广义不变子空间的性质.doc

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1、2018 年 第 1 期 学 报（自然科学） 第 39 卷 总 第 275 期 数学及应用数学 广义不变子空间的性质 李煜彦 摘 要：给出了广义不变子空 间的概念，它是不变子空间的一个 推广 .文中讨论 了广义不变子空间的交 与直和，得到了判断广义不变子空间的一个方法，进而讨论了广义不变子空间与特征向量之间的关系 . 关键词：向量空间；不变子空间；广义不变子空间；特征向量 中图分类号： O151 文献标识码： A 文章编号： 1008-7974（ 2018） 01-0038-03 DOI： 10.13877/22-1284.2018.02.011 不变子空间是线性变换中一个非常重要的 概念，它

2、在方程的求解、矩阵的特征根、矩阵的对 角化、向量空间的直和分解等方面都有非常广泛 的应用 .近年来，有许多学者研究了不变子空间 及其方法的应用 .2008 年，王波研究了不变子空 间的性质 ； 2014 年，谭尚旺研究了线性变换不 变子空间直和分解定理 ； 2017年，张亚敏研究 了广义的五阶 KdV 方程的不变子空间 .这些结 果都是在单个线性变换下考虑问题的 . 本文以不变子空间的概念为基础，考虑在任 意线性变换下研究相关问题，给出了广义不变子 空间的定义，得到了广义不变子空间的性质和判 断方法，讨论了广义不变子空间与特征向量之间 的关系 .设 V 是数域 F 上的向量空间，我们可以 得到

3、 两 个重 要结 论 ： 若 W 是 V 的 子 空间 ， 1 2 r 1 2 r V 的广义不变子空间，则对任意 S ， W 必包 含 的一个特征向量 . 1 预备知识 定义 1 设 是数域 F 上向 量空间 V 的 一个线性变换， W 是 V 的一个子空间，若 W 中 向量在 下的像仍在 W 中，则称 W 是 的一个 不变子空间 . 定义 2 设 V 是数域 F 上 的向量空 间， L(V) .若对 F 中的数 ，存在 V 的一个非零 向量 ，使得 () = ，则称 是线性变换 的 特征值， 称为 的属于本征值 的特征向量 . 定义 3 设 S 是数域 F 上的向量空间 V 的 所有线性变

4、换所成的集合， W 是 V 的一个子空 间，称 W 是 V 的广 义不变子空间，如果对任意 S ，都有 (W) W . 显然，若 W 是 V 的广义不变子空间，则 W 是 V 的不变子空间，向量空间 V 本身和零子空 间是 V 的广义不变子空间 . 本文除特别说明外， FV 均指的是数域 F 上 收稿日期： 2017-06-14 基金项目：陇南师范高等专科学校教学改革项目（ JXGG201714）；陇南师范高等专科学校校级科研项目（ 2016LSZK02002） . 作者简介：李煜彦，甘肃西和人，陇南师范高等 专科学校数信学院讲师（甘肃 成县 742500） . 38 李煜彦广义不变子空间的性

5、质 1 2 3 4 1 1 李煜彦 广义不变子空间的性质 的向量空间 . S 均指的是数域 F 上的向量空间 V 的所有线性变换所成的集合 . 下面给出广义不变子 空间若干性质和重要 定理 . 2 主要结果 性质 1 设 W1和 W2 是 FV 的广义不变子空 间，则以下结论成立 . （ 1） W1 W2 是 V 的广义不变子空间； （ 2） W1 W2 是 V 的广义不变子空间 . 证明 （ 1）对任 意 S ，因 为 W1和 W2 都 是 V 的广义不变子空间，故有 (W1) W1 ， (W2) W2 . 又因为 (W1 W2)(W1)且 (W1 W2) (W2) ， 所以 (W1 W2)

6、 (W1) (W2) W1 W2 . 从而 W1 W2 是 V 的广义不变子空间 . （ 2）容易得出 (W1 W2) (W1) (W2) W1 W 2 ，即 W1 W2 是 V 的广义不变子空间 . 根据性质 1，我们容易得到下面的结论 . 性质 2 设 W1,W2,Wn 是 FV 的广义不 变子空间，则以下结论成立 . i = 1 （ 2） i =1Wi 是 FV 的广义不变子空间 . 下面结论将说明广义不变子空间关于子集 具有遗传性质 . 性 质 3 设 V 是 数域 F 上 的 向 量 空 间 ， X Y V .若 X 是 Y 的 广义不 变子空间 ， Y 是 V 的广义不变子空间，则

7、 X 是 V 的广义不变 子空间 . 证 明 对 任 意 S ，有 (Y) Y . 下 证 (X) X . 令 g = Y:Y Y .则易知 g 是 Y 上的线性 变换，且 g S .由于 X 是 Y 上的广义不变子空 间 ，因 此 g(X) X ，从 而 (X) = Y (X) = g(X) X . 下面给出一种判断广义不变子空间的方法 . 定理 1 设 V 是数域 F 上 的 向量空间， W 1 2 r 是 V 的 广义不 变子空间 的充要条 件是对 任意 1 2 r 证明 必要性 .设 W 是 V 的广义不变子空 间 ，则 对 任 意 S ，都 有 (W) W . 而 1 2 r 1 2

8、 r 充分 性 .设 是 W 中的任意向量，则存在数 域 F 的数 k1,k2,kr 使得 1 1 2 2 r r 于是有 1 1 2 2 r r 1 1 2 2 r r 1 2 r 的向量，所以 () W .因此， W 是 V 的广义不 变子空间 . 引理 1 设 1, 2, r是 n 维向量空间 FV 的一 组线性 无关 的向 量，那 么总 可以添 加 r+ 1 n 1 2 r r+ 1 n 定理 2 设 V 是复数域 F 上的向量空间，且 dim V = n .若 W 是 V 的广义不变子 空间，则任 意 S ， W 必包含 的一个特征向量 . 证 明 令 dim W = r . 取 W

9、 的 一 个 基 1 2 r 1 2 r 1 2 r r +1 n 1 2 r r +1 n 0 A2 0 A2 1 2 r i 特征根也是 A 的特征根，取其中的一个为 ，令 X01是 (Ir - A1)X = 0 一个非零解向量 . 0 n-r 2 即 X0是 (In -A)X = 0 的非零解向量 . 1 2 r r+1 n 0 1 2 n 01 39 n （ 1） W 是 V 的广义不变子空间； n 2018 年 学 报（自然科学） 第 1 期 ( ) = ( 1, 2, r, r +1, n)X 0 = 不变子空间已经有很广泛的应用，受到了许 ( 1, 2, n )AX0 ( 1,

10、2, n)(X0) = 多作者的关注 .关于本文定义的广义不变子空间 ( 1, 2, n)X0 = ， 是否有类似很好的应用将是我们后续关注的问 即 是 的属于特 征根 的一个特征向量，从而 题 . 结论得证 . 3 结论 本文以不变子空间的概念为基础，给出了广 义不变子空间 的定义，讨论了广义不变子 空间 交、直和、遗传等性质和判断方法 .得到了广义不 变子空间关于交与直和都是封闭的，关于子集具 有遗传性质，同时提出了广义不变子空间的一个 充要条件 .另外，文中还讨论了广义不变子空间 与特征向量之间的关系，得出了对于数域 F 上 n 维向量空间 V ，若 W 是 V 的广义不变子空间， 则任

11、意 S ， W 必包含 的一个特征向量 . 参考文献： 1北京大学数学 系几何与代数教研 室代数小组 .高 等代数 M .北京：高等教育出版社， 2003. 2王 波 .不 变 子 空 间 的 一 个 性 质 J . 大 学 数 学 ， 2008， 22（ 4）： 182-183. 3谭 尚旺 .线 性 变换 不变 子 空间 直和 分 解定 理注 J .高等数学研究， 2014， 17（ 4）： 25-26. 4张亚敏 .广义 的五阶 KdV方 程的不 变子空间 J . 首都师范大学学报， 2017， 38（ 3）： 19-22. 5张禾瑞，郝鈵新 .高等 代数 M .北京：高等教育出 版社，

12、 1983. （责任编辑：陈衍峰） （上接第 37 页） 本文所提 到的聚类算 法（ RAGR）与比例 分 割（ Ratio Cut）、归一化分割（ Normalized Cut）在合 成数据中不同噪声环境下标准聚类精度（ ACC） 和归一化互信息（ NMI）的比对结果，如表 1所示 . 表 1 RAGR、 Ratio Cut、 Normalized Cut在 合成数据中不同噪声环境下的 ACC 和 NMI的比对结果 Noise RCut NCut RAGR 0.65 0.9900 1 1 ACC 0.75 0.5700 0.8500 1 0.85 0.3600 0.4200 0.9700 0

13、.65 0.9750 1 1 NMI 0.75 0.3416 0.7011 1 0.85 0.1157 0.1541 0.9334 4 结论 在相同的 初始化条件下 ，用不同的聚类 方 法，重复超过 60 次试验 .实验结果表明当噪声逐 渐增大时，本文所述聚类算法的精确度明显高于 其他传统聚类算法的精确度，从而体现了本文所 述聚类算法的鲁棒性 .合成数据集实验结果证明 了本文所述聚类算法的可行性及有效性 . 参考文献： 1周爱武，于亚飞 .K-Means 聚类算法的研究 J .计 算机技术与发展， 2011， 21（ 2）： 62-65. 2 U Luxburg. A tutorial on

14、spectral clustering J .Sta tistics and Computing， 2007， 17（ 4）： 395-416. 3 Nie F， Wang X， Jordan M， et al. The Constrained Laplacian Rank Algorithm for Graph-Based Clustering J . Artificial Intelligence， Phoenix， 2016， 34（ 5）： 1012-1016. 4 Nie F， Wang X， Huang H. Clustering and projected clustering

15、with adaptive neighbors J .Knowledge Discovery and Data Mining， 2014， 42（ 6）： 977-986. 5 Fan K. On a theorem of Weyl concerning eigenval ues of linear transformations J . Natl Acad Sci， 1949， 35 （ 11）： 652-655. 6 Nie F， Huang H， Cai X C. Efficient and robust fea ture selection via joint 2， 1-norms minimization J .Neural Information Processing Systems， 2010， 37（ 12）： 566-572. （责任编辑：陈衍峰） 40