高等数学知识在医学中的应用举例.doc

《高等数学知识在医学中的应用举例.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学知识在医学中的应用举例.doc（13页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用00高等数学在制药工程中的应用专业：制药工程姓名：雷金凤 指导老师：牛健人摘要摘要：高等数学是化工学院的重要基础课程，数学方法为制药专业的深入研究发展提供了强有力的工具。本文讲述运用高等数学基础知识解决生物、化学方面中的一些实际问题，主要包括化工原理中柏努利方程式、混合气体粘度的计算、细胞生长计算、三维重建等的应用关键字关键字：高等数学;制药;化学0 0 引言引言制药工程是一个化学、药学（中药学）和工程学交叉的工科类专业，以培养从事药品制造，新工艺、新设备、新品种的开发、放大和设计人才为目标，而高等数学在制药工程专业方向起着关键作用。相对于初等数学而言，

2、数学的对象及方法较为复杂的一部分。高等数学是比初等数学“高等”的数学。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为小学初中的初等数学与本科阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科，主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程。本文通过实例对高数的理论加以运用及论证，为自己学好高数在数学方面的发展奠定基础。1 1 在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用在化工原理中常用的柏努利方程式中的应用化工生产过程中常于密闭管道内

3、输送液体，使液体流动的主要因素有（1）流体本身的位差；（2）两截面间的压强差；（3）输送机械向流体外作的外功。四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用11流动系统的能量衡量常用柏努利方程式，下面来介绍柏努利方程式。定态流动时液体的机械能衡量式为（1）fepphWvdpuzg2122该式队可压缩液体和不可压缩液体均适用。对不可压缩液体， （1）式中项应视过程性质（等温、绝热或多变过程）按热力学原则处理，对不可2ppvdp压缩液体，其比容 或者密度为常数，故，代vpppdpvdppppp21221入（1）式有：fehWpuzg22或 （2）fehpugzWpugz22 2 212 1 122（2）

4、式称为柏努利方程式。需要注明的是，为动能，为位能，为静态能，为有效能，22ugzpeW为能量损耗，为高度差。fhz2 2 混合气体粘度的计算混合气体粘度的计算常温下混合气体的计算式为（3） niiiniiiim MyMy121121 其中为常温下混合气体的粘合度（Pa.s） ；为纯组分 i 的摩尔分率；miy为混合气体的温度下，纯组分 i 的粘度（Pa.s） ；为组分 i 的分子量iiM（Kg/kmol） 。例如：空气组分约为（均为体积积分率） ，试利用01. 0,78. 0,21. 022ArNO四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用22的粘度数量，计算常温下时空气的粘度？ArNO,22C

5、020解：常温下空气可视为理想气体，故各组分的体积积分率等于摩尔分率，的分子量分别为 32，28 及 39.9，经查表知道常温下时各组分ArNO,22C020的粘度为sPaArsPaNsPaO55 25 21009. 2107 . 11003. 2代入（3）式计算空气的粘度，即sPaMyMyniiiniiiim 521 21 2121 521 521 51211211078. 19 .3901. 02878. 03221. 09 .391009. 201. 028107 . 178. 0321003. 221. 0 3 3 在细胞生长计算中的应用在细胞生长计算中的应用随着细胞的生成繁殖，培养基

6、中的营养物质被消耗，一些有害的代谢产物在培养液中累积起来，细胞的生长速度开始下降，最终细胞浓度不再增加，进入静止期，在静止期细胞的浓度达到最大值。如果细胞的生长速率的下降是由于营养物质的消耗造成的，可以通过以下的分析来统计分批培养可能达到的最大细胞浓度。设限制性基质为 A，其浓度为 a，且 A 的消耗速度与细胞浓度成正比：（4）XKdtdaa（4）式中为常数，假定接种后培养液中细胞浓度为，且立即进入指aK0X数生长阶段，且一直保持到静止期，则（5）)exp(0tXXmm其中为分批培养达到的最大细胞浓度，即 A 完全耗尽时细胞浓度，由mX四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用33（3）式和（4

7、）式可得)(00XXKam ma整理得 00aKXXma m也就是说分批培养过程中获得的最大细胞浓度与限制性基质的厨师浓度存在着线性关系。如果细胞及生长速度的下降是由于有害物质的积累，可以认为1-f(有害物质浓度)KXdtdX为方便起见，假定细胞生长速率与有害物质浓度有线性关系（5）)1 (tbCKXdtdX其中 k, b 为常数，为有害物质浓度。由于有害物质有细胞产生，可以tC认为 qXdtdCtt=0 时，=0 （6）tC式中 q 为常数，由（6）式可得，代入（5）式有：ttqXdtC 0tqXdtbKXdtdX01 (因此有效生长速度为)1 (10tXdtbqKdtdX X随着时间急剧下

8、降，当时，细胞的生长停止。tXdtbq014 4 细胞团内的氧传递细胞团内的氧传递细胞集成团时，氧在细胞团中边扩散边备细胞消耗，为方便起见，把细胞团看作一个均匀的耗氧球体，设它的半径为 R，密度为，取其半径为 r，厚度为 dr 的一层球壳进行稳态时的物料衡量四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用44drrQrdrdCDrdrdCDodrrr2224| )4(| )4( 2其中 D 为氧在细胞内的扩散系数，C 为半径 r 处的氧浓度，将上式整理，可得到 2222)|(ordrr QrdrdrdCrdrdCrD 当时，0dr 222)(oQrdrdCrdrdD因此（7） 2)2(22oQdrdC

9、 rdrCdD细胞的比耗氧速率与耗氧浓度的关系适用米氏方程CKCQQmmo o)( 22式中为最大耗氧速率，为米氏常数，代入（7）式中，有moQ )( 2mK（8）CKCQdrdC rdrCdDmmo )()2(2 22边界条件为 r=R 时，LCC R=0 时，0drdC取代入（8）式，有LmLCK RrXCCy,（9）yay dxdy xdxyd 222其中。moLQDCRa)(662边界条件则改为 x=1 时，y=1x=0 时，。1dxdy设细胞团的表现比耗氧速率为，Q四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用55，drCKCQrdrrQRmmoR)()(34 3420333整理得 ，10

10、2 3)( 2dxyyx QQmo（9）式可写作 ，yyax dxdyxdxd 2 2)(因此有11 02|3)(3 )( 2x modxdy adxdyxaQQ若取细胞团表面的比耗氧速率作为比较，则1)()(22 moLmL moQCKCQQ细胞元的耗氧有效因子为，a 则反映了细胞团中最大反1|) 1(3xdxdy aQQ应速率与最大传输速率之比，反应速率越大，传递速率越小，细胞团内部缺氧就越重，有效因子也就越低。5 5 在中心导体模型中的应用在中心导体模型中的应用长柱状细胞，如神经轴突和肌纤维细胞，其长度尺寸远大于细胞直径，电流横跨细胞膜的电阻往往比朱庄方向流经一段细胞内介质所代表的中心电

11、阻高出很多，从而细胞流内流动的电流在溢出膜以前在柱轴方向内部导体中流过相当长距离，这种中心导体概念成为用电缆理论分析长纤维状细胞中电流、电位分布的基础。若设为单位长膜电阻，为单位长膜电容，分别为胞内、mrmCeirr ,外液单位长介质电阻。令胞内、外电位分别为，于是膜两侧电位差eiVV ,。经推导可得：eimVVVtVCrVxV rrrm mmmmeim 22令 mmm eimCrrrr,2四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用66则得到标准的电缆方程形式：tVVxVm mmm 22 2若细胞膜处于电绝缘状态，单位长度膜面积上的电流，即=0，0mi22xVm 上式成为一阶常微分方程：0dtd

12、VVm mm解得：，其中为 t=0 时的值。显然时间常数表征均匀mt meVV/ 00VmVm膜电位差的自然衰减性质。对非均匀性质莫而言，的被动衰减较为复杂，mV仅是一个主要衰减因子。m当输入为直流稳态电压时，上式简化为。如果在 x=0 处维持mmVdxVd22 2，其余地方均不加任何电压，即处为有限值，则方程的解为0VVmxmV。描述了中心导体中电压稳态分布将随距离而自然衰减。对于/ 0x meVV到的双无限长电缆，x=0 处维持稳定值要求外加电流加倍。xx0VVm无限与半无限长电缆上的稳态分布，为实验确定细胞参数提供了依据。6 6 在动力学猝灭与静态猝死中的应用在动力学猝灭与静态猝死中的应

13、用激发态分子或荧光团由于加入像 I 与等猝死剂，彼此发生碰撞而造成荧2O光的猝死，又叫做动力学猝死或动态猝灭。这种猝死服从 Stern-Volmer 方程。此方程从荧光量子效率或从激发衰变率都可导出。若 r 为衰变率，则其与有猝灭剂时的总衰变率的比值即0QKrr FFq或者写成四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用77(10)1100QKQKFFdq式中分别为没有和有猝死时的荧光，Q为猝灭剂的浓度，为双分FF ,0qK子猝死常数，是荧光团在无猝灭剂时的荧光寿命，就是 Stern-Volmer 猝灭0dK常数，这说明荧光团的寿命愈长，它与猝灭剂碰撞的几率。此几率则决定于它们的扩散速率、分子大小

14、与浓度等：310/4 aADKqD 为荧光团与猝灭剂扩散系数之和，a 为分子半径之和，A 为亚氏常数，测定可以给出扩散系数的情况。测定最好用荧光寿命而不用荧光强度，qKqK因为后者可能被其他因素干扰，其中一种就是下面要叙述的静态猝灭。碰撞猝灭可使激发态去布局(depopulation)，若激发态在有和无猝灭剂时的寿命分别为，则0和11 0 )(QKrrq因此， (11)1/00QKq此式与(10)式相似。它说明动态猝死的一个重要特性，即荧光强度的降低与荧光寿命的减少是等价的。因为的测定较方便，通常还是常用此参量。又FF /0因为的猝灭剂浓度呈线性关系，所以对Q左图可得到一条直线，FF /0FF

15、 /0其斜率就等于或，从而可得到猝灭常数的数值。Stern-Volmer 的线性关dK0qK系只适用于溶液中只有一类荧光团的情况，并且它们对猝灭剂易感性是相同的。若细筒中含有两类荧光团，并且其中只有一类对猝灭剂易感，则用 Stern-Volmer 方程得到的是像 X 轴弯曲的曲线。静态猝死是荧光团与猝灭剂在基态时就形成的不发荧光的络合物，当此络合物种荧光团吸收光能激发时，即刻回到基态而不发光，所以此时荧光强度与猝灭剂浓度的关系可从络合物形成时的络合常数（）推导出来。静态猝灭的qK方程式与动态猝灭相似，只是在此以代替，则有sK0qK四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用8810QKFFs若在一

16、溶液中同时存在静态和动态猝死，这时 S-V 曲线就是向 Y 轴弯曲的曲线。因为发光的分数是未络合的部分(f)以及未被碰撞猝灭的部分两者的0/ FF乘积，因此0QKrrfFFq而，则：11QKfs)1(10QKQKFFsd这个修改过的 Stern-Volmer 方程是Q的二次方程)(120QKKQKKFFsdsd令)(2QKKQKKKsdsdapp则 10QKFFapp用对Q作图亦可得到一条直线，此直线的截距为，斜率为。appKsdKK sdKK至于动态部分则可用来测定，即。10QKd7 7 在三维重建中的应用在三维重建中的应用目前用于研究三维重建的生物原料有单科蛋白、噬菌体、单纯疱疹病毒核衣壳

17、和膜蛋白结晶体，从二维投影到三维重构的方法很多，但最适于 TEM 的方法是傅里叶变换，下面分别介绍： (1) 傅里叶变换若函数 f(x)满足傅氏积分定理的要求，则在其连续处有四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用99 aaxiaaxidedxexfxf)(21)(若令 频域aaxidxexfF)()(则 空域（时域）aaxideFxf)(21)(则和 f(x)可通过积分相互表达，称为傅里叶变换对。若扩展到三维，)(F和 f(x,y,z)也一样是傅里叶变换对。),(zyxF三维重构的目的是要得到 f(x,y,z)，如能得到，则可通过傅氏),(zyxF变换的到 f(x,y,z)。电镜的二维图像相

18、当于 s(x,y)通过傅氏变换得到，如果能在),(yxS和之间建立联系，则问题得到解决。),(yxS),(zyxF(2) 中央界面定理(central slice theorem)一个无力二维投影的傅里叶变换严格等于该物体的三维傅里叶变换中与投影方向垂直的通过原点的截面（中央界面） 。这个定理告诉我们，二维投影的傅里叶变换是三维傅里叶变换的一个特例。可具体为，假设物体二维投影以下面的函数表示：dzzyxfyxs),(),(令其二傅里叶变换为，则有),(yxSdxdyyxiyxsSyxyx)2exp(),(),(令样品二维像 f(x,y,z)的三维傅里叶变换为，则有),(zyxFdxdydzzy

19、xizyxfFzyxzyx)2exp(),(),(当时，得到轴的傅里叶空间中间界面。根据0zyx,),(zyxF上等式可得到dxdyyxiyxsdxdydzyxizyxfFyxyxyx)2exp(),()2exp(),()0 ,(所以=。)0 ,(yxF),(yxS四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用1010这就证明了物体在 z 方向的投影的二维傅里叶变换与其三维像),(yxSf(x,y,z)的三维傅里叶变换在时的截面相等。如果我们能得),(zyxF0z到各个方向投影的一系列，就可以整合出 F。再利用傅里叶变换的反变换，is就可以从频率域回到空间域重建出样品的三维图像zyxzyxia zy

20、xdeFzyxfzyx)(),(),(以上是重建的基本理论。(3) 三维重建的步骤首先要确定三维重建需要收集的中央截面数，从一系列倾角观察面进行收集。如 Henderson 等对 6R 分子进行 0.7nm 分辨率的三维重购时就从倾00570 角范围内记录了 18 张样品照片，15 张电子衍射图。通常获得一个分辨率为的结构所需要的最少观察面数 N 由下式给出：/DN 式中 D 为样品的线度。如前所述，在电子衍射图中，由于透过样品的电子束直接落在照相底片上，不受电镜分辨率的约束，因此根据规则的电子衍射花样，可精确计算出结构因子的振幅，而从高分辨电子显微镜的密度分布可容易计算出相位。为了从照片中抽

21、取出结构信息，需要进行傅里叶变换。实验中是将电镜照片通过光学衍射仪完成如下公式： dxdykyhxiyxIkhF)(2exp),(),(的傅里叶变换，产生明显的晶体衍射图，即从像平面返回到衍射平面，由此得到相应的像素（点阵） ，再利用光密度扫描仪扫描，即得到密度的傅里叶变换。最终把电镜图像转化成数字信号。综合从电子衍生图得到的傅里叶项振幅和从电镜显微像得到的相位，再经傅里叶合成得到晶体的一个晶电子密度图。由电子光学线性成像原理可知，电子波经过薄晶样品以后，携带了样品沿电子束方向投影信息，衍射到达物镜的后焦面，这个过程在数学上等于进行了一次傅里叶变换，也就是说在 TEM 物镜后焦面上得到的电子衍

22、射像就是前述四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用1111的，只要改变样品的倾角就可以得到一系列的。根据中),(yxS), 2 , 1(,iSi央界面定理就可以得到，再通过傅里叶的反变换则得到 f(x,y,z)。),(zyxF8 8 在振动光谱中的应用在振动光谱中的应用一般说来，蛋白质含有多种不同的二级结构，而特征振动频率则反映了多肽或蛋白质的特定二级结构，下面介绍从谐振子模型来说明双原子分子的振动光谱：若设分别为相连的两个原子 1 和 2 的质量，x 为在时间 t 离开中心的21, mm位移，则有：恢复力： 22dtxdmmaFkxF化简上两式，可得到（12）022 kxdtxdmK 为键

23、力常数，它是键强度的度量。解（12） ，得到：，)2cos(vtAx对 x 两次微分得到代入(12)是得：22dtxd振动频率 mkv21其中 m 用代入，为折合质量。2121 mmmm 则有 kv21以波数表示为：k cv21 即分子的伸展振动频率取决于两个因素：键力常数 k 和折合质量。四川大学本科论文 高等数学在化工中的应用12129 9 总结总结本文从生物，化学、药学方面分析高等数学相关理论的作用，将数学理论与经济实践相结合，不仅巩固了自己对高数相关知识，并直观感受学有所用，深该的认识到高等数学的博大精深，为自己进一步学好高数奠定基础。参考文献：参考文献：1高等数学上册第六版 同济大学应用数学系出版 20012高等数学下册第六版 同济大学应用数学系出版 20013迈克尔.帕金著，张军等译.微观经济学M.北京：人民邮电出版社，20094李铮等编著，高等数学M，北京，科学出版社，2000