07-新高考小题专练24--高考数学二轮必练（含解析）.docx

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1、小题专练07立体几何(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:棱柱的概念,)下列关于棱柱的说法错误的是( ).A.三棱柱的底面为三角形B.一个棱柱至少有5个面C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形D.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面全等2.(考点:球的表面积与体积,)一个球的表面积是16,那么这个球的体积为( ).A.163B.323C.643D.25633.(考点:点、线、面的位置关系,)已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ).A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m

2、,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面4.(考点:圆锥的侧面积,)已知某圆锥的表面积是14,其侧面展开图是顶角为3的扇形,则该圆锥的侧面积为( ).A.B.2C.6D.125.(考点:正方体截面面积的计算,)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,点P在线段A1C1上,若直线BB1与直线CP所成角的正切值为225,则平面PBD截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为( ).A.9512B.3512 C.512D.5136.(考点:数学史与立体几何的综合应用,)如图所示的是祖暅“开立圆术

3、”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于23d3(d为球的直径),并得到球的体积为V=16d3,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据=3.1415926,判断下列公式中最精确的一个是( ).A.d3169VB.d32VC.d3300157VD.d3158V7.(考点:异面直线所成的角,)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=CD=1,DD1=2,则直线DB1与直线BC1所成角的余弦值为( ).A.3010B.1010C.7010D.310108.(考点:直线与平面所成的角,)在所有

4、棱长都相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为棱CC1,AC的中点,则直线AB与平面B1DE所成角的余弦值为( ).A.3010B.3020C.13020D.7010二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:棱柱,圆柱,球的体积,)下列说法中不正确的是( ).A.过圆锥两母线的截面面积中,最大的是轴截面面积B.经过一条已知直线有且只有一个平面与已知平面垂直C.等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等D.表面积相等的正方体和球体,体积较大的是球体10.(考点:直线与平面的位置关

5、系,)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( ).11.(考点:圆柱、圆锥、球的侧面积和体积,)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是( ).A.圆柱的侧面积为2R2B.圆锥的侧面积为2R2C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为31212.(考点:线线、线面的位置关系,)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则下列结论正确的是( ). A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为92D.点C与点G到平面AEF的

6、距离相等三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:斜二测画法的应用,)如图所示的是水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中,点B对应的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B到x轴的距离为 .14.(考点:求二面角,)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为 .15.(考点:点到平面的距离,)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是 .16.(考点:平面图形的折叠问题,)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BC=2AB=4AD=4,将直角梯

7、形ABCD沿对角线BD折起,使点A到点P的位置,则四面体PBCD的体积的最大值为 ,此时其外接球的表面积为 .答案解析：1.(考点:棱柱的概念,)下列关于棱柱的说法错误的是( ).A.三棱柱的底面为三角形B.一个棱柱至少有5个面C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形D.若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面全等【解析】三棱柱的底面为三角形,所以A正确;因为三棱柱有5个面,所以棱柱至少有5个面,所以B正确;五棱柱有5条侧棱、5个侧面,侧面为平行四边形,所以C正确;若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面为平行四边形,即边长对应相等,但不一定全等,所以D错误.【答案】D2.(考点:球的表面积与

8、体积,)一个球的表面积是16,那么这个球的体积为( ).A.163B.323C.643D.2563【解析】设球的半径为R,因为4R2=16,所以R=2,故球的体积V=43R3=323.【答案】B3.(考点:点、线、面的位置关系,)已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ).A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面【解析】A项,可能相交,故A错误;B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故B错误;C项,若m,=n,mn,则m,故C错误

9、;D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有mn,所以原命题正确,故D项正确.【答案】D4.(考点:圆锥的侧面积,)已知某圆锥的表面积是14,其侧面展开图是顶角为3的扇形,则该圆锥的侧面积为( ).A.B.2C.6D.12【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的侧面展开图的弧长为2r.由l3=2r,解得l=6r,又圆锥的表面积是14,即r2+r6r=14,解得r2=2,所以侧面积S=6r2=12.【答案】D5.(考点:正方体截面面积的计算,)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,点P在线段A1C1上,若直线BB1与直线CP所成角的正切值为225,则平面PBD截正方体A

10、BCD-A1B1C1D1所得截面的面积为( ).A.9512B.3512C.512D.513【解析】如图,过点P作MNBD,则MNA1C1.因为直线BB1与直线CP所成的角为PCC1,所以tanPCC1=PC1CC1=PC15=225,解得PC1=22,所以MN=42.因为截面MNDB是等腰梯形,BD=52,BM=26,所以等腰梯形MNDB的高为26-52-4222=1022,所以截面面积为42+5221022=9512.【答案】A6.(考点:数学史与立体几何的综合应用,)如图所示的是祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之

11、差,从而求出牟合方盖的体积等于23d3(d为球的直径),并得到球的体积为V=16d3,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据=3.1415926,判断下列公式中最精确的一个是( ).A.d3169VB.d32VC.d3300157VD.d3158V【解析】由V=16d3得=6Vd3.由A项得Vd3916,6916=3.375;由B项得Vd312,62=3;由C项得Vd3157300,6157300=3.14;由D项得Vd3815,6815=3.2.综上,C项的公式最精确,故选C.【答案】C7.(考点:异面直线所成的角,)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=CD=1,

12、DD1=2,则直线DB1与直线BC1所成角的余弦值为( ).A.3010B.1010C.7010D.31010【解析】以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,2),C1(0,1,2),DB1=(1,1,2),BC1=(-1,0,2),cos=DB1BC1|DB1|BC1|=365=3010,即直线DB1与直线BC1所成角的余弦值为3010.【答案】A8.(考点:直线与平面所成的角,)在所有棱长都相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为棱CC1,AC的中点,则直线AB与平面B1DE所

13、成角的余弦值为( ).A.3010B.3020C.13020D.7010【解析】设正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,取A1C1的中点F,连接EF,以点E为坐标原点,EC,EB,EF所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则点A(-1,0,0),B(0,3,0),D(1,0,1),E(0,0,0),B1(0,3,2),故ED=(1,0,1),EB1=(0,3,2),AB=(1,3,0).设平面B1DE的一个法向量为n=(x,y,z),由nED=0,nEB1=0,得x+z=0,3y+2z=0,取z=-3,则x=3,y=2,n=(3,2,-3).设直线AB与平面B1DE所

14、成的角为,则sin =|cos|=|ABn|AB|n|=33210=33020,则cos =1-sin2=13020.【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(考点:棱柱,圆柱,球的体积,)下列说法中不正确的是( ).A.过圆锥两母线的截面面积中,最大的是轴截面面积B.经过一条已知直线有且只有一个平面与已知平面垂直C.等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等D.表面积相等的正方体和球体,体积较大的是球体【解析】由于圆锥母线长度都相等,设两母线的夹角为,母线长为2,则过圆锥两母线的截

15、面面积为1222sin =2sin ,当轴截面两母线的夹角=150时,轴截面的面积为2sin 150=1,此时可以找到一个两母线的夹角=90的不是轴截面的截面,其面积为2sin 90=2,故A说法错误,符合题意;当已知直线垂直于已知平面时,过已知直线的所有平面都垂直于已知平面,故B说法错误,符合题意;由于棱柱和圆柱的体积都是底面积乘高,则等底面积等高的棱柱与圆柱的体积相等,故C说法正确,不符合题意;设正方体的棱长为a,球的半径为R,则S=4R2=6a2,球的体积V1=43R3=S3S4,正方体的体积V2=a3=S6S6,所以V1V2,故D说法正确,不符合题意.故选AB.【答案】AB10.(考点

16、:直线与平面的位置关系,)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( ).【解析】对于A选项,由AB与CE所成角为45,可得直线AB与平面CDE不垂直,故A错误;对于B选项,由ABCE,ABED,CEED=E,可得AB平面CDE,故B正确;对于C选项,由AB与CE所成角为60,可得直线AB与平面CDE不垂直,故C错误;对于D选项,连接AC,由ED平面ABC,可得EDAB,同理可得ECAB,又EDEC=E,所以AB平面CDE,故D正确.【答案】BD11.(考点:圆柱、圆锥、球的侧面积和体积,)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是( ).

17、A.圆柱的侧面积为2R2B.圆锥的侧面积为2R2C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为312【解析】圆柱的侧面积为2R2R=4R2,故A错误;圆锥的侧面积为R5R=5R2,故B错误;球面面积为4R2,圆柱的侧面积为4R2,故C正确;V圆柱=R22R=2R3,V圆锥=13R22R=23R3,V球=43R3,V圆柱V圆锥V球=2R323R343R3=312,故D正确.【答案】CD12.(考点:线线、线面的位置关系,)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则下列结论正确的是( ).A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面

18、AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为92D.点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】对于A项,若D1DAF,又因为D1DAE,且AEAF=A,所以DD1平面AEF,所以DD1EF,所以CC1EF,显然不成立,故A错误;对于B项,如图所示,取B1C1的中点Q,连接A1Q,GQ,由条件可知,GQEF,A1QAE,且GQA1Q=Q,EFAE=E,所以平面A1GQ平面AEF,又因为A1G平面A1GQ,所以A1G平面AEF,故B正确;对于C项,如图所示,连接D1F,D1A,延长D1F,AE交于点S,因为E,F分别为BC,C1C的中点,所以EFA1D,所以A,E,F,D1四点共面,所以截面为梯

19、形AEFD1.又因为D1S=AS=42+22=25,A1D=22,所以SAD1S=1222(25)2-2222=6,所以S梯形AEFD1=634=92,故C正确;对于D项,记点C与点G到平面AEF的距离分别为h1,h2,因为VC-AEF=13SAEFh1=VA-CEF=131122=13,又因为VG-AEF=13SAEFh2=VA-GEF=131222=23,所以h1h2,故D错误.【答案】BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:斜二测画法的应用,)如图所示的是水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中,点B对应的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直

20、观图中,顶点B到x轴的距离为 .【解析】画出正方形ABCO的直观图(图略),BC对应BC,且BC=1,BCx=45,故顶点B到x轴的距离为22.【答案】2214.(考点:求二面角,)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为 .【解析】如图,连接AC交BD于点O,连接A1O.因为几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以AOBD.因为AA1平面ABCD,所以AA1DB,所以DB平面AOA1,故DBA1O,所以A1OA是二面角A1-BD-A的平面角.设正方体的棱长为1,则A1A=1,AO=22,所以tanA1OA=A1AOA=2.【答案

21、】215.(考点:点到平面的距离,)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是 .【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0).D1A1=(2,0,0),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0),设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则nDA1=2x+2z=0,nDB=2x+2y=0,令x=1,则n=(1,-1,-1),点D1到平面A1BD的距离d=|D1A1n|n|=23=233.【答案】23316.(考点:平面图形的折叠问题,)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC

22、,BC=2AB=4AD=4,将直角梯形ABCD沿对角线BD折起,使点A到点P的位置,则四面体PBCD的体积的最大值为 ,此时其外接球的表面积为 .【解析】当四面体PBCD的体积取最大值时,平面PBD平面DBC,点P到平面DBC的距离为PDB斜边DB上的高h.12ABAD=12BDh,h=25.故四面体PBCD体积的最大值Vmax=13SDBCh=13124225=8515.如图,PDB的外心为斜边DB的中点M,DBC的外心为点O.平面PBD平面DBC,OMBD,OM平面PBD.O即为球心,DBC的外接圆半径即为球的半径.2R=BDsinBCD=652.外接球的表面积S=4R2=654.【答案】8515 65411