高等数学中的美.doc

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1、高数课程论文高等数学中的美高等数学中的美PB07210244 肖阳辉1 1、微分和积分的对立统一微分和积分的对立统一恩格斯作为人类导师，曾对各门学科分支都进行过深刻的研究。他在他的 自然辩证法一书中说了这么一段话： “如果一杯水的最上面一层分子蒸发了，那么水层的高度 x 就减少了 dx， 这样一层分子又一层分子地继续蒸发，事实上就是一个连续不断的微分。如果 热的水蒸气在一个容器中由于压力和冷却又凝结成水，而且分子又一层一层地 积累起来，直到容器满了为止，那么这就真正进行了一种积分。 ” 这段话用生活现象浅显却精辟地指出了微分和积分是一对矛盾，对立统一 而又互相转化。这道理很简单，却又很深刻。事

2、物内部的矛盾着的两方面，因 为一定的条件而各向着和自己相反的方向转化了去，向着它的对立方面所处的 地位转化了去。我们在学习的同时，如能从这些角度去体会些数学哲学的意味， 去感悟些对立而统一之美感，对提升数学素养、把握高等数学之精髓是很有裨 益的。 从数学史的发展来看，微分和积分的建立也是先分立而后由于生产需要得 到统一的。然而两者并没有因为走到一块而失去了独立存在的意义，我们现在 依然要分别深入地研究微分学与积分学，去发掘它们更深层次的应用和联系。 正如中国古语所说的：“分久必合” ，在微积分发展的道路上，先是牛顿-莱布 尼茨公式统一了单变量函数的微分学和积分学，后是格林公式、高斯公式和斯 托

3、克斯公式统一了多变量函数的微分学和积分学，外微分形式的出现，使得这 一统一更加简洁、一般化。或许,当初外微分的出现就是为了实现微积分的这样 一种完满的统一? 可见, 事物内部的矛盾着的两方面，由于相互的对立和统一,能够不断地促 进事物本身的发展。这是数学的美丽,也是辩证法的美丽。2 2、傅立叶分析的和谐之美傅立叶分析的和谐之美简洁、优美的科学定理和公式向来为人们所赞赏，牛顿的力学定律、麦克 斯韦的电磁理论、爱因斯坦的相对论都是这方面的典范。在数学领域里能与之 媲美的，我觉得就应该有傅立叶级数和傅立叶变换。她们仿佛璀璨星河里最夺 目、排列最有规律的星座，看到了她们似乎就能勘透整个天空的奥秘，悟到

4、了 宇宙的真谛。 正弦函数可以称得上是最美丽最和谐的周期函数，正弦函数的图像就是大 自然的图像。波光粼粼的海浪、连绵起伏的山峦、蜿蜒爬行的蛇类，哪里没有 她们的影子？更因为具备一些独特的性质，正弦函数作为一类有效的数学工具 在社会生产中被广泛地运用。而傅立叶这个法国数学家中的天才所做的就 是让更普通、更一般化的函数也能写成正弦函数的和的形式，使得正弦函数的 功用得到了淋漓尽致的发挥。 任意函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式。这高数课程论文是多么神奇的发现！而正弦函数又是那么简单和谐、易于深入研究。这好比化 学上我们把复杂的分子拆分成一个个易于理解的原子来研究一样，问题简化

5、成 一些基本模型，西方科学伟大的“分析”一词又一次大显身手。 更奇妙的是，傅立叶变换还具有一些非常优美的特征：1、傅立叶逆变换容 易求出，且形式与正变换很类似；2、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而 线性微分方程的求解可转化成常系数的代数方程的求解，在线性时不变的物理 系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其 对不同频率正弦信号的响应来获取；3、傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简 单的乘积运算，从而可以快速地计算卷积；4、离散形式的傅立叶变换可以利用 数字计算机快速的算出。正是由于上述良好性质，傅立叶变换在组合数学、信 号处理、物理学、概率统计、密码学等领域都有着

6、广泛的应用。不少同学的论 文里对傅立叶分析的运用都有系统的研究，在这里就不多说了。3 3、无处不在的对称之魅无处不在的对称之魅有人说，数学和音乐是我们这个星球上最深刻、最抽象的两种语言。数学 具有着艺术的许多特点。如果说天和地、阴和阳、刚和柔是自然界对立统一的 法则，那么数学上的对称与建筑、美术、人体学上的对称一样，是自然界的另 外一种和谐的法则。 奇偶函数的对称性、微积分中很多具有轮换性的算式,一方面可以增进我们 学习数学的美学感受，另一方面可以帮助我们非常轻巧地解题。解题过程中考 虑对称的因素,有时可起到事半功倍的效果。许云鹏同学的对称性-解题的 “宰牛刀” 一文对此有细致的分析，在此暂不

7、赘述。 很多函数图像的完美对称，更是使得数学之美在现实生活中得到了广泛的 应用。胡凌汛同学的美丽的二元函数一文中,那些函数的建筑模型之所以广 泛应用和突显美感的原因,也很大程度上是函数本身的对称之魅力。 对称也许是造物主的杰作,而数学则是人类从造物主那里听来的声音。自然 界中的对称都可以用数学对称模型来描述.对称性的无处不在,那是彰显了数学 的无处不在,美的无处不在。参考文献：参考文献：1、恩格斯 自然辩证法 人民出版社 19712、罗贯中 三国演义 人民文学出版社 1998.53、科大数学教研室 高等数学导论第三版 2007.74、许云鹏 对称性-解题的“宰牛刀” 宣老师主页5、胡凌汛 美丽的二元函数 宣老师主页