条线在13821382克克处，再按处，再按13821382克做第二次试验。克做第二次试验。54 把两次试验结果比较，如果把两次试验结果比较，如果1618克的效果克的效果较差，我们就把较差，我们就把1618克以外的短的一段纸条剪克以外的短的一段纸条剪去（如果去（如果1382克的效果较差，就把克的效果较差，就把1382克以外克以外的一段纸条剪去）。的一段纸条剪去）。 再把剩下的纸条对折，纸条上剩下的那条再把剩下的纸条对折，纸条上剩下的那条线 落 在 下 一 层 纸 的 地 方 ， 再 划 一 条 线 （线 落 在 下 一 层

25、纸 的 地 方 ， 再 划 一 条 线 （ 黄 金黄 金分割点分割点），这条线在），这条线在 1236克处。克处。55 按按1236克做第三次试验，再和克做第三次试验，再和1382克的试验效果比较，如果克的试验效果比较，如果1236克的效果较克的效果较差，我们就把差，我们就把1236克以外的短的一段纸条克以外的短的一段纸条剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试剪去。再对折剩下的纸条，找出第四次试验点是验点是1472克。克。 56 按按1472克做试验后，与克做试验后，与1382克的效克的效果比较，再剪去效果较差点以外的短的一果比较，再剪去效果较差点以外的短的一段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次

26、段纸条，再对折寻找下一次试验点，一次比一次接近我们的需要，直到达到我们满比一次接近我们的需要，直到达到我们满意的精确度。意的精确度。57 注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸注意，每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸条，保留下的是效果较好的部分，而每次留下纸条的长度是上次长度的条的长度是上次长度的0.6180.618倍。因此，纸条的长倍。因此，纸条的长度按度按0.6180.618的的k k次方倍逐次减小，以次方倍逐次减小，以指数函数指数函数的速的速度度迅速迅速趋于趋于0 0。所以，。所以，“0.6180.618法法”可以较快地找可以较快地找到满意的点

27、。到满意的点。 事实上，当纸条长度已经很小时，纸条上的事实上，当纸条长度已经很小时，纸条上的任一个点都可以作为任一个点都可以作为“满意满意”的点了，因为最优的点了，因为最优点就在纸条上，你取的点与最优点的误差一定小点就在纸条上，你取的点与最优点的误差一定小于纸条的长。于纸条的长。58 0.618这个这个“黄金比黄金比”能产生能产生“优优选法选法”，这告诉我们，这告诉我们， 美的东西美的东西与与有用的东西有用的东西之间，常常之间，常常是有联系的是有联系的。59 3 最优化数学最优化数学 生活和生产中提出了大量的优化问题，它们共生活和生产中提出了大量的优化问题，它们共同的追求目标是：最多、最快、最

28、好、最省。这发同的追求目标是：最多、最快、最好、最省。这发展成一门展成一门“最优化数学最优化数学”，包括规化论（线性规划、，包括规化论（线性规划、非线性规划、几何规划、整数规划、动态规划、多非线性规划、几何规划、整数规划、动态规划、多目标规则、随机规划等）、统筹学、实验设计（优目标规则、随机规划等）、统筹学、实验设计（优选法、多因素正交实验法、分批实验法），组合最选法、多因素正交实验法、分批实验法），组合最优化等等。优化等等。60 用导数的方法求极值是用连续的手段处理最用导数的方法求极值是用连续的手段处理最优化问题，优选法优化问题，优选法“0.618法法”则是用离散的手段则是用离散的手段处理最

29、优化问题。处理最优化问题。 应当看到，提出和解决最优化问题，是数学应当看到，提出和解决最优化问题，是数学应用到实践中去的一条经常的重要的途径。应用到实践中去的一条经常的重要的途径。 我们以后将要做的我们以后将要做的“找次品找次品”趣题，也是要最趣题，也是要最大限度地发挥天平的作用，用最少的次数找出次大限度地发挥天平的作用，用最少的次数找出次品来，也是一个最优化问题。品来，也是一个最优化问题。61 五、数学的统一美五、数学的统一美 数学中，数学中，“从不同的范畴，不同的途径，得从不同的范畴，不同的途径，得到同一个结果到同一个结果”的情形是屡见不鲜的。的情形是屡见不鲜的。 这反映了客观世界的这反映

30、了客观世界的多样性多样性和和统一性统一性，也反，也反映了数学的统一美。映了数学的统一美。 黄金分割点黄金分割点0.618的得到，是一个能说明问的得到，是一个能说明问题的例子题的例子62 从从不同途径导出黄金比不同途径导出黄金比 1 黄金分割：黄金分割：线段的分割点满足线段的分割点满足 ，这一比值正是，这一比值正是 。 2 斐波那契数列组成的分数数列斐波那契数列组成的分数数列 的极限正是 。 510.6182大段小段全段大段51211 1 2 3 5,1 2 3 5 8nnFF51263 3 方程方程 的正根是的正根是 4 黄金矩形的宽长之比正是黄金矩形的宽长之比正是 5 连分数连分数 的值正是

31、的值正是 6 优选法的试验点，正是优选法的试验点，正是 我们看到了数学的统一美。我们看到了数学的统一美。 512512111111x 512512210 xx 64 六、六、 斐波那契协会和斐波那契协会和斐波那契季刊斐波那契季刊 1 斐波那契协会和斐波那契协会和斐波那契季刊斐波那契季刊 斐波那契斐波那契12021202年在年在算盘书算盘书中从兔子中从兔子问题得到斐波那契数列问题得到斐波那契数列1 1，1 1，2 2，3 3，5 5，8 8，1313，之后，并没有进一步探讨此序列，并且之后，并没有进一步探讨此序列，并且在在1919世纪初以前，也没有人认真研究过它。没世纪初以前，也没有人认真研究过

32、它。没想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活跃起来，成为热门的研究课题。跃起来，成为热门的研究课题。65 有人比喻说，有人比喻说，“有关斐波那契数有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快增长得还快”，以致，以致19631963年成立了年成立了斐波那契协会斐波那契协会，还出版了，还出版了斐波那斐波那契季刊契季刊。 66 2 斐波那契生平斐波那契生平 斐波那契斐波那契 （Fibonacci.L,11751250Fibonacci.L,11

33、751250） 出生于意大利的比萨。他小时候就出生于意大利的比萨。他小时候就 对算术很对算术很有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、有兴趣。后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触到东方国家的数学。斐波那契确信印度到东方国家的数学。斐波那契确信印度阿拉伯阿拉伯计算方法在实用上的优越性。计算方法在实用上的优越性。12021202年，在回到家年，在回到家里不久，他发表了著名的里不久，他发表了著名的算盘书算盘书。67 斐波那契的才能受到弗里德里希二世斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞

34、的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。赛。他还曾向官吏和市民讲授计算方法。 他的最重要的成果在不定分析和他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了数论方面，除了算盘书算盘书外，保存下来外，保存下来的还有的还有实用几何实用几何等四部著作。等四部著作。68斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250）69 3 自然界中的斐波那契数自然界中的斐波那契数 斐波那契数列中的任一个数，都叫斐斐波那契数列中的任一个数，都叫斐波那契数。斐波那契数是大自然的一个基波那契数。斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。本模式，它出现在许多场合。 下面举几个例子。下面

35、举几个例子。70 1 1） 花瓣数中的斐波那契数花瓣数中的斐波那契数 大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。那契数。例如，兰花、茉利花、百合花有例如，兰花、茉利花、百合花有3 3个花瓣，毛茛属的植物有个花瓣，毛茛属的植物有5 5个花瓣，翠雀属个花瓣，翠雀属植物有植物有8 8个花瓣，万寿菊属植物有个花瓣，万寿菊属植物有1313个花瓣，个花瓣，紫菀属植物有紫菀属植物有2121个花瓣，雏菊属植物有个花瓣，雏菊属植物有3434、5555或或8989个花瓣。个花瓣。71花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数花瓣的花瓣的数数目目海棠（海棠（2 2）铁兰铁兰（3 3）72

36、洋紫荊（洋紫荊（5 5）蝴蝶蝴蝶兰兰（5 5）黃黃蝉蝉（5 5）花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数花瓣的花瓣的数数目目73花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数花瓣的花瓣的数数目目雏雏菊（菊（1313）雏雏菊（菊（1313）742 2）树杈）树杈的的数数目目13853211753 3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数76 77 向日葵花盘内，种子是按对数螺线排向日葵花盘内，种子是按对数螺线排 列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是斐波那契数，

37、一般是34和和55，大向日葵是，大向日葵是89和和144，还曾发现过一个更大的向日葵，还曾发现过一个更大的向日葵有有144和和233条螺线，它们都是相继的两条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数。个斐波那契数。78 松果松果种种子的排列子的排列79 松果松果种种子的排列子的排列80 松果松果种种子的排列子的排列81菜花表面排列的螺线数（菜花表面排列的螺线数（5-85-8）82 这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年年才给出。这种解释是：这是植物生长的动力才给出。这种解释是：这是植物生长的动

38、力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角黄金角137.50776度；这使种子的堆集效度；这使种子的堆集效率达到最高。率达到最高。83 4 4）斐波那契斐波那契数与数与音音乐乐3253848585 4 科学中的斐波那契数列科学中的斐波那契数列 1） 电路中的斐波那契数列电路中的斐波那契数列 如下图那样专门设计的电路，如下图那样专门设计的电路， 表示表示的都是的都是1欧姆的电阻，最后一个分支中的电欧姆的电阻，最后一个分支中的电流为流为1安培，则加在电阻上的电压（从右至安培，则加在电阻上的电压（从右至左）恰好是斐波那契数列：左）恰好是斐波那契数列：1，1，

39、2，3，5，8，13，86加在电阻上的电压，从右至左，恰是加在电阻上的电压，从右至左，恰是斐波那契斐波那契数数列列1，1，2，3，5，8，13，21,1安培代表1欧姆的电阻 87 2） 通过面对面的玻璃板的斜光线的通过面对面的玻璃板的斜光线的不同路线条数不同路线条数 反射次数为反射次数为0的光线以唯一的光线以唯一的一种路线通过玻璃板；的一种路线通过玻璃板； 反射次数为反射次数为1的光线可以以的光线可以以2种路线通过玻璃板；种路线通过玻璃板； 反射次数为反射次数为2的光线可以以的光线可以以3种路线通过玻璃板；种路线通过玻璃板； 反射次数为反射次数为3的光线可以以的光线可以以5种路线通过玻璃板；种

40、路线通过玻璃板； 反射次数为的光线可以以种反射次数为的光线可以以种路线通过玻璃板；路线通过玻璃板；53213210不同路线数反射次数88 3） 股票指数增减的股票指数增减的“波浪理论波浪理论” 完整周期完整周期3上上2下（或下（或5上上3下或下或3上上5下），常是相继两斐波那契数；下），常是相继两斐波那契数； 每次股指增长幅度（每次股指增长幅度（8，13等）或等）或回调幅度（回调幅度（8，5），常是相继两斐波那契），常是相继两斐波那契数。数。 股指变化有无规律？回答是肯定的。股指变化有无规律？回答是肯定的。8990 1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料年美国经济学家艾略特在通过大量资料分

41、析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的提出了颇有影响的“波浪理论波浪理论”。该理论认为：。该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变化的图象）上的（股指变化的图象）上的5（或（或8）个波组成，其）个波组成，其中中3上上2下（或下（或5上上3下），如图，无论从小波还是下），如图，无论从小波还是从大波波形上看，均如此。从大波波形上看，均如此。 注意这儿的注意这儿的2、3、5、8均系斐波那契数列中均系斐波那契数列中的数。的数。91 同时，每次股指的增长幅度常循斐波同时，每次股指的增长

42、幅度常循斐波那契数列中数字规律完成。比如：如果某那契数列中数字规律完成。比如：如果某日股指上升日股指上升8点，则股指下一次攀升点数点，则股指下一次攀升点数为为13；若股指回调，其幅度应在；若股指回调，其幅度应在5点左点左右。显然，右。显然，5、8、13为斐氏数列的相邻三为斐氏数列的相邻三项。项。9293 可以说，斐波那契以他的兔子问题，可以说，斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列的猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列的种种应用，是这个奥秘的不同体现。种种应用，是这个奥秘的不同体现。妙哉妙哉数学！数学！94 5 推广的斐波那契数列推广的斐波那契数列 卢卡斯数列卢卡斯数列 1）

43、 卢卡斯数列卢卡斯数列 卢卡斯（卢卡斯（Lucas，F.E.A. 1824-1891） 构造了一类更值得研究的数列，现被构造了一类更值得研究的数列，现被称为称为“推广的斐波那契数列推广的斐波那契数列”，95 即从任何两个正整数开始，往后的每即从任何两个正整数开始，往后的每一个数是其前两个数之和，由此构成无穷一个数是其前两个数之和，由此构成无穷数列。此即，二阶递推公式数列。此即，二阶递推公式 中，递推式与前面一样，而起始整数中，递推式与前面一样，而起始整数 可任取。可任取。1212?nnnLLLLL12,L L96 斐波那契数列斐波那契数列1，1，2，3，5，8， 是这类数列中最简单的一个，起始

44、整数是这类数列中最简单的一个，起始整数 分别取为分别取为1、1。 次简单的为次简单的为1，3，4，7，11，18， 现称之为现称之为卢卡斯数列卢卡斯数列。 卢卡斯数列的通项公式是卢卡斯数列的通项公式是 12,L L151522nnnL97 推广的斐波那契数列推广的斐波那契数列与斐波那契数列与斐波那契数列一样，与黄金分割有密切的联系：一样，与黄金分割有密切的联系：该数列该数列相邻两数之比，相邻两数之比，交替地大于或小于黄金交替地大于或小于黄金比；并且，两数之比的差随项数的增加而比；并且，两数之比的差随项数的增加而越来越小，趋近于越来越小，趋近于0，从而这个比存在极，从而这个比存在极限；而且限；而

45、且这个比的极限也是黄金比这个比的极限也是黄金比 。 51298类似于前面提到的数列类似于前面提到的数列 对于推广的斐波那契数列，对于推广的斐波那契数列，相邻两项之比的极限也是相邻两项之比的极限也是512111 1 2 3 5 8,1 2 3 5 8 13nnnnuuvv992） 用斐波那契数列及其推广变魔术用斐波那契数列及其推广变魔术 让观众从你写出的斐让观众从你写出的斐波那契数列中任意选定波那契数列中任意选定连续的十个数，你能很连续的十个数，你能很快说出这些数的和。快说出这些数的和。 其实有公式：这个和，就是其实有公式：这个和，就是所选出的十个数中第七个数的所选出的十个数中第七个数的11倍。

46、倍。 1 1 2 3 5 81321345589144233377610987100“十秒十秒钟钟加加数数”的秘密的秘密数学数学家家发现发现：连续连续 1010个个斐波斐波那契那契数数之和，必定之和，必定等于第等于第 7 7个个数数的的 11 11 倍！倍！1235813213455+89?所以右式的答案是：21 11 = 231101“十秒十秒钟钟加加数数”的秘密的秘密又例如：右式的答案是：3455891442333776109871597+2584?610 11 = 6710102 让观众从你写出推广的斐波那契让观众从你写出推广的斐波那契数列中任何地方划一条线，你能迅速数列中任何地方划一条

47、线，你能迅速说出说出“这条线之前所有各数这条线之前所有各数”的和。的和。 其实有公式：前其实有公式：前 项和项和 = 表示卢卡斯数列的第表示卢卡斯数列的第 项。项。 (请大家课下自己制作请大家课下自己制作“数字表数字表”道具道具)n22,nnLL Ln103 6 斐波那契数列的一些更深刻的性质斐波那契数列的一些更深刻的性质 1） 通项公式通项公式 一 个 正 整 数 序 列 的 通 项 ， 竟 然 可 以 用 带 有 无 理 数一 个 正 整 数 序 列 的 通 项 ， 竟 然 可 以 用 带 有 无 理 数 的式子表达，这是十分的式子表达，这是十分意外的结果意外的结果。 该证明由法国数学家比

48、内（该证明由法国数学家比内（Binet）做出。）做出。 南 开 大 学 数 学 学 院 学 生 吴 云 辉 、 李 明 昱 曾 经 在南 开 大 学 数 学 学 院 学 生 吴 云 辉 、 李 明 昱 曾 经 在“数学文化数学文化”课的读书报告中，又给出了这一通项公式的课的读书报告中，又给出了这一通项公式的多个证明多个证明11515235nnnF5104 2） 斐波那契数列的后项除以前项做斐波那契数列的后项除以前项做成的分数数列成的分数数列 的极限为黄金的极限为黄金比的倒数比的倒数 称为第二黄金比。称为第二黄金比。 即有即有 1 2 3 5 8,1 1 2 3 522( 51)511.6182

49、51( 51)( 51)12lim1.61851nnnFF105斐波那契斐波那契数数列列的有趣特性的有趣特性数学数学家家发现发现了了许多许多斐波那契斐波那契数数列的特性。列的特性。例如：例如：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 第第3 3、6 6、9 9、1212等项等项的的数数字能被字能被2 2整除。整除。第第4 4、8 8、1212等项等项的的数数字能被字能被3 3整除。整除。第第5 5、1010等项等项的的数数字能被字能被5 5整除。整除。其其余依余依此此类类推。推。106从斐波那契数列体味数学文化从斐波那契数列体味数学文化要善于从生活中发现问题要善于从生活中发现问题解决问题，首先要明确概念，提炼解决问题，首先要明确概念，提炼其精髓其精髓采取合适的方法（如列表）是关键采取合适的方法（如列表）是关键善于总结，从而得出一般规律（这善于总结，从而得出一般规律（这里，建立了二阶递推公式）里，建立了二阶递推公式）107本节结束本节结束 谢谢谢谢 ！