新高考艺术生数学基础复习讲义 考点19 二项式定理（教师版含解析）.docx

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1、考点19 二项式定理知识理解一二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1b CankbkCbn(nN*)(2)通项公式：Tk1Cankbk，它表示第k1项(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，C(4)项数为n1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n二二项式系数的性质三 指定项的系数或二项式系数1.解题思路：通项公式2.常见指定项：若二项展开式的通项为Tr1g(r)xh(r)(r0,1,2，n)，g(r)0，则有以下常见结论：(1)h(r)0Tr1是常数项(2)h(r)是非负整数Tr1是整式项(3)h(r)是负整数Tr1是分式项(4)h(r)是整数Tr

2、1是有理项三系数和-赋值法1赋值法的应用(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，bR)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x1即可(2)形如(axby)n(a，bR)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可2二项式系数最大项的确定方法(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；(2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大考向分析考向一 二项展开式中特定项及系数【例1】(1)(2020长春市第八中学高三)二项式的展开式中的系数为 (2)(2021上海高三一模)在的二项展开式中，常数项等于_.(3)(2020全国高三)在的展开式中，有理项共有 项(4)(2020云南

3、省个旧市第一高级中学高三)展开式中x的系数为80，则a等于 。【答案】(1)(2)240(3)5(4)-2【解析】(1)由二项式定理可知，令，得，所以的展开式中的系数为.故选：C(2)在的二项展开式中，通项公式为 ，令，求得，可得展开式的常数项为 ，故答案为：240(3)由题意可得二项展开式的通项根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r0，6，12，18，24，共有5项，(4)展开式的通项公式为 的系数为，解得.【举一反三】1(2020上海奉贤区高三一模)在展开式中，常数项为_.(用数值表示)【答案】【解析】展开式的通项为，令，可得，所以常数项为，故答案为：2(2020四川成都市高三一

4、模)的展开式中的系数是_(用数字作答)【答案】【解析】由题设二项式知：，项，即，系数为，故答案为：.3(2020全国高三专题练习)的展开式中的系数为( )ABCD【答案】C【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选：C.4(2020全国高三)二项式的展开式中的系数是，则( )A1BCD【答案】B【解析】展开式的通项为，因为的系数是，所以，即，解得，故选：B.5(2020山东高三专题练习)的展开式中的系数是-10，则实数( )A2B1C-1D-2【答案】C【解析】二项式展开式的通项为，令，得，则，所以，解得.故选：C6(20

5、20广东高三一模)当为常数时，展开式中常数项为，则_【答案】【解析】的第项为，令，得，所以，解得故答案为：考向二 二项式系数的性质【例2】(1)(2020黑龙江大庆市高三三模)若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是( )ABCD(2)(2020江西高三其他)已知的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的系数为( )A80B40CD【答案】(1)D(2)A【解析】(1)的展开式中只有第项的二项式系数最大，为偶数，展开式共有项，则.的展开式的通项公式为，令，得.展开式中含项的系数是，故选D(2)由题意，所以，解得，则的展开式的通项为，由得，所以的系数为.故选：A【

6、举一反三】1(2020四川绵阳市高三三模)在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为( )A360B160C160D360【答案】B【解析】展开式中，仅第四项的二项式系数最大，展开式共有7项，则n6，则展开式的通项公式为Tk+1Cx6k()k(2)kCx62k，由62k0得k3，即常数项为T4(2)3C160，故选：B2(2020全国高三专题练习)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为( )ABCD7【答案】D【解析】因为在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以所以的展开式的通项令，得所以展开式中的系数为故选：D3(2020永丰县永丰中学高三)若

7、的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是( ).A132BCD66【答案】D【解析】因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，所以为偶数，展开式有13项，所以二项式展开式的通项为由得，所以展开式中含项的系数为.故选：D考向三 二项式系各项系数和【例3】(1)(2020四川省泸县第二中学高三)的展开式的各项系数和是( )ABCD(2)(2020四川宜宾市高三一模)若展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中的系数为( )ABCD(3)(2020江西高三)若，则( )A0B2CD1(4)(2020安徽高三)已知，则( )ABCD【答案】(1)D(2)D(3)D(4)B【解析】(1)

8、令，则展开式的各项系数和是.故选：D(2)令，则展开式中所有项的系数和为，故，展开式的通项公式为，令，解得，故的系数为，故选：D(3)由，令，可得；令，可得所以.故选：D.(4)令有，又由题意可得，故选：【举一反三】1(2020全国高三)在的展开式中，若二项式系数的和为128，常数项为14，则( )AB2C3D4【答案】B【解析】因为的展开式中，二项式系数和为128，所以，即，所以的展开式的通项为，令，则因为展开式常数项为14，即常数项是，解得故选：B2(2020全国高三其他模拟)已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为_.【答案】270【解析】令，的展开式中所有项的系数之和

9、为，所以，解得，所以展开式的通项，令，得，所以常数项为.故答案为：270.3(2020全国高三专题练习)的展开式中，的奇次幂项的系数之和为( )ABCD1【答案】A【解析】设，令，则，令，则，两式相减，整理得.故选：A4(2020湖北黄冈市黄冈中学高三)若，则的值是( )ABC126D【答案】C【解析】令，得.又，所以.故选：C5(2020全国高三专题练习)已知，则( )A2B6C12D24【答案】C【解析】因为，此二项式的展开式的通项为，当时，所以.故选：C.6.(2020江苏省南通中学高三一模)已知，则_；_；_； _.【答案】2 1094 1093 2187 【解析】当时，；当时，；当时

10、，；故；由展开式可知均为负值，均为正值，故答案为：2；1094；1093；2187.考向四 多项式展开式中特定项系数【例4】(1)(2021河南郑州市高三一模)式子的展开式中，的系数为( )ABCD(2)(2020全国高三其他模拟(理)在的展开式中的系数为( )A50B20C15D(3)(2020安徽省泗县第一中学高三其他模拟(理)的展开式的各项系数之和为5，则该展开式中x项的系数为( )A-66B-18C18D66【答案】(1)B(2)B(3)D【解析】(1)，的展开式通项为，的展开式通项为，由，可得，因此，式子的展开式中，的系数为.故选：B.(2)(2x1)(xy)6(2x1)(y6x5y

11、x4y2x3y3x2y4 xy5 y6)，故展开式中x3y3的系数为，故选：B(3)令，可得，又的通项公式为，在的展开式中x的系数为故选：D【举一反三】1(2020广西高三)的展开式中，含的项的系数是( )AB C25D55【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项，含的项的系数为故选B.2(2020福建高三二模)的展开式中的系数为( )ABCD【答案】D【解析】将展开，得，则原展开式中含的项为，整理可知其系数为98故选：D3(2020长春市第八中学高三一模)的展开式的常数项为( )ABCD【答案】B【解析】的展开式的通项公式为：Tr+1()6r=()6r= 令62r2，或62r0，分别解得r4

12、，或r3所以的展开式的常数项为+2故选：B4(2020全国高三其他模拟)已知展开式中含项的系数为，则正实数的值为( )ABCD【答案】D【解析】展开式的通项公式为：.展开式中含的项的系数为：，解得：或.为正实数，.故选：.5(2020山东高三专题练习)已知的展开式中的常数项为8，则实数( )A2B-2C-3D3【答案】A【解析】展开式的通项为，当取2时，常数项为，当取时，常数项为由题知，则.故选：A.强化练习1(2020四川凉山彝族自治州高三一模(理)的展开式中的常数项是_.(用数字作答)【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令，所以，所以展开式中常数项为：，故答案为：.2(2020上海高三专

13、题练习)在的二项展开式中，项的系数为_.【答案】【解析】由题意，令，得，所以项的系数为故答案为：153(2020上海高三专题练习)在的二项展开式中项的系数为_【答案】【解析】二项展开式的通项公式为，令，得，所以二项展开式中项的系数为.故答案为：4(2020全国高三专题练习)在的二项展开式中，中间项的系数是_【答案】【解析】，共有7项，中间项是第4项，所以中间项的系数是.故答案为：5(2020四川成都市高三)的展开式的中间一项为_.【答案】【解析】因为的展开式共有7项，所以展开式的中间一项为，故答案为：6(2020全国高三)若的展开式中与的系数之比为，则为 【答案】2【解析】因为的展开式的通项为

14、，令，解得或当时，通项为；当时，通项为，所以与的系数之比为，解得7(2020宜宾市叙州区第二中学校高三月考)已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25，则的系数为 【答案】240【解析】二项展开式的第项的通项公式为，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25，可得：，解得：.所以，令，解得：，所以的系数为，8(2020湖南长沙市雅礼中学高三月考)若直线与垂直，则二项式的展开式中x的系数为 【答案】【解析】由题意可得：，则.的展开式的通项，令，可得，即x的系数为.9(2020广西高三)在二项式的展开式中，项的系数是15，则实数a的值为_.【答案】【解析】由二项式定理，.当时，于

15、是的系数为，.10(2020江苏南京市南京师大附中高三月考)在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数等于_.【答案】【解析】由题意，在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，根据二项展开式的性质，可得，解得，所以该二项式为，则展开式的通项为，令，可得，所以含项的系数为.故答案为：.11(2020宜宾市叙州区第二中学校高三开学考试)的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大，则各项系数和为_【答案】【解析】由题：的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大，即，令x=1，的二项展开式各项系数和为故答案为：3212(2020四川德阳市高三)在二项式的展开式中，二项式系数之和为64

16、，且展开式中的常数项为20，则_【答案】【解析】因为二项式系数之和为64，所以，得，又常数项为，故，解得，故答案为：13(2020陕西省商丹高新学校高三)的展开式中的项的系数是 【答案】-120【解析】因为的展开式的通项为：，令得的展开式中的项的系数是；令得的展开式中的项的系数是；所以的展开式中的项的系数是，14(2020湖南长沙市周南中学高三二模)在的展开式中，含项的系数为 【答案】6【解析】通项公式为：，的通项公式.令，则.含项的系数为.15(2020山东高三其他模拟)的展开式中的系数为 【答案】120【解析】，故要求原展开式中的系数就要求展开式中的系数，利用二项式定理可得的通项为，则，1

17、6(2020全国高三二模)的展开式中，的系数为 【答案】-20【解析】因为，所以.因为的展开式的通项公式为，所以，所以的系数为.17(2020全国高三专题练习)若展开式中的常数项是60，则实数的值为 【答案】2【解析】由的通项公式为，结合知：当为常数项时，有，即(舍去)当为常数项时，有，即又展开式的常数项为60，解得18(2020北海市北海中学高三月考)的展开式中的系数为 【答案】30【解析】，故它的展开式中含的系数为，19(2020浙江宁波市镇海中学高三三模)记，则的值为 【答案】129【解析】中，令，得.展开式中20(2020上海杨浦区高三一模)已知的二项展开式中，所有二项式系数的和为，则

18、展开式中的常数项为_(结果用数值表示).【答案】【解析】由于的二项展开式的所有二项式系数的和为，解得.的展开式通项为，令，解得.因此，的展开式中的常数项为.故答案为：.21(2020广西北海市高三一模)展开式中的系数为，则=_.【答案】6【解析】展开式中的系数为，解得.故答案为：22(2020河南焦作市高三一模)的展开式中的系数为_.【答案】【解析】二项式的通项，二项式的通项，故的系数为，故答案为：.23(2020江苏省天一中学高三其他模拟)若，则_.【答案】【解析】由题意，由，令，则，所以.故答案为：.24(2020全国高三专题练习)的展开式中的系数为_.【答案】【解析】，展开式通项为， 令

19、，可得，因此，展开式中的系数为.故答案为：.25(2020全国高三专题练习)的展开式中的系数为4，则的展开式中常数为_【答案】8【解析】的展开式中项为，因为的展开式中的系数为4，所以，解得所以的展开式中常数项为故答案为： 826(2020广西高三其)二项式展开式中的常数项为，则实数=_【答案】1【解析】因为展开式的通项公式为令，则常数项为第5项且为5，所以27(2020黑龙江大庆市大庆实验中学高三月考)的展开式中的系数为_.(用数字作答)【答案】【解析】其中展开式的通项为要求的系数，则令，解得，所以所以的系数为故答案为：28(2020广西高三)若，则的值为_.【答案】242【解析】由题设令可得

20、，所以.故答案为：24229(2020河南高三)已知，则_.【答案】28【解析】因为的第项为(且)，所以不存在，所以，因为的系数为，所以，所以.故答案为：2830(2020全国高三专题练习)多项式展开式的常数项为_.(用数字作答)【答案】6【解析】，通项公式，当时，.故答案为：631(2020云南高三一模(理)已知的展开式中的系数为5，则_.【答案】1【解析】依题意可知，展开式中的项为，所以，解得.故答案为：.32(2020上海青浦区复旦附中青浦分校高三开学考试)代数式的展开式的常数项是_(用数字作答)【答案】3【解析】的通项公式为.令，得；令，得.常数项为故答案为.33(2020梅河口市第五

21、中学高三其他模拟(理)已知，则_.【答案】10【解析】，其通项公式为，故，所以.故答案为1034(2020上海市建平中学高三月考)已知二项展开式中的第五项系数为，则正实数_.【答案】【解析】T5x2，a0解得a故答案为35(2020湖北武汉市武汉为明学校)已知，则_.【答案】【解析】，令， ，令， ，+得，得.故答案为：.36(2020辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他模拟(理)已知是常数，且，则_【答案】3【解析】在中，取，得，取，得，所以，所以，解得.故答案为：40(2020全国高三专题练习)已知，则_【答案】【解析】令可得；令，可得，所以.故答案为041(2020全国高三专题练习)已知，则_，_.【答案】0 665 【解析】因为，令可得：.所以：；故.故答案为：0，665.42(2020浙江高三其他模拟)已知，则_【答案】 0 【解析】令得，所以,令得，所以,令得,故答案为：，0