九年级数学中考复习知识点：二次函数部分.docx

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1、二次函数所描述的关系一、知识要点及经典例题一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数；其中,ax2叫二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)注意：怎么判断一个函数是否是二次函数？(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式(a,b,c为常数,且a0)先化为一般形式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)(2)等式的右边最高次数为 2，(3)可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项(4)x的取值范围是任意实数。(5)函数的右边是一个整式2、下列函数不

2、属二次函数的是（ ）A.y=(x1)(x+2) B.y=(x+1)2C.y=2(x+3)22x2 D.y=1x23、下列函数中,不是二次函数的是( )A.y=1-x2 B.y=2(x-1)2+4;C.y=(x-1)(x+4) D.y=(x-2)2-x24、二次函数的一般形式为（）A. y=ax2+bx+c B. y=ax2+bx+c （a0）C. y=ax2+bx+c(b2+4ac=0) D. y=ax2+bx+c (b2+4ac0)5、在半径为4cm的圆中,挖去一个半径为xcm的圆面,剩下一个圆环的面积为ycm2,则y与x的函数关系式为( )A.y=x2-4；B.y=(2-x)2;C.y=-

3、(x2+4)；D.y=-x2+166.若y=(2-m)是二次函数,则m等于( ) A.2 B.2 C.-2 D.不能确定7.下列各式中，y是x的二次函数的是（）A.xy= x2-1;B. x2+y-2=0;C. y2-ax=-2； D. x2-y2+1=08.下列函数中是二次函数的有（ ）y=x； y=3（x1）22；y=（x3）22x2； y=xA1个 B2个 C3个 D4个17.函数y=（m2）x2x1是二次函数，则m= 2.2.二次函数的图象和性质一、知识要点及经典例题例1.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2y=x2的图象1）列表：2）描点：3）连线：二次函数y=x2的图象

4、是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线y =x2，y=ax2(a0)时，的图象和性质开口：向下，顶点：原点（0,0）最高点对称轴：y 轴增减性：y轴左侧,y随x增大而增大,y轴右侧,y随x增大而减小例2.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2，y =2x2y=x2的图象1）列表：2）描点：3）连线：y=ax2(a0)时，的图象和性质开口：向上，顶点：原点（0,0）最低点对称轴：y轴增减性:y轴左侧,y随x增大而减小；y轴右侧,y随x增大而增大a值越大，抛物线的开口越小a决定开口方向|a|越大,抛物线的开口越小;抛物线y=ax2的图像性质(

5、1)抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.(2)当a0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;y轴左侧y随x增大而减小，y轴右侧y随x增大而增大当a0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点y轴左侧y随x增大而增大，y 轴右侧，y随x增大而减小例1已知二次函数y=ax2的图像经过点P(2，3)，你能确定它的开口方向吗？你能确定a的值吗？例2.已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴例2、抛物线y = x21，y =x21的开口方向、对称轴、顶点各是什么？开口方向都向上，对称轴为y轴，y =x21的顶点坐标是（0，1），y =x21的顶点坐标

6、是（0，1）(1)把抛物线y=x2向上移平移1个单位，就得到抛物线y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物线y=x2-1。(1) y =-x2向下平移1个单位，就得到抛物线y= =-x2-1。二次函数y=ax2+k（a0)的图像是一条抛物线，是由抛物线y=ax2的图像向上（k0）或向下（k0）平移k个单位得到的。开口：a0开口向上,a0开口向下;与y=ax2的开口方向相同对称轴：y轴，顶点坐标：（0，k）增减性：与y=ax2的增减性相同。二次函数顶点在y轴上，可设为y=ax2+k（a0)课堂练习一：A级：(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；

7、y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。(2)将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 。课堂练习二：B级：（4）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。（5）

8、抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。（6.）二次函数y=ax2+c (a0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为（ ），点D的坐标为（ ）。例3.在同一坐标系中画出下列函数的图象：y=x2 y=(x-2)2 y=(x+2)2例4.在同一坐标系中画出下列函数的图象：y=x2 y=(x-1)2 y=(x+1)2练习1：1.将函数y=2x的图象向右平移1个单位,得到y=2

9、(x-1)的图象;y=2(x-1)的图象的顶点是（ ）,对称轴是 ;y=-x2向右平移1个单位，就得到抛物线y=-（x-1）2。y=-（x-1）2的顶点是（ ）;对称轴是 ;y=-x2向左平移1个单位，就得到抛物线y=-（x+1）2。y=-（x+1）2的顶点是（ ）;对称轴是 ;将函数y=2x的图象向右平移1个单位,得到y=2(x-1)的图象;再向上平移2个单位,得到y=2(x-1)+1的图象。y=2(x-1)+1的图象的顶点是（ ）;对称轴是 ;顶点在x轴上的抛物线y=a(x-h)2，顶点（h，0）例5.一个二次函数顶点（3，0），且过（2，1），则该二次函数为 例6.画出二次函数y=x2的

10、图象，然后将这个图象向右平移6个单位，再将这个图象向上平移3个单位.方法二：直接画出二次函数y=（x6）2+3的图象.注意：1）y=a(x-h)2+k这样的二次函数，a决定抛物线的开口大小和形状，h决定图像左右平移，k决定图像上下平移平移时：“左加右减”，“上加下减”（左右对平方内的x来说，上下是对平方外来说）2）y=a(x-h)2+k这样的二次函数,顶点坐标为（h,k）;对称轴为x=h练习1:指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值。1) y=2(x+3)2+5； 2) y=4(x-3)2+7 3) y=-3(x-1)2-2 4) y=-5(x+2)2-6 练习2:1.对称轴是直线x=

11、-2的抛物线是( )A y=-2x2-2；B y=2x2-2；Cy=-1/2(x+2)2-2；Dy=-5(x-2)2-62. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物线的解析式可设为( )Ay=a(x+3)2+5；By=a(x-3)2+5；Cy=a(x-3)2-5；Dy=a(x+3)2-52.抛物线c1的解析式为y=2(x-1)2+3抛物线c2与抛物线c1关于x轴对称,请直接写出抛物线c2的解析式_1)若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是_2)如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过 平移得到抛物线y=2x23)将抛物线y=2(x -1)2+3经过 的平移得到抛物

12、线y=2(x+2)2-14)若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_例7.求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴、顶点坐标和增减性.例2.求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴、顶点坐标.因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1)，当x2时，y随x的增大而减小，当x2时，y随x的增大而增大.2.二次函数y（x1）2+3图像的顶点坐标是（ ）A.（1，3） B.（1，3）C.（1，3） D. （1，3）4、二次函数 y(x1)22，当 x时，y 有最小值.5、函数 y (x1)23，当 x时，函数值

13、 y 随 x 的增大而增大.6.二次函数的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）Ay=a3 By=a3 Cy=a3 Dy=a37.二次函数y=2x-4的顶点坐标为_，对称轴为_。8.将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 .9.二次函数由向_平移_个单位，再向_平移_个单位得到。10.抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，它的开口向 ，在对称轴的左侧，即当x 时，y随x的增大而 ；当x= 时，y的值最 ，最 值是 。11.若一抛物线形状与y5x22相同，顶点坐标是(4,2)，则其解析式是_.12.抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为_13.若抛物

14、线yx2bx9的顶点在y轴上，则b的值为_14.已知一个二次函数的图像过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式（1）右移2个单位 ；（2）左移个单位 ；（3）先左移1个单位，再右移4个单位 .二次函数yax2bxc与x轴的位置关系有三种： 对应着一元二次方程ax2bxc0的根三种情况（1）当b24ac0时抛物线yax2bxc与x轴有个交点；（2）当b24ac0时，抛物线yax2bxc与x轴有 个交点；（3）当b24ac0时，抛物线yax2bxc与x轴 公共点2. 已知二次函数y=mx2+x-1(1) 当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2) 当m为何值时，图象与x轴有一

15、个交点？(3) 当m为何值时，图象与x轴无交点？6、抛物线y=x2-x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是 。7、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有 个交点。8、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为（ ）课后练习：1抛物线y=a（x2）（x5）与x轴的交点坐标为 2已知抛物线的对称轴是x=1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是6，则它的表达式为 4抛物线y=x22x3的顶点坐标是 5若抛物线y=2x2（m3）xm7的对称轴是x=1，则m= 6抛物线y=2x28xm与x轴只有一个交点，则m= 7已知抛物线y=ax2bxc

16、的系数有abc=0，则这条抛物线经过点 8二次函数y=kx23x4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 10抛物线y=3x25x与两坐标轴交点的个数为（ ）A3个 B2个 C1个 D无11如图1所示，函数y=ax2bxc的图象过（1，0），则的值是（ ）A3 B3 C D12已知二次函数y=ax2bxc的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）A.01；B.02；C.12；D.=113已知二次函数y=x2mxm2求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点14已知二次函数y=x22kxk2k2（1）当实数k为何值时，图象经过原点？（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？2

17、.3确定二次函数的表达式一、知识要点及经典例题求二次函数解析式的常见的三种形式：1、一般式（也叫“三点式”）：y=ax2+bx+c.已知抛物线上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.优点：二次项系数a，一次项系数b，常数项c，三系数一目了然。缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴例1、二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6),求这个二次函数的表达式.解:设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得解析式为y=x2+2.注意：题中有解析式就不用再设，如果没有解析式需先设。练习1：1.已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（

18、3，5）；求该函数的解析式2、已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）求该函数的解析式3、已知一个二次函数的图象经过点（1，-1），（0，1），（-1，13），求这个二次函数的解析式；2）二次函数y=-x2-4x-3与x轴交点坐标（-3,0），（-1,0）-x2-4x-3=0，(x+3)(x+1)=0 y=(x+3)(x+1)交点式（也叫“两点式”）：已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，设解析式为ya(xx1)(xx2)（a0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。优点：很容易看出图像与轴的交点坐标（x1，0）和（x2，0）缺点：（1）不容易

19、看出二次项系数a，一次项系数b，常数项c各是多少。（2）当图像不与轴相交时，此式不成立。例1、抛物线与x轴的交点是A(2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)求该抛物线的解析式；解：方法(1) 设抛物线为y=a(x+2)(x-1), 把D(2，8)代入抛物线,得8=a(2+2)(2-1),a=2y=2(x+2)(x-1)2x22x4方法2：设这个抛物线的解析式为y=ax2bxc将A(2，0)，B(1，0)，C(2，8)三点代入，得解这个方程组，得所求抛物线的解析式为y2x22x4练习2：1、已知抛物线与x轴交于点（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）求该函数的解析式2、二次函数的图象

20、经过点（1，0），（2，0），（3，4）求函数的解析式3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，求这个二次函数的解析式.3、顶点式y=a(xh)2+k（a0），其中（h，k）是抛物线的顶点。通常选择顶点式.优点：很容易看出顶点坐标和对称轴缺点：不容易看出二次项系数，一次项系数，常数项各是多少。例1、已知抛物线的顶点为（-2，-1）且与y轴交于点（0，3）；求抛物线的解析式解：抛物线的顶点为Q（-2，1），设抛物线的函数关系式为.将C（0，3）代入上式，得.， 即2、已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为，且与y轴交于点C（0，2）

21、，求抛物线的解析式题意，设抛物线的解析式为：抛物线经过（0，2），解得：a=，y=(x-4)2-注：二次函数顶点在y轴上，可设为y=ax2+k,顶点（0，k）二次函数顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2,顶点（h,0）练习3：1、已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；求该函数的解析式2、已知抛物线y=ax2+bx+c的图象顶点为(2，3)，且过(1，5)，则抛物线的表达式为_.3、二次函数y（m2）x（m3）xm2的图象过点（0，5）（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴。4、已知抛物线y=ax2+bx+c (a0) 经过(0,1)和(2

22、,-3) 两点.如果抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围;若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式.综合练习：1、.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3）且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；2、求函数.y=4x2+24x+35的图像的对称轴、顶点坐标及与x轴的交点坐标. 3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的表达式；4、1)已知抛物线与x轴交于点M（

23、-1，0）、N（2，0），且经过点（1，2），求这个函数的表达式；2) 不论m取任何实数，抛物线y=x2+2mx+m2+m-1的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是_5、已知抛物线的顶点为（1，-1），且过点（2，1），求这个函数的表达式；6、已知二次函数y=(m22)x24mx+n的图象的对称轴是x=2,且最高点在直线y=12x+1上,求这个二次函数的表达式.7、已知二次函数的图象经过点(0,3),对称轴方程是x-1=0,抛物线与x轴两交点的距离为4,求这个二次函数的解析式.8、已知二次函数的顶点坐标是(3,2),且图象与x轴的两个交点间距离是4.求这个二次函数的解析式.9、已知二次

24、函数y=ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A(3,0),B两点,与y轴交于(0,3)点,对称轴是x=1,求二次函数的解析式.10二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是 6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式接近中考1、求满足下列条件的(1)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(2)图象顶点坐标是(-1,9)与x轴两交点间的距离是6.2、若直线与二次函数的图象与交A、B两点，求以A、B及原点O为顶点的三角形的面积。3、已知，如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为，求的值；4、二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C，（1）求A、B、C三点的坐标；（2）如果P(x，y)是抛物线AC之间的动点，O为坐标原点，试求POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）是否存在这样的点P，使得PO=PA，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。5、已知直线y=x2与x轴交于A点，与y轴交于B点，一抛物线经过A、B两点且其对称轴为x2，求（1）这条抛物线的解析式；（2）这条抛物线的顶点坐标；（3）这条抛物线与x轴和y轴的交点及原点为顶点坐标的三角形的面积。 第 7 页 共 7 页学科网（北京）股份有限公司