专题18圆锥曲线与外心问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(解析版).docx
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1、专题18 圆锥曲线与外心问题一、单选题1已知点,是椭圆的左、右焦点,点是这个椭圆上位于轴上方的点,点是的外心,若存在实数,使得,则当的面积为8时,的最小值为A4BCD【解析】由于外心在的垂直平分线上,故外心在轴上,而方向朝着轴的负半轴,故点位于椭圆的上顶点,此时三角形面积为.所以,故选.2设为双曲线的右焦点,以为圆心,为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为,线段的中点为,的外心为,且满足,则双曲线的离心率为( )ABC2D【解析】由题,因为,所以、三点共线,因为点为线段的中点,的外心为,所以,即,设双曲线的左焦点为,则点为线段的中点,则在中,即,所以是直角三角形,所以,因为,由双曲线定义可得,所
2、以,则,因为,整理可得,所以,则,故选:D3已知坐标平面中,点,分别为双曲线()的左、右焦点,点在双曲线的左支上,与双曲线的一条渐近线交于点,且为的中点,点为的外心,若、三点共线,则双曲线的离心率为( )AB3CD5【解析】不妨设点在第二象限,设,由为的中点,、三点共线知直线垂直平分,则,故有,且,解得,将,即,代入双曲线的方程可得,化简可得,即,当点在第三象限时,同理可得.故选:C.4已知是双曲线的左右焦点,过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A,B两点,则坐标原点O可能为的( )A垂心B内心C外心D重心【解析】对B,若O为的内心,则到直线的距离等于,显然不可能,到直线的距离
3、恒小于,故B错误;对C,若O为的外心,则,和已知矛盾,故B错误;对D,若O为的重心,则,这也显然错误,故C错误;根据排除法,O可能为的垂心,故选:A.5在直角坐标系xOy中,F1(-c,0),F2(c,0)分别是双曲线C:的左、右焦点,位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点,PF1F2的外心M的坐标为,PF1F2的面积为2a2,则双曲线C的渐近线方程为( )AyxByxCyxDyx【解析】由PF1F2的外心M,知:,在中,即,故F1PF2,在中,而,即,而,由题意知:,故双曲线的渐近线方程为:故选:D二、填空题6已知点分别为双曲线的左、右焦点,点A,B在C的右支上,且点恰好为的外
4、心,若,则C的离心率为_.【解析】取的中点为C,连接BC、,如图所示:因为,所以,又C为的中点,所以为等腰三角形且,因为点恰好为的外心,所以点在直线BC上,且,由双曲线的定义知,则,所以为等边三角形,则,在中,即,化简得,同时除以可得,解得或(舍去).7已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A,椭圆的左右焦点分别为B、C,T为ABC的外心,则的值为_.【解析】已知椭圆和双曲线焦距相等所以焦点相同,设,为两曲线在第二象限的交点,设,因为为中点,ABC的外心在轴上,8已知点,是椭圆的左、右焦点,点是这个椭圆上位于轴上方的点,点是的外心,若存在实数,使得,则当的面积为8时,的最小值为_【解
5、析】由G是PF1F2的外心,则G在y轴的正半轴上,则,则P,G,O三点共线,即P位于上顶点,则PF1F2的面积S=b2c=bc=8,由a2=b2+c22bc=16,则a4,当且仅当b=c=2时取等号,a的最小值为4,故答案为49已知斜率为1的直线与抛物线交于两点,若的外心为为坐标原点),则当最大时,=_.【解析】由题意知,为外接圆的半径,在中,由正弦定理可知,(R为外接圆的半径),当,即时,取得最大值2.设,易知,则,得,即.设直线的方程为,即,代入得,则,所以,解得.故.10已知的三个顶点均在抛物线上,给出下列命题:若直线过点,则存在使抛物线的焦点恰为的重心;若直线过点,则存在点使为直角三角
6、形;存在,使抛物线的焦点恰为的外心;若边的中线轴,则的面积为.其中正确的序号为_【解析】设三点坐标分别为,直线过点,设方程为,联立,消去,得,抛物线的焦点恰为的重心,将点坐标代入抛物线方程,当时,正确;直线过点,设方程为,联立消去得,而点在抛物线上,故正确;设以抛物线焦点为圆心的圆半径为,其方程为,与抛物线方程联立得,方程至多只有一个非负解,即圆与抛物线至多只有两个交点,不存在,使抛物线的焦点恰为的外心;不正确;的方程为,代入抛物线方程得,设中点,轴,代入抛物线方程得,.不正确.故答案为:.三、解答题11在直角坐标系xOy中直线与抛物线C:交于A,B两点,且求C的方程;若D为直线外一点,且的外
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