《高等数学》教案4.3 函数的单调性与极值 第二次课.doc

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1、高等数学教案4.3 函数的单调性与极值 第二次课4。3函数的单调性与极值教学目标：掌握函数极值的求解方法；教学重点：函数极值的判定；教学难点：函数极值的判定。授课时数:2课时。教学过程过程备注新知识定义设函数在区间内有定义，是内一点如果对附近所有有定义的点都有（或)，就称是函数的一个极大值（或极小值）.x0xyO图46f(x0)x0xyO图 45f(x0) 注意1。函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点 2.函数的极值是局部性概念f(x1)（xbx6x5x4x3x2x1Oaf(x4)（y图47如果是函数的一个极大值,只意味在的一个邻域内是一个最大值，而对于的整个定义

2、域来说, 不一定是最大的,甚至比极小值还小。如图47所示是函数的一个极大值，而是函数的一个极小值，但显然小于 函数的极值点实质上就是函数升降的分界点，因此有:定理4.5 （极值的必要条件） 若函数在点x0 处取得极值, 则或不存在注意：驻点和不可导点都有可能是函数的极值点定理4。6（极值存在的第一充分条件) 设函数在点x0及其附近连续且可导(在x0处可以不可导），且在x0的两边导数值异号，则在点x0必取得极值具体表述如下：(1)若f (x）由正变负, 则是函数的极大值; （2)若f （x)由负变正, 则是函数的极小值; (3)如果在x0的左、右两侧符号相同,则不是极值求函数极值的解题步骤：1.

3、求定义域；2。求导数、驻点、不可导点；3.列表判定。教师讲授20知识巩固例 求的极值.解 f (x)的定义域为 (-, +） ， 令得驻点为；显然无不可导点；列表得：11+0-0+极大值4极小值0故函数的极大值为，极小值为。教师讲授30 练习 求的极值.解 ,，令得驻点为；显然为不可导点.2-0+极小值12故函数的极小值为。无极大值.学生完成40例 求函数的极值. 解 （1) f （x)的定义域为 (-, +) ;(2） f (x) =2xex += x e x （2+x）；（3） 令f (x）=0, 得驻点x1 = -2， x2 = 0，无不可导点; （4） 用驻点x1=-2, x1=0 分

4、f(x）的定义域(-, +)，列表如下：x(-, -2）-2(-2, 0）0（0, +)f （x）+0-0+ f （x）极大值极小值0 函数的极大值为f （-2） =, 极小值为.教师讲授50新知识定理4.7（极值存在的第二充分条件） 设函数在点x0处具有二阶导数,且f （x0）=0，(1) 若,则f （x0)是函数的极大值; （2) 若，则f （x0）是函数的极小值.定理表明，在函数的驻点x0处如果二阶导数，则该驻点一定是极值点，且可根据的符号判定是极大值还是极小值.注意以下三种情况下不能使用第二判别法,必须使用第一判别法进行判别：（1）不存在；（2）；（3）不存在。教师讲授55知识巩固例

5、求函数的极值.解 函数的定义域为,，令得驻点,又,故由极值存在的第二充分条件，是函数的极小值点,的极小值为.教师讲授65练习 求函数的极值.解 函数的定义域为，,令得驻点为或；由于，,故函数的极大值为，极小值为.学生完成75例 设方程恰有两个实根，求的取值分析 当函数的极大值点或极小值点在轴上时，函数曲线恰好过轴两次，也就是方程恰有两个实根.解 令 ,由于,，故函数在处取得极大值，在处取得极小值。当函数的极大值点或极小值点在轴上时，函数曲线恰好过轴两次，也就是方程恰有两个实根，故或。从而或教师引领学生完成85小结 极值存在的第一充分条件极值函数的单调性与极值极值存在的第二充分条件教师总结90作业1。 梳理本节知识内容;2。 完成练习题四对应内容。6 / 6