(1987-2014)考研数学一真题及答案.pdf

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1、1987 年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一) 试卷一、填空题 (本题共 5 小题,每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上 ) (1) 当x=_ 时, 函数2xyx取得极小值 . (2) 由曲线lnyx与两直线e1yx及0y所围成的平面图形的面积是 _. 1x(3) 与两直线1yt2zt及121 111xyz都 平 行 且 过 原 点 的 平 面 方 程 为_. (4) 设L为 取 正 向 的 圆 周229,xy则 曲 线 积 分2(22 )(4 )Lxyy dxxx dy= _. (5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),则向量

2、(2, 0, 0)在此基底下的坐标是 _. 二、(本题满分 8 分) 求正的常数a与, b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat成立. 三、(本题满分 7 分) (1) 设f、g为 连续可微函数,(,),(),ufx xyvgxxy求,.uvxx(2)设 矩 阵A和B满 足 关 系 式2,AB = AB其 中301110 ,014A求矩阵.B四、(本题满分 8 分) 求微分方程26(9)1yyay的通解 , 其中常数0.a五、选择题 (本题共 4 小题,每小题 3 分, 满分 12 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)

3、设2( )( )lim1,()xaf xf axa则在xa处(A)()fx的导数存在 , 且()0fa(B)()fx取得极大值(C)()fx取得极小值(D)()fx的导数不存在(2) 设()fx为已知连续函数0,(),stItf tx dx其中0,0,ts则I的值(A) 依赖于s和t(B) 依赖于s、t和x(C) 依赖于t、x, 不依赖于s(D)依 赖于s, 不依赖于t(3) 设常数0,k则级数2 1( 1)nnknn(A) 发散(B) 绝对收敛(C) 条件收敛(D)散 敛性与k的取值有关(4) 设A为n阶方阵，且A的行列式|0,aA而*A是A的伴随矩阵，则*|A等于(A)a(B)1a(C)1

4、na(D)na六、 （本题满分 10 分）求幂级数1112n n nxn的收敛域，并求其和函数. 七、 （本题满分 10 分）求曲面积分2(81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy其中是由曲线113( ) 0zyyf x x绕y轴旋转一周而成的曲面 , 其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2八、 （本题满分 10 分）设函数()fx在闭区间0,1上可微 , 对于0,1上的每一个, x函数()fx的值都在开区间(0,1)内, 且()fx1, 证明在(0,1)内有且仅有一个, x使得().fxx九、 （本题满分 8 分）问,a b为何值时 , 现线性方程组1234234234123402

5、21(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax有唯一解 , 无解, 有无穷多解 ?并求出有无穷多解时的通解. 十、填空题 (本题共 3 小题, 每小题 2 分, 满分 6 分. 把答案填在题中横线上 ) (1) 设在一次实验中 , 事件A发生的概率为,p现进行n次独立试验 , 则A至少发生一次的概率为_;而事件A至多发生一次的概率为 _. (2) 有两个箱子 , 第 1 个箱子有 3 个白球 ,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球 ,4 个红球 .现从第 1 个箱子中随机地取1 个球放到第 2 个箱子里 , 再从第 2 个箱子中取出 1 个球, 此球是白球的概率为 _.已知上述从第

6、2 个箱子中取出的球是白球, 则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_. (3) 已知连续随机变量X的概率密度函数为2211( )e,xxfx则X的数学期望为 _,X的方差为 _. 十一、 （本题满分 6 分）设随机变量,XY相互独立 , 其概率密度函数分别为( )Xfx1001x其它,( )Yfye0y00yy, 求2ZXY的概率密度函数 . 1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一) 试卷一、( 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分) (1) 求幂级数1(3)3nn nxn的收敛域 . (2) 设2( )e , ( )1xf xfxx且()0x, 求()x及其定义域

7、. (3) 设为曲面2221xyz的外侧 , 计算曲面积分333.Ix dydzy dzdxz dxdy二、填空题 ( 本题共 4 小题, 每小题 3 分, 满分 12 分.把答案填在题中横线上 ) (1) 若21( )lim(1),txxf ttx则( )ft= _. (2)设()fx连续且310( ),x f t dtx则(7)f=_. (3) 设周期为2 的周期函数 , 它在区间( 1,1上定义为()fx22x1001xx, 则的傅里叶()Fourier级数在1x处收敛于_. (4) 设 4 阶 矩 阵234234 , ,A B 其 中234, , 均为 4 维列向量 , 且已知行列式4

8、,1,AB则行列式AB= _. 三、选择题 (本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设()fx可导且01(),2fx则0x时,()fx在0x处的微分dy是(A) 与x等价的无穷小(B) 与x同阶的无穷小(C) 比x低阶的无穷小(D) 比x高阶的无穷小(2) 设()yfx是 方 程240yyy的 一 个 解 且00()0,()0,f xfx则函数()fx在点0x处(A) 取得极大值(B)取得极小值(C) 某邻域内单调增加(D) 某邻域内单调减少(3)设空间区域22222222 12:,0

9、,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则(A)124xdvdv(B)124ydvydv(C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv(4) 设幂级数1(1)n n nax在1x处收敛 , 则此级数在2x处(A) 条件收敛(B)绝 对收敛(C) 发散(D)收 敛性不能确定(5)n维向量组12,(3)ssn 线性无关的充要条件是(A)存 在 一 组 不 全 为 零 的 数12,sk kk使11220sskkk(B)12,s 中任意两个向量均线性无关(C)12,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、( 本题满分 6 分) 设(

10、)(),xyuyfxgyx其中函数f、g具有二阶连续导数 ,求222.uuxyxx y五、( 本题满分 8 分) 设函数()yy x满足微分方程322e ,xyyy其图形在点(0,1)处的切线与曲线21yxx在该点处的切线重合, 求函数().yy x六、 （本题满分 9 分）设位 于 点(0,1)的 质点A对 质 点M的 引 力大 小 为2(0kkr为常数, r为A质点与M之间的距离 ), 质点M沿直线22yxx自(2, 0)B运动到(0, 0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功 . 七、 （本题满分 6 分）已知,APBP其中100100000,210 ,001211BP求5,

11、.A A八、 （本题满分 8 分）已知矩阵20000101xA与20000001yB相似. (1) 求x与. y(2) 求一个满足1PAPB的可逆阵.P九、 （本题满分 9 分）设函数()fx在区间,a b上连续 , 且在(, )a b内有( )0,fx证明: 在(, )a b内存在唯一的,使曲线()yfx与两直线(),yfxa所围平面图形面积1S是曲线()yfx与两直线(),yfxb所围平面图形面积2S的 3 倍. 十、填空题 (本题共 3 小题, 每小题 2 分, 满分 6 分.把答案填在题中横线上 ) (1) 设在三次独立试验中, 事件A出现的概率相等 , 若已知A至少出现一次的概率等于

12、19,27则事件A在一次试验中出现的概率是 _. (2) 若在区间(0,1)内任取两个数 , 则事件”两数之和小于6 5”的概率为 _. (3) 设随机变量X服从均值为 10, 均方差为 0.02 的正态分布, 已知221( )e, (2.5)0.9938, 2ux xdu则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为 _. 十一、 （本题满分 6 分）设随机变量X的概率密度函数为21( ),(1)Xfxx求随机变量31YX的概率密度函数( ).Yfy1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一) 试卷一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.把答案填在题中横线

13、上 ) (1) 已知(3)2,f则 0(3)(3)lim2hfhf h= _. (2) 设()fx是 连 续 函 数 , 且10( )2( ),f xxf t dt则()fx=_. (3) 设平面曲线L为下半圆周21,yx则曲线积分22() Lxy ds=_. (4)向 量 场div u在 点(1,1, 0)P处 的 散度div u=_. (5)设 矩 阵300100140 ,010 ,003001AI则 矩 阵1(2 )AI=_. 二、选择题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)

14、 当0x时, 曲线1sinyxx(A) 有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线 , 又有铅直渐近线(D) 既无水平渐近线 , 又无铅直渐近线(2) 已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210,xyz则点的坐标是(A)(1,1, 2)(B)(1,1, 2)(C)(1,1,2)(D)(1,1,2)(3) 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数 , 则该非齐次方程的通解是(A)11223c yc yy(B)1122123()c yc yccy(C)1122123(1)c yc yccy(D)1122123(1)c yc yccy(4)设函数2( )

15、,01,f xxx而1()sin,n nS xbnxx其中102( )sin,1,2,3,nbf xn xdx n则1()2S等于(A)1 2(B)1 4(C)14(D)12(5) 设A是n阶矩阵 , 且A的行列式0,A则A中(A) 必有一列元素全为0 (B)必 有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、( 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分) (1) 设(2)(,),zfxygx xy其 中 函 数( )ft二 阶 可 导,(,)g u v具有连续二阶偏导数 , 求2 .zx y(2) 设曲线积分2( )cxy

16、dxyx dy与路径无关 , 其中()x具有连续的导数 , 且(0)0,计算(1,1)2(0,0)( )xy dxyx dy的值. (3) 计 算 三 重 积 分(),xz dv其 中是 由 曲 面22zxy与221zxy所围成的区域 . 四、( 本题满分 6 分) 将函数1( )arctan1xfxx展为x的幂级数 . 五、( 本题满分 7 分) 设 0( )sin() ( ),x f xxxt f t dt其中f为连续函数 , 求( ).fx六、 （本题满分 7 分）证明方程 0ln1cos 2 exxxdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根 . 七、 （本题满分 6 分）问 为何值时

17、, 线性方程组13xx123422xxx1236423xxx有解,并求出解的一般形式 . 八、 （本题满分 8 分）假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值 , 证明(1)1为1A的特征值 . (2)A为A的伴随矩阵*A的特征值 . 九、 （本题满分 9 分）设半径为R的球面的球心在定球面2222(0)xyzaa上, 问当R为何值时 , 球面在定球面内部的那部分的面积最大? 十、填空题 (本题共 3 小题, 每小题 2 分, 满分 6 分.把答案填在题中横线上 ) (1) 已知随机事件A的概率()0.5,P A随机事件B的概率()0.6P B及条件概率(|)0.8,P BA则和事件AB的概率()P A

18、B=_. (2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为 0.6 和 0.5, 现已知目标被命中 ,则它是甲射中的概率为 _. (3) 若随机变量在(1,6)上服从均匀分布, 则方程210xx有实根的概率是 _. 十一、 （本题满分 6 分）设随机变量X与Y独立, 且X服从均值为 1、 标准差( 均方差) 为2的正态分布 , 而Y服从标准正态分布. 试求随机变量23ZXY的概率密度函数 . 1990 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一) 试卷一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.把答案填在题中横线上 ) 2xt(1) 过点(1,21)M且与直线

19、34yt垂直的平面方程是_. 1zt(2) 设a为非零常数 , 则lim()xxxaxa=_. (3) 设函数()fx1011xx,则()ffx=_. (4) 积分2220eyxdxdy的值等于 _. (5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),则该向量组的秩是 _. 二、选择题 (本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设()fx是连续函数 , 且e ( )( ),xxF xf t dt则( )Fx等于(A)e(e)( )xx

20、ff x(B)e(e)( )xxff x(C)e(e)( )xxff x(D)e(e)( )xxff x(2) 已知函数()fx具有任意阶导数, 且2( )( ) ,fxf x则当n为大于 2 的正整数时,( )fx的n阶导数()( )nfx是(A)1!( )nnf x(B)1 ( )nn f x(C)2( )nf x(D)2!( )nnf x(3) 设a为常数 ,则级数2 1sin()1nnann(A) 绝对收敛(B)条件收敛(C) 发散(D)收 敛性与a的取值有关(4) 已 知()fx在0x的 某 个 邻 域 内 连 续 , 且0( )(0)0,lim2,1cosxf xfx则在点0x处(

21、)fx(A) 不可导(B) 可 导 ,且(0)0f(C) 取得极大值(D)取 得极小值(5) 已知1、2是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解1,、2是对应其次线性方程组AX0的基础解析1,k、2k为任意常数 , 则方程组AXb的通解 ( 一般解) 必是(A)12 11212()2kk(B)12 11212()2kk(C)12 11212()2kk(D)12 11212()2kk三、( 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分) (1) 求120ln(1).(2)xdxx(2) 设(2,sin),zfxy yx其中(,)fu v具有连续的二阶偏导数, 求2 .zx y(3) 求微分

22、方程244exyyy的通解 (一般解). 四、( 本题满分 6 分) 求幂级数0(21)nnnx的收敛域 , 并求其和函数 . 五、( 本题满分 8 分) 求曲面积分2SIyzdzdxdxdy其中S是球面2224xyz外侧在0z的部分 . 六、 （本题满分 7 分）设不恒为常数的函数()fx在闭区间,a b上连续 , 在开区间( ,)a b内可导 , 且()().fafb证明在(,)a b内至少存在一点,使得()0.f七、 （本题满分 6 分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002BC且矩阵A满足关系式1()A ECB CE其中E为四阶单位矩阵1,C表示C

23、的逆矩阵, C表示C的转置矩阵 . 将上述关系式化简并求矩阵.A八、 （本题满分 8 分）求一个正交变换化二次型222 12312132344448fxxxx xx xx x成标准型 . 九、 （本题满分 8 分）质点P沿着以AB为直径的半圆周, 从点(1,2)A运动到点(3, 4)B的过程中受变力F作用( 见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离, 其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.2求变力F对质点P所作的功 . 十、填空题 (本题共 3 小题, 每小题 2 分, 满分 6 分.把答案填在题中横线上 ) (1) 已知随机变量X的概率密度函数1( )e,2xf xx则X的概率分布函

24、数()Fx=_. (2) 设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3 和 0.6, 若B表示B的对立事件 , 那么积事件AB的概率()P AB=_. (3) 已知离散型随机变量X服从参数为2 的泊松()Poisson分 布, 即22 e,0,1,2,!k P Xkkk则随机 变 量32ZX的数学期望()E Z=_. 十一、 （本题满分 6 分）设二维随机变量(,)X Y在区域:01,Dxyx内服从均匀分布 , 求关于X的边缘概率密度函数及随机变量21ZX的方差().D Z1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一) 试卷一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分

25、 15 分.把答案填在题中横线上 ) (1) 设21cosxtyt, 则22d ydx=_. (2) 由 方 程2222xyzxyz所 确 定 的 函 数(,)zz x y在点(1,0,1)处的全微分dz=_. (3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211xyzxyzll则过1l且平行于2l的平面方程是 _. (4) 已知当0x时1 23,(1)1ax与cos1x是等价无穷小 ,则常数a=_. (5) 设4阶 方 阵52002100,00120011A则A的 逆 阵1A=_. 二、选择题 (本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个

26、符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 曲线221e1exxy(A) 没有渐近线(B)仅 有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线(2) 若连续函数()fx满足关系式20( )()ln 2,2tf xfdt则()fx等于(A)e ln 2x(B)2eln 2x(C)eln 2x(D)2eln 2x(3) 已知级数1 21 11(1)2,5,n nn nnaa则级数1n na等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4) 设D是平面xoy上以(1,1)、( 1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域1,D是D在第一象限的部分 , 则(cossin

27、)Dxyxy dxdy等于(A)12cossinDxydxdy(B)12Dxydxdy(C)14(cossin)Dxyxy dxdy(D)0 (5) 设n阶方阵A、B、C满足关系式,ABCE其中E是n阶单位阵 , 则必有(A)ACBE(B)CBAE(C)BACE(D)BCAE三、( 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分) (1) 求20lim (cos) .xx(2) 设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量 , 求函数2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数. (3)22(),xyz dv其中是由曲线220yzx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面4z

28、所围城的立体 . 四、( 本题满分 6 分) 过点(0, 0)O和(,0)A的曲线族sin(0)yax a中, 求一条曲线,L使沿该曲线O从到A的积分3(1)(2) Lydxxy dy的值最小 . 五、( 本题满分 8 分) 将函数( )2( 11)f xxx展开成以 2 为周期的傅里叶级数, 并由此求级数2 11nn的和. 六、 （本题满分 7 分）设 函 数()fx在0,1上 连 续,(0,1)内 可 导 , 且1233( )(0),fx dxf证明在(0,1)内存在一点, c使( )0.fc七、 （本题满分 8 分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1, 1,2,1)

29、,(1,2,4,8)aa及(1,1,3,5).b(1)a、b为何值时,不能表示成1234, 的线性组合? (2)a、b为何值时,有1234, 的唯一的线性表示式 ?写出该表示式 . 八、 （本题满分 6 分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵 , 证明AE的行列式大于 1. 九、 （本题满分 8 分）在上半平面求一条向上凹的曲线, 其上任一点(,)P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数 (Q是法线与x轴的交点 ), 且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行. 十、填空题 (本题共 2 小题, 每小题 3 分, 满分 6 分.把答案填在题中横线上 ) (1) 若随机变量X服从均值为

30、 2、 方差为2的正态分布 ,且240.3,PX则0P X=_. (2) 随机地向半圆202(yaxxa为正常数 ) 内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点 和 该点 的连 线与x轴 的夹角 小 于 4的概率 为_. 十一、 （本题满分 6 分）设二维随机变量(,)X Y的密度函数为( ,)fx y(2)2e0,00xyxy其它求随机变量2ZXY的分布函数 . 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一) 试卷一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.把答案填在题中横线上 ) (1) 设 函 数()yy x由 方 程ecos()0xy

31、xy确 定 , 则dydx=_. (2) 函 数222ln()uxyz在 点(1, 2,2)M处 的 梯 度gradMu=_. (3) 设()fx211x00xx, 则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于 _. (4)微分方程tancosyyxx的通解为y=_. (5)设1 11 21212 1212,nnnnnna ba ba ba ba ba ba ba ba bA其中0,0,(1,2, ).iiabin则矩阵A的秩()rA=_. 二、选择题 (本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1

32、) 当1x时,函数1211e1xx x的极限(A) 等于 2 (B) 等于 0 (C) 为(D)不 存在但不为(2) 级数1(1) (1cos)(nnan常数0)a(A) 发散(B)条件收敛(C) 绝对收敛(D) 收敛性与a有关(3) 在曲 线23,xt ytzt的 所有 切 线 中, 与 平面24xyz平行的切线(A) 只有 1 条(B)只有 2 条(C) 至少有 3 条(D)不 存在(4) 设32( )3,f xxxx则使()(0)nf存在的最高阶数n为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (5) 要使12100 ,121都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A为(A)212(B)201

33、011(C)102011(D)011422011三、( 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分) (1) 求 20esin1lim. 11xxxx(2) 设22(e sin,),xzfy xy其中f具有二阶连续偏导数,求2 .zx y(3) 设()fx21exx00xx, 求31(2).f xdx四、( 本题满分 6 分) 求微分方程323exyyy的通解. 五、( 本题满分 8 分) 计算曲面积分323232()()(),xazdydzyaxdzdxzaydxdy其 中为 上 半球面222zaxy的上侧 . 六、 （本题满分 7 分）设()0,(0)0,fxf证 明 对 任 何

34、120,0,xx有1212()()().f xxf xf x七、 （本题满分 8 分）在变力Fyzizxjxyk的作用下 , 质点由原点沿直线运动到椭球面2222221xyzabc上第一卦限的点(,),M问当 、 、 取何值时 , 力F所做的功W最大?并求出W的最大值. 八、 （本题满分 7 分）设向量组123, 线性相关 , 向量组234, 线性无关 ,问: (1)1能否由23, 线性表出 ?证明你的结论 . (2)4能否由123, 线性表出 ?证明你的结论 . 九、 （本题满分 7 分）设 3阶矩阵A的特征值为1231,2,3,对应的特征向量依次为1231111 ,2 ,3 ,149又向量

35、12 .3(1) 将用123, 线性表出 . (2) 求(nnA 为自然数 ). 十、填空题 (本题共 2 小题, 每小题 3 分, 满分 6 分.把答案填在题中横线上 ) (1)已知11()()(),()0,()(),46P AP BP CP ABP ACP BC则 事 件A、B、C全不发生的概率为 _. (2) 设随机变量X服从参数为1 的指数分布 , 则数学期望2eXE X=_. 十一、 （本题满分 6 分）设随机变量X与Y独立, X服从正态分布2( ,),NY服从,上的均匀分布, 试求ZXY的概率分布密度( 计 算 结 果 用 标 准 正 态 分 布 函 数表 示 , 其 中221(

36、)e) 2tx xdt. 1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一) 试卷一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.把答案填在题中横线上 ) (1) 函 数 11( )(2)(0)x F xdt x t的单 调减 少区 间 为_. (2) 由曲线2232120xyz绕y轴旋转一周得到的旋转面 在 点(0,3,2)处 的 指 向 外 侧 的 单 位 法 向 量 为_. (3) 设函数2( )()f xxxx的傅里叶级数展开式 为01(cossin), 2nn naanxbnx则 其 中 系 数3b的 值 为_. (4)设数量场222ln,uxyz则div(gr

37、ad)u=_. (5) 设n阶矩阵A的各行元素之和均为零, 且A的秩为1,n则线性方程组AX0的通解为 _. 二、选择题 (本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设sin2340( )sin( ), ( ),xf xtdt g xxx则当0x时,( )fx是()gx的(A) 等价无穷小(B)同 价但非等价的无穷小(C) 高阶无穷小(D) 低 价无穷小(2) 双纽线22222()xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2 d(B)404cos2 d(C)402cos

38、2d(D)2401(cos2 )2d(3) 设有直线1158:121xyzl与2:l623xyyz则1l与2l的夹角为(A) 6(B) 4(C) 3(D) 2(4) 设曲线积分( )e sin( )cosxLf tydxf xydy与路径无关, 其中()fx具有一阶连续导数 , 且(0)0,f则()fx等于(A)ee2xx(B)ee2xx(C)ee12xx (D)ee12xx(5) 已 知12324,369tQP为 三阶 非 零 矩 阵 , 且 满 足0,PQ则(A)6t时P的秩必为 1 (B)6t时P的秩必为 2 (C)6t时P的秩必为 1 (D)6t时P的秩必为 2 三、( 本题共 3 小

39、题, 每小题 5 分, 满分 15 分) (1) 求21lim(sincos) .xxxx(2) 求e. e1xxxdx(3) 求微分方程22,x yxyy满足初始条件11xy的特解. 四、( 本题满分 6 分) 计 算22,xzdydzyzdzdxz dxdy其 中是 由 曲 面22zxy与222zxy所围立体的表面外侧 . 五、( 本题满分 7 分) 求级数20( 1) (1)2nn nnn的和. 六、( 本题共 2 小题, 每小题 5 分, 满分 10 分) (1) 设 在0,)上 函 数()fx有 连 续 导 数 , 且()0,(0)0,fxkf证明()fx在(0,)内有且仅有一个零点

40、. (2) 设,bae证明.baab七、 （本题满分 8 分）已 知二 次 型222 12312323(,)2332(0)fxxxxxxax xa通过正交变换化成标准形222 12325,fyyy求参数a及所用的正交变换矩阵 . 八、 （本题满分 6 分）设A是nm矩阵,B是mn矩阵, 其中,nm I是n阶单位矩阵,若,ABI证明B的列向量组线性无关 . 九、 （本题满分 6 分）设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动 . 物体B从点( 1,0)与A同时出发 , 其速度大小为2 ,v方向始终指向,A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件 . 十、填空题 (

41、本题共 2 小题, 每小题 3 分, 满分 6 分.把答案填在题中横线上 ) (1) 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品, 任意抽取两次, 每次抽一个 , 抽出后不再放回 , 则第二次抽出的是次品的概率为 _. (2) 设随机变量X服从(0, 2)上的均匀分布 , 则随机变量2YX在(0, 4)内的概率分布密度( )Yfy=_. 十一、 （本题满分 6 分）设随 机变量X的概 率分 布密 度为1( )e,.2xf xx(1) 求X的数学期望EX和方差.DX(2) 求X与X的协方差 , 并问X与X是否不相关 ? (3) 问X与X是否相互独立 ?为什么? 1994 年全国硕士研究生入学统一考

42、试数学( 一) 试卷一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.把答案填在题中横线上 ) (1) 011lim cot()sinxxx= _. (2) 曲面e23xzxy在点(1, 2, 0)处的切平面方程为_. (3)设esin,xxuy则2ux y在 点1(2,)处 的 值 为_. (4)设区域D为222,xyR则2222()Dxydxdyab=_. (5) 已知1 11,2,3,1,2 3设,A其中是的转置, 则nA=_. 二、选择题 (本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题

43、后的括号内) (1)设434234222 2 222sincos,(sincos),(sincos),1xMxdx Nxx dx Pxxx dxx则有(A)NPM(B)MPN(C)NMP(D)PMN(2) 二 元 函 数(,)fx y在 点00(,)xy处 两 个 偏 导 数00(,)xfx y、00(,)yfxy存在是(,)fx y在该点连续的(A) 充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分条件又非必要条件(3)设 常 数0,且 级 数21n na收 敛 , 则 级 数21( 1)nnnan(A) 发散(B)条 件收敛(C) 绝对收敛(D) 收敛性与

44、有关(4)20tan(1cos )lim2, ln(12 )(1)xxaxbxcxde其中220,ac则必有(A)4bd(B)4bd(C)4ac(D)4ac(5) 已知向量组1234, 线性无关 , 则向量组1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学( 一) 试卷一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.把答案填在题中横线上 ) (1) 011lim cot()sinxxx= _. (2) 曲面e23xzxy在点(1,2, 0)处的切平面方程为_. (3)设esin,xxuy则2ux y在 点1(2,)处 的 值 为_. (4)设区域D为222,xyR则2222()

45、Dxydxdyab=_. (5) 已知1 11,2,3,1,2 3设,A其中是的转置, 则nA=_. 二、选择题 (本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分.每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设434234222 2222sincos,(sincos),(sincos),1xMxdx Nxx dx Pxxx dxx则有(A)NPM(B)MPN(C)NMP(D)PMN(2) 二 元 函 数(,)fx y在 点00(,)xy处 两 个 偏 导 数00(,)xfxy、00(,)yfxy存在是(,)fx y在该点连续的(A) 充分条

46、件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分条件又非必要条件(3)设 常 数0,且 级 数21n na收 敛 , 则 级 数21( 1)nnnan(A) 发散(B)条 件收敛(C) 绝对收敛(D) 收敛性与有关(4)2 0tan(1cos )lim2, ln(12 )(1)xxaxbxcxde其中220,ac则必有(A)4bd(B)4bd(C)4ac(D)4ac(5) 已知向量组1234, 线性无关 , 则向量组(A)12233441, 线性无关(B)12233441, 线性无关(C)12233441, 线性无关(D)12233441, 线性无关三、( 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分) (1) 设2221cos()1cos()cos 2txtyttudu u, 求dydx、22d ydx在 2t的值. (2) 将函数111( )lnarctan412xf xxxx展开成x的幂级数. (3) 求.sin(2)2sindx