一元二次方程解法与应用综合【讲师版】.docx

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1、一元二次方程解法与应用综合知识定位1. 掌握一元二次方程的四种解法；2. 掌握和熟练运用因式分解的四种方法；3. 学会用公式法分解二次三项式的方法步骤；4. 掌握列方程解应用题的一般步骤知识梳理 1 一元二次方程的定义及 4 种解法：1、因式分解法移项：使方程右边为 0适用能因式分解因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组aa由 AB=0，则 A=0 或 B=0，解两个一元一次方程14学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（

2、北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北

3、京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京

4、）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2、直接开平方法x2 = a(a 0)x1 =x2 = -适用无一次项的(x + b)2 = a(xa+b0=) a解两个一元一次方程3、配方法移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项 （移项要变号）同除：方程两边同除二次项系（每项都要除）配方：方程两边加上一次项系数一半的平方开平方：注意别忘根号和正负解方程：解两个一元一次方程4、公式法 将方程化为一般式 写出 a、b、c 求出b 2 - 4ac

5、， 若 b2-4ac0，则原方程无实数解-b b2 - 4ac 若 b2-4ac0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式x=求解2a 若 b2-4ac0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式 x =- b 求解。2a知识梳理 2 一元二次方程的应用题步骤：（1） 审题：读懂题目,审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系（2） 设元：就是设未知数,根据题意,选择适当的未知量 ,并用字母（X)表示出来,设元又分直接设元和间接设元（3） 列方程：根据题目中给出的等量关系,列出符合题意的一元二次方程（4） 解方程：求出所列方程的解（5） 验根：检验未知数的值是否符合题意（6） 写

6、出答案 【题目】解下列方程（1）2x2+x=0（2）3x2+6x=01【答案】 （1）x1=0，x2=-2（2）x1=0，x2=-2【解析】上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是：1（1）x=0 或 2x+1=0，所以 x1=0，x2=-2（2）3x=0 或 x+2=0，所以 x1=0，x2=-2#对应知识梳理 1【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】当堂例题【难度系数】2【题目

7、】当 a b c 是实数时，求证：方程 x2 - (a + b)x + (ab - c2 ) = 0 必有两个实数根，并求两根相等的条件【答案】见解析【解析】： D = -(a + b)2 - 4(ab - c2 ) = a2 + 2ab + b2 - 4ab + 4c2 = a2 - 2ab + b2 + 4c2= (a - b)2 + 4c2 ,Q(a - b)2 0,4c2 0,D 0,方程 x2 - (a + b)x + (ab - c2 ) = 0 必有两个实数根，当方程两根相等时， D = (a - b)2 + 4c2 = 0, (a - b)2 = 0 且4c2 = 0,a =

8、b 且c = a。原方程两根相等的条件是a = b 且c = 0.#对应知识梳理 1【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】当堂例题【难度系数】2 【题目】解方程（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4【答案】（1） x1=0，x2=11（2）x1=2，x2=44【解析】 （1）移项，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0 于是，得：x=0 或 4x-11=011x1=0，x2=4（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得 x-2=0 或 x-4=

9、0 x1=2，x2=4#对应知识梳理 1【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】当堂练习题【难度系数】2 【题目】 我们知道 x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么 x2-（a+b）x+ab=0 就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0【答案】（1）x1=4，x2=-1（2）x1=6，x2=1（3）x1=-5，x2=1【解析】解（1）x2-3x-4=（x-4）（x+1）（x-4）（x+1）=0x-4=0 或 x+1=0x1=4，x2=-1（2）x2-7x+6=（x-6）（x-1）

10、（x-6）（x-1）=0x-6=0 或 x-1=0x1=6，x2=1（3）x2+4x-5=（x+5）（x-1）（x+5）（x-1）=0x+5=0 或 x-1=0x1=-5，x2=1#对应知识梳理 1【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】当堂练习题【难度系数】2 【题目】某农机厂四月份生产零件 50 万个，第二季度共生产零件 182 万个设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么 x 满足的方程是（）A . 50(1+ x)2 = 182B . 50 + 50(1+ x) + 50(1+ x)2 = 182C . 50(1+ 2x)182D . 50 + 50(1+ x) + 50(1

11、+ 2x) = 182【答案】B【解析】 利用条件直接建立关系式#对应知识梳理 2【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】当堂例题【难度系数】2 【题目】某商品原价 200 元，连续两次降价 a后售价为 148 元，下列所列方程正确的是（）A .200(1+a%)2=148B .200(1a%)2=148C .200(12a%)=148D .200(1a2%)=148【答案】 B【解析】本题是常见问题，属于商品模型。第一次降价在原价的基础上乘以 1-a%，第二次降价再乘以 1-a%， 即可得出答案#对应知识梳理 2【知识点】本一元二次方程解法与应用综合【适用场合】当堂例题 【题目】某旅

12、游景点三月份共接待游客 25 万人次，五月份共接待游客 64 万人次，设每月的平均增长率为 x ，则可列方程为（）A . 25(1+ x)2 = 64C . 64(1+ x)2 = 25B . 25(1- x)2 = 64D . 64(1- x)2 = 25【答案】A【解析】该题模型可以参照上例的商品模型可直接列出方程25(1+ x)2 = 64 即选 A#对应知识梳理 2【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】当堂练习题【难度系数】2 【题目】 某企业 2019 年盈利 1500 万元，2021 年克服全球疫情的不利影响，仍实现盈利 2160 万元从 2019年到 2021 年，如果

13、该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1） 该企业 2020 年盈利多少万元？（2） 若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计 2022 年盈利多少万元？【答案】（1）1800（2）2592【解析】 解，设每年的增长率为 a 则,1500 (1+ a)2 = 2160,解出 a，即可得到答案。#对应知识梳理 2【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】当堂练习题【难度系数】2习题演练 【题目】王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年

14、利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）【答案】第一次存款的年利率约是 2.04%.【解析】设第一次存款时的年利率为 x.则根据题意，得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理，得 90x2+145x30.解这个方程，得 x10.02042.04%，x21.63.由于存款利率不能为负数，所以将 x21.63 舍去.【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【题目】下列方程中是一元二次方程的序号是 x2 = 42x2 + y = 5 33x + x2 -1 = 05x2 = 03x 2 + x

15、 = 5 12x 2【答案】 , , , + x = 43x3 - 4x2 +1 = 0。x(x + 5) = x2 - 2x【解析】判断一个方程是否是一元二次方程，要根据一元二次方程的定义，看是否同时符合条件含有一个未知数；未知数的最高次数是2; 整式方程若同时符合这三个条件的就是一元次方程，否则缺一不可其中方程含两个未知数，不符合条件；方程不是整式方程，lil 不符合条件； 方程中未知数的最高次数是 3 次，不符合条件；方程经过整理后；次项消掉，也不符合条件【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【题目】已知，关于 2 的方程(a + 5)x2 - 2ax

16、 = 1是一元二次方程，则a【答案】 =/ -5【解析】方程(a + 5)x2 - 2ax = 1既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数的最高次数是 2，因此，二次项系数a + 5 =/ 0, 故 a =/ -5.【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【题目】方程 x2 - 2x - 3 = 0 的根是【答案】 -1.31【解析】 x2 - 2x - 3 = 0, x2 - 2x +1 = 4,(x -1)2 = 4. 所以 x= -1, x2= 3.【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【题目】不解

17、方程，判断一元二次方程答案：有两个不相等的实数根6【答案】有两个不相等的实数根3x2 -6x -2x + 2 = 0 的根的情况是 【解析】原方程化为3x2 - (+2)x + 2 = 0,6b2 - 4ac = -(+2)2 - 4 2 = 8 - 4=- 0,336448原方程有两个不相等的实数根【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【题目】若关于 X 的方程 x2 + 5x + k = 0 有实数根，则 k 的取值范围是【答案】 k 254【解析】 方程有实根，b2 - 4ac = 52 - 4k 0, k 25 4【知识点】一元二次方程解法与应用综合

18、【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【题目】.若 a 的值使得 x2 + 4x + a = (x + 2)2 -1成立，则 a 的值为() A584C3 D2【答案】C【解析】(x + 2)2 -1 = x2 + 4x + 4 -1 = x2 + 4x + 3, Q a 的值使得x2 + 4x + a = (x + 2)2 -1 = x2 + 4x + 3,a = 3, 故 C 正确【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】课后两周练习【难度系数】2 【题目】关于 X 的一元二次方程错误!未找到引用源。 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是()A.k -1B.k 1C.k =/

19、 0D.k -1且 k =/ 0【答案】Dk =/ 0,【解析】由题意知4 + 4k 0.解得 k -1且 k =/ 0.【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】随堂课后练习【题目】元二次方程(1- k)x2 - 2x -1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是()A.k 2B.k 2 且 k =/ 1C.k 2 且k =/ 1【答案】B【解析】方程有两个不相等的实根,b2 - 4ac = (-2)2 - 4(1 - k) (-1) = 8 - 4k 0, k 0,原方程有不相等两实根；(2)b2 - 4ac = (-2 5)2 - 4 1(-3) = 20 +12 0,原方程有不相等两实根；(3)b2 - 4ac = 122 - 4 9 4 = 144 -144 = 0,原方程有相等两实根；(4)原方程化为： 5y 2 - 2y +1 = 0, b2 - 4ac = (-2)2 - 4 51 = 4 - 20 - 13k = - 13 ;k 0 时， k - 134当 b2 - 4ac = 4k +13 = 0时， k = - 13 ;4当 b2 - 4ac = 4k +13 0时， k - 134当 k = - 134当 k 0,原方程有两个不相等的实数根【知识点】一元二次方程解法与应用综合【适用场合】阶段测验【难度系数】2