信号与系统感想（全文）.docx

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1、信号与系统感想（全文） 许多挚友和我一样,工科电子类专业，学了一堆信号方面的课，什么都没学懂，背了公式考了试，然后毕业了。先说卷积有什么用这个问题。(有人抢答，卷积是为了学习信号与系统这门课的后续章节而存在的。我大吼一声，把他拖出去枪毙！) 讲一个故事: 张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过信号与系统这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告知他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。 然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t 很好！经理说。然后经理给了张三一叠A4纸: 这里有几千种信号，都用公式说明白，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试

2、以下我们产品的输出波形是什么吧！ 这下张三懵了，他在心志向上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢? 于是上帝出现了: 张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出全部输入波形对应的输出波形。 上帝接着说:给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！ 张三照办了，然后呢? 上帝又说，对于某个输入波形，你想象把它微分成多数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形似乎是反过来进入系统的。 张三领悟了: 哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢? 上帝说:叫卷积

3、！ 从今，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只须要在A4纸上做微积分就是提交任务了！ 张三开心地工作着，直到有一天，安静的生活被打破。 经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说: 看，这个小设备产生的波形根本没法用一个简洁的函数来说明，而且，它连绵不断的发出信号！不过幸好，这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你 来测试以下，连到我们的设备上，会产生什么输出波形！ 张三摆摆手:输入信号是无限时长的，莫非我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的，重复的波形输出吗? 经理怒了:反正你给我搞定，否则炒鱿鱼！ 张三心想:这次输入信号连公式都给出出来，一个很

4、混乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不行了，怎么办呢? 刚好地，上帝又出现了:把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，计算完成以后再映射回来 宇宙的每一个原子都在旋转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有固定频率特性的东西。 我给你一个数学函数f，时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的简单看清晰的。这样你就可以计算了 同时，时间域的卷积在f域是简洁的相乘关系，我可以证明给你看看 计算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就得到了一个输出波形，剩下的就是你的数学计算了！ 张三谢过了上帝，保住了他的工作。后来他知

5、道了，f域的变换有一个名字，叫做傅利叶，什么什么. 再后来，公司开发了一种新的电子产品，输出信号是无限时间长度的。这次，张三起先学拉普拉斯了.后记: 不是我们学的不好，是因为教材不好，老师讲的也不好。 很 观赏Google的面试题: 用3句话像老太太讲清晰什么是数据库。这样的命题特别好，因为没有深化的理解一个命题，没有细致的思索一个东西的设计哲学，我们就会陷入细微环节的泥沼: 背公式，数学推导，积分，做题；而没有时间来回答为什么要这样。做高校老师的做不到把厚书读薄这一点，讲不出哲学层面的道理，一味背书和翻讲ppt，做着枯燥的数学证明，然后指责现在的学生一代不如一代，有什么意义吗？ 究竟什么是频

6、率 什么是系统? 这 一 篇，我绽开的说一下傅立叶变换F。留意，傅立叶变换的名字F可以表示频率的概念(freqence)，也可以包括其他任何概念，因为它只是一个概念模 型，为了解决计算的问题而构造出来的(例如时域无限长的输入信号，怎么得到输出信号)。我们把傅立叶变换看一个C语言的函数，信号的输出输出问题看为IO 的问题，然后任何难以求解的x-y的问题都可以用x-f(x)-f-1(x)-y来得到。 究竟什么是频率? 一个基本的假设: 任何信息都具有频率方面的特性，音频信号的声音凹凸，光的频谱，电子震荡的周期，等等，我们抽象出一个件谐振动的概念，数学名称就叫做频率。想象在x-y 平面上有一个原子围

7、绕原点做半径为1匀速圆周运动，把x轴想象成时间，那么该圆周运动在y轴上的投影就是一个sin(t)的波形。信任中学生都能理解这 个。 那么，不同的频率模型其实就对应了不同的圆周运动速度。圆周运动的速度越快，sin(t)的波形越窄。频率的缩放有两种模式 (a) 老式的收音机都是用磁带作为音乐介质的，当我们快放的时候，我们会感觉歌颂的声音变得怪怪的，调子很高，那是因为圆周运动的速度增倍了，每一个声音重量的sin(t)输出变成了sin(nt)。 (b) 在CD/计算机上面快放或满放感觉歌手快唱或者慢唱，不会出现音调变高的现象：因为快放的时候采纳了时域采样的方法，丢弃了一些波形，但是承载了信息的输出波形

8、不会有宽窄的改变；满放时相反，时域信号填充拉长就可以了。 F变换得到的结果有负数/复数部分，有什么物理意义吗? 说明: F变换是个数学工具，不具有干脆的物理意义，负数/复数的存在只是为了计算的完整性。 信号与系统这们课的基本主旨是什么? 对 于通信和电子类的学生来说，许多状况下我们的工作是设计或者OSI七层模型当中的物理层技术，这种技术的困难性首先在于你必需确立传输介质的电气特 性，通常不同传输介质对于不同频率段的信号有不同的处理实力。以太网线处理基带信号，广域网光线传出高频调制信号，移动通信，2G和3G分别须要有不同的 载频特性。那么这些介质(空气，电线，光纤等)对于某种频率的输入是否能够在

9、传输了肯定的距离之后得到基本不变的输入呢? 那么我们就要建立介质的频率相应数学模型。同时，知道了介质的频率特性，如何设计在它上面传输的信号才能大到理论上的最大传输速率?-这就是信号与 系统这们课带领我们进入的一个世界。 当 然，信号与系统的应用不止这些，和香农的信息理论挂钩，它还可以用于信息处理(声音，图像)，模式识别，智能限制等领域。假如说，计算机专业的课程是 数据表达的逻辑模型，那么信号与系统建立的就是更底层的，代表了某种物理意义的数学模型。数据结构的学问能解决逻辑信息的编码和纠错，而信号的学问能帮我 们设计出码流的物理载体(假如接受到的信号波形是混乱的，那我依据什么来推断这个是1还是0?

10、 逻辑上的纠错就失去了意义)。在工业限制领域，计算机的应用前提是各种数模转换，那么各种物理现象产生的连续模拟信号(温度，电阻，大小，压力，速度等) 如何被一个特定设备转换为有意义的数字信号，首先我们就要设计一个可用的数学转换模型。 如何设计系统? 设 计物理上的系统函数(连续的或离散的状态)，有输入，有输出，而中间的处理过程和详细的物理实现相关，不是这们课关切的重点(电子电路设计?)。信号 与系统归根究竟就是为了特定的需求来设计一个系统函数。设计出系统函数的前提是把输入和输出都用函数来表示(例如sin(t)。分析的方法就是把一个复 杂的信号分解为若干个简洁的信号累加，详细的过程就是一大堆微积分

11、的东西，详细的数学运算不是这门课的中心思想。 那么系统有那些种类呢? (a) 按功能分类: 调制解调(信号抽样和重构)，叠加，滤波，功放，相位调整，信号时钟同步，负反馈锁相环，以及若干子系统组成的一个更为困难的系统-你可以画出系统 流程图，是不是很接近编写程序的逻辑流程图? 的确在符号的空间里它们没有区分。还有就是离散状态的数字信号处理(后续课程)。 (b) 按系统类别划分，无状态系统，有限状态机，线性系统等。而物理层的连续系统函数，是一种困难的线性系统。 最好的教材? 符 号系统的核心是集合论，不是微积分，没有集合论构造出来的系统，实现用到的微积分便毫无意义-你甚至不知道运算了半天究竟是要作

12、什么。以计算机的观 点来学习信号与系统，最好的教材之一就是， 作者是UC Berkeley的Edward A.Lee and PravinVaraiya-先定义再实现，符合人类的思维习惯。国内的教材通篇都是数学推导，就是不愿说这些推导是为了什么目的来做的，用来得到什么，建设什 么，防止什么；不去从相识论和需求上探讨，通篇都是看不出目的的方法论，舍本逐末了。 抽样定理是干什么的 1.举个例子，打电话的时候，电话机发出的信号是PAM脉冲调幅，在电话线路上传的不是话音，而是话音通过信道编码转换后的脉冲序列，在收端复原语音波形。那 么对于连续的说话人语音信号，如何转化成为一些列脉冲才能保证基本不失真，

13、可以传输呢? 很明显，我们想到的就是取样，每隔M毫秒对话音采样一次看看电信号振幅，把振幅转换为脉冲编码，传输出去，在收端按某种规则重新生成语言。 那么，问题来了，每M毫秒采样一次，M多小是足够的? 在收端怎么才能复原语言波形呢? 对 于第一个问题，我们考虑，语音信号是个时间频率信号(所以对应的F变换就表示时间频率)把语音信号分解为若干个不同频率的单音混合体(周期函数的复利叶 级数绽开，非周期的区间函数，可以看成补齐以后的周期信号绽开，效果一样)，对于最高频率的信号重量，假如抽样方式能否保证复原这个重量，那么其他的低频 率重量也就能通过抽样的方式使得信息得以保存。假如人的声音高频限制在3000H

14、z，那么高频重量我们看成sin(3000t)，这个sin函数要通过抽 样保存信息，可以看为: 对于一个周期，波峰采样一次，波谷采样一次，也就是采样频率是最高频率重量的2倍(奈奎斯特抽样定理)，我们就可以通过采样信号无损的表示原始的模拟连续 信号。这两个信号一一对应，相互等价。 对于其次个问题，在收端，怎么从脉冲序列(梳装波形)复原模拟的连续信号呢? 首先，我们已经确定了在频率域上面的脉冲序列已经包含了全部信息，但是原始信息只在某一个频率以下存在，怎么做? 我们让输入脉冲信号I通过一个设备X，输出信号为原始的语音O，那么I(*)X=O，这里(*)表示卷积。时域的特性不好分析，那么在频率域 F(I

15、)*F(X)=F(O)相乘关系，这下就很明显了，只要F(X)是一个志向的，低通滤波器就可以了(在F域画出来就是一个方框)，它在时间域是一个 钟型函数(由于包含时间轴的负数部分，所以实际中不存在)，做出这样的一个信号处理设备，我们就可以通过输入的脉冲序列得到几乎志向的原始的语音。在实际 应用中，我们的抽样频率通常是奈奎斯特频率再多一点，3k赫兹的语音信号，抽样标准是8k赫兹。 2.再举一个例子，对于数字图像，抽样定理对应于图片的辨别率-抽样密度越大，图片的辨别率越高，也就越清楚。假如我们的抽样频率不够，信息就会发生混 叠-网上有一幅图片，近视眼戴眼镜看到的是爱因斯坦，摘掉眼睛看到的是梦露-因为不

16、带眼睛，辨别率不够(抽样频率太低)，高频重量失真被混入 了低频重量，才造成了一个视觉陷阱。在这里，图像的F改变，对应的是空间频率。 话说回来了，干脆在信道上传原始语音信号不好吗? 模拟信号没有抗干扰实力，没有纠错实力，抽样得到的信号，有了数字特性，传输性能更佳。 什么信号不能志向抽样? 时域有跳变，频域无穷宽，例如方波信号。假如用有限带宽的抽样信号表示它，相当于复利叶级数取了部分和，而这个部分和在复原原始信号的时候，在不行导的点上面会有毛刺，也叫吉布斯现象。 3.为什么傅立叶想出了这么一个级数来? 这个源于西方哲学和科学的基本思想: 正交分析方法。例如探讨一个立体形态，我们运用x,y,z三个相

17、互正交的轴: 任何一个轴在其他轴上面的投影都是0。这样的话，一个物体的3视图就可以完全表达它的形态。同理，信号怎么分解和分析呢? 用相互正交的三角函数重量的无限和：这就是傅立叶的贡献。 傅立叶变换的复数 小波 说的广义一点，复数是一个概念，不是一种客观存在。 什 么是概念? 一张纸有几个面? 两个，这里面是一个概念，一个主观对客观存在的认知，就像大和小的概念一样，只对人的意识有意义，对客观存在本身没有意义(康德: 纯粹理性的批判)。把纸条的两边转一下相连接，变成莫比乌斯圈，这个纸条就只剩下一个面了。概念是对客观世界的加工，反映到意识中的东西。 数 的概念是这样被推广的: 什么数x使得x2=-1

18、? 实数轴明显不行，(-1)*(-1)=1。那么假如存在一个抽象空间，它既包括真实世界的实数，也能包括想象出来的x2=-1，那么我们称这个想象空间 为复数域。那么实数的运算法则就是复数域的一个特例。为什么1*(-1)=-1? +-符号在复数域里面代表方向，-1就是向后，转!这样的吩咐，一个1在圆周运动180度以后变成了-1，这里，直线的数轴和圆周旋转，在复数的空间 里面被统一了。 因 此，(-1)*(-1)=1可以说明为向后转+向后转=回到原地。那么复数域如何表示x2=-1呢? 很简洁，向左转，向左转两次相当于向后转。由于单轴的实数域(直线)不包含这样的元素，所以复数域必需由两个正交的数轴表示

19、-平面。很明 显，我们可以得到复数域乘法的一个特性，就是结果的肯定值为两个复数肯定值相乘，旋转的角度=两个复数的旋转角度相加。中学时代我们就学习了迪莫弗定理。 为什么有这样的乘法性质? 不是因为复数域恰好具有这样的乘法性质(性质确定相识)，而是独创复数域的人就是依据这样的需求去弄出了这么一个复数域(相识确定性质)，是一种主观唯心 主义的探讨方法。为了构造x2=-1，我们必需考虑把乘法看为两个元素构成的集合: 乘积和角度旋转。 因 为三角函数可以看为圆周运动的一种投影，所以，在复数域，三角函数和乘法运算(指数)被统一了。我们从实数域的傅立叶级数绽开入手，立即可以得到形式更 简洁的，复数域的，和实

20、数域一一对应的傅立叶复数级数。因为复数域形式简洁，所以探讨起来便利-虽然自然界不存在复数，但是由于和实数域的级数一一 对应，我们做个反映射就能得到有物理意义的结果。 那么傅立叶变换，那个令人难以理解的转换公式是什么含义呢? 我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分，就是先微分，再积分，傅立叶级数已经作了无限微分了，对应多数个离散的频率重量冲击信号的和。 傅立叶变换要解决非周期信号的分析问题，想象这个非周期信号也是一个周期信号: 只是周期为无穷大，各频率重量无穷小而已(否则积分的结果就是无穷)。那么我们看到傅立叶级数，每个重量常数的求解过程，积分的区间就是从T变成了正负无 穷大。而

21、由于每个频率重量的常数无穷小，那么让每个重量都去除以f，就得到有值的数-所以周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理，各个频率分 量之间无限的接近，因为f很小，级数中的f，2f，3f之间几乎是挨着的，最终挨到了一起，和卷积一样，这个复数频率空间的级数求和最终可以变成一个积分 式：傅立叶级数变成了傅立叶变换。留意有个概念的改变：离散的频率，每个频率都有一个权值，而连续的F域，每个频率的加权值都是无穷小(面积=0)， 只有一个频率范围内的频谱才对应肯定的能量积分。频率点变成了频谱的线。 因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个连续函数，是复数频率域上面的可以画出图像的东西? 那个根号2Pai又是什

22、么? 它只是为了保证正变换反变换回来以后，信号不变。我们可以让正变换除以2，让反变换除以Pi，怎么都行。慢点，怎么有负数的部分，还是那句话，是数轴 的方向对应复数轴的旋转，或者对应三角函数的相位重量，这样说就很好理解了。有什么好处? 我们忽视相位，只探讨振幅因素，就能看到实数频率域内的频率特性了。 我 们从实数(三角函数分解)-复数(e和Pi)-复数变换(F)-复数反变换(F-1)-复数(取幅度重量)- 实数，看起来很困难，但是这个工具使得，单从实数域无法解决的频率分析问题，变得可以解决了。两者之间的关系是: 傅立叶级数中的频率幅度重量是a1-an,b1-bn，这些离散的数表示频率特性，每个数

23、都是积分的结果。而傅立叶变换的结果是一个连续函数: 对于f域每个取值点a1-aN(N=无穷)，它的值都是原始的时域函数和一个三角函数(表示成了复数)积分的结果-这个求解和级数的表示形式是一样 的。不过是把N个离散的积分式子统一为了一个通用的，连续的积分式子。 复频域，大家都说画不出来，但是我来画一下！因为不是一个图能够表示清晰的。我用纯中文来说: 1.画一个x,y轴组成的平面，以原点为中心画一个圆(r=1)。再画一条竖直线: (直线方程x=2)，把它看成是一块挡板。 2.想象，有一个原子，从(1,0)点动身，沿着这个圆作逆时针匀速圆周运动。想象太阳光从x轴的复数方向射向x轴的正数方向，那么这个

24、原子运动在挡板(x=2)上面的投影，就是一个简协振动。 3.再修改一下，x=2对应的不是一个挡板，而是一个打印机的出纸口，那么，原子运动的过程就在白纸上画下了一条连续的sin(t)曲线! 上面3条说明白什么呢? 三角函数和圆周运动是一一对应的。假如我想要sin(t+x)，或者cos(t)这种形式，我只须要让原子的起始位置变更一下就可以了：也就是级坐标的向量，半径不变，相位变更。 傅 立叶级数的实数绽开形式，每一个频率重量都表示为AnCos(nt)+BnSin(nt)，我们可以证明，这个式子可以变成 sqr(An2+Bn2)sin(nt+x)这样的单个三角函数形式，那么：实数值对(An,Bn)，

25、就对应了二维平面上面的一个点，相位x对应这个 点的相位。实数和复数之间的一一对应关系便建立起来了，因此实数频率唯一对应某个复数频率，我们就可以用复数来便利的探讨实数的运算：把三角运算变成指数 和乘法加法运算。 但 是，F变换仍旧是有限制的(输入函数的表示必需满意狄义赫立条件等)，为了更广泛的运用域变换的思想来表示一种广义的频率信息，我们就独创出了 拉普拉斯变换，它的连续形式对应F变换，离散形式就成了Z变换。离散信号呢? 离散周期函数的F级数，项数有限，离散非周期函数(看为周期延拓以后仍旧是离散周期函数)，离散F级数，仍旧项数有限。离散的F变换，很简单理解- 连续信号通过一个周期采样滤波器，也就

26、是频率域和一堆脉冲相乘。时域取样对应频域周期延拓。为什么? 反过来简单理解了，时域的周期延拓对应频率域的一堆脉冲。 两者的区分：FT=从负无穷到正无穷对积分 LT=从零到正无穷对积分 (由于实际应用，通常只做单边Laplace变换，即积分从零起先) 详细地，在Fourier积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt明显是为一纯虚数；而在laplace变换中，所乘因子为 exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将很多无法 作Fourier变换的函数（比如exp(at),a0）做域变换。 而

27、 Z变换，简洁地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的Laplace变换，可由抽样信号的Laplace变换导出。ZT=从n为负无穷到正无穷对求和。 Z域的物理意义: 由于值被离散了，所以输入输出的过程和花费的物理时间已经没有了必定的关系(t只对连续信号有意义)，所以频域的考察变得及其简洁起来，我们把 (1,-1,1,-1,1,-1)这样的基本序列看成是数字频率最高的序列，他的数字频率是1Hz(数字角频率2Pi)，其他的数字序列频率都是N分之 1Hz，频率分解的结果就是0-2Pi角频率当中的若干个值的集合，也是一堆离散的数。由于时频都是离散的，所以在做变换的时候，不须要写出冲击函数的因 子 离散傅

28、立叶变换到快速傅立叶变换-由于离散傅立叶变换的次数是O(N2)，于是我们考虑把离散序列分解成两两一组进行离散傅立叶变换，变换的计算困难度就下降到了O(NlogN)，再把计算的结果累加O(N)，这就大大降低了计算困难度。 再说一个高级话题: 小波。在实际的工程应用中，前面所说的这些变换大部分都已经被小波变换代替了。 什么是小波？先说什么是波：傅立叶级数里面的重量，sin/cos函数就是波，sin(t)/cos(t)经过幅度的放缩和频率的收紧，变成了一系列的波的求和，一样收敛于原始函数。留意傅立叶级数求和的收敛性是对于整个数轴而言的，严格的。不过前面我们说了，实际应用FFT的时候，我们只须要关注部

29、分信号的傅立叶变换然后求出一个整体和就可以了，那么对于函数的部分重量，我们只须要保证这个用来充当砖块的波函数，在某个区间(用窗函数来滤波)内符合那几个可积分和收敛的定义就可以了，因此傅立叶变换的波因子，就可以不运用三角函数，而是运用一系列从某些基本函数构造出来的函数族，只要这个基本函数符合那些收敛和正交的条件就可以了。怎么构造这样的基本函数呢？sin(t)被加了方形窗以后，映射到频域是一堆无穷的散列脉冲，所以不能再用三角函数了。我们要得到频率域收敛性好的函数族，能覆盖频率域的低端部分。说的远一点，假如是取数字信号的小波变换，那么基础小波要保证数字角频率是最大的 2Pi。利用小波进行离频谱分析的

30、方法，不是像傅立叶级数那样求出全部的频率重量，也不是向傅立叶变换那样看频谱特性，而是做某种滤波，看看在某种数字角频率的波峰值也许是多少。可以依据实际须要得到如干个数字序列。 我 们采纳(0,f),(f,2f),(2f,4f)这样的倍频关系来考察函数族的频率特性，那么对应的时间波形就是倍数扩展(且包含调制-所以才有频 谱搬移)的一系列函数族。频域是窗函数的基本函数，时域就是钟形函数。当然其他类型的小波，虽然频率域不是窗函数，但是仍旧可用：因为小波积分求出来的变 换，是一个值，例如(0,f)里包含的总能量值，(f,2f)里面包含的总能量值。所以即使频域的分割不是用长方形而是其他的图形，对于结果来说

31、影响不 大。同时，这个频率域的值，它的辨别率密度和时域小波基函数的时间辨别率是冲突的(时域紧频域宽，时域宽频域紧)，所以设计的时候受到海森堡测不准原理的 制约。Jpeg2000压缩就是小波：因为时频都是局部的，变换结果是数值点而不是向量，所以，计算困难度从FFT的O(NlgN)下降到了O(N)，性 能特别好 信号与系统试验感想 信号与系统感想（全文） 信号与系统的课程感想 信号与系统 信号与系统试验 信号与系统总结 信号与系统教学大纲_马金龙_信号与系统 如何学习信号与系统 信号与系统课程总结 信号与系统试验总结 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页