《高等数学》教案3.1 导数的概念.doc

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1、高等数学教案3.1 导数的概念3.1导数的概念教学目标:（1）了解导数的物理意义,掌握导数的几何意义；(2）掌握导数的定义；（3）掌握基本初等函数的导数;(4)理解连续与可导的关系；教学重点：(1）导数的定义；(2）可导与连续的关系.教学难点：导数的定义。授课时数:2课时。教学过程过程备注观察1。变速直线运动的即时速度一物体作变速直线运动,从某时刻开始到时刻所经过的路程为,求物体在某时刻的速度考察在时间段内物体运动的平均速度为 .如果很小，则物体在时间段内的平均速度就接近它在时刻的即时速度,当时，时间段收缩成一点，因而平均速度的极限就是即时速度. 。 2曲线的切线点是曲线上的任意一点,求过该点

2、并与曲线相切的切线方程 在的邻近取一点，则割线 的斜率为.当点沿曲线趋向于，割线的极限位置就是曲线在点的切线因此，切线的斜率为 .上述两个具体问题尽管实际背景不一样，但从抽象的数量关系来看却是一样的，都是当自变量的改变量趋于零时，计算函数的改变量与自变量的改变量比值的极限.大量的实际问题都需要计算这种类型的极限，由此我们抽象出导数定义。新知识导入10新知识定义 3.1 设函数在点及其附近有定义,当自变量在点处取得增量，相应地，因变量取得增量,如果极限存在，则称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记为,即.函数在处的导数也可记为，或,并称函数在点处可导；如果不存在，则称函数在点处不可

3、导。有时为了书写和计算方便，导数也可表示为 及 如果函数在区间内的每一点都可导,则称函数在区间内可导,即对任何，有.称为的导函数，简称为的导数，且。教师讲授20知识巩固例 计算函数在点处的导数。解 当由变化到时,函数相应的改变量 ，从而。例 若，求=？解 因为，所以.教师讲授25新知识函数在点处的左导数与右导数，记作与,即 ，.左导数与右导数统称为函数的单侧导数.为了研究可导,有时我们还要用到单侧导数概念.根据函数在点处的导数定义，导数 是一个极限，因此存在即函数在点处可导的充分必要条件是左、右极限 和都存在且相等.这两个极限分别称为函数在点处的左导数与右导数,记作与，即 ， 。左导数与右导数

4、统称为函数的单侧导数.显然，函数在点处可导的充要条件是函数在点处可导的充要条件是函数在点处的左导数与右导数都存在且相等,即。它一般用于判断分段函数在分段点处的可导性。教师讲授35新知识导数的几何意义如果函数在点处可导,则在点处的导数值为曲线在点处的切线的斜率，即.注意 。曲线在点处的切线方程为；法线方程为.注意 切线斜率与法线斜率互为负倒,即.若，表示切线的倾斜角为0;若,表示切线的倾斜角为.教师讲授45知识巩固例 求曲线在处的切线方程和法线方程?解 ，切点为，切线方程为:,即。法线方程为：，即.教师讲授50练习 求曲线在处的切线方程和法线方程?解 ，切点为，切线方程为:，即。 法线方程为：,

5、即。学生完成55新知识函数可导与连续的关系设函数在点处可导,则存在，由于分母的极限为0,因此分子的极限必为0。 由此可见，当时，。 这就是说，函数在点处是连续的。 所以可导必连续，但连续却不一定可导.例如虽然在处连续，但，显然在处不可导。教师讲授60知识巩固例 证明函数在处连续但不可导.解 ，故在处连续，又,，左右导数存在但不相等，因此不存在,故在处不可导例 证明函数在处连续但不可导.解 ，故在处连续，又不存在,因此不存在，故在处连续但不可导从导数的几何意义可以看出，函数在某一点连续，只要求函数在该点不间断，而函数在某一点可导，不仅要求函数在该点不间断，而且还要求函数在该点能作出一条唯一的不垂直于轴的切线.教师讲授65新知识基本初等函数的导数(1) （为常数）;（2) （为任意常数）, 特别地,；（3） （） 特别地, ；（4) （）, 特别地，；（5) ； (6） ;(7） ; (8) ;（9） ; (10);（11) ; （12) .此外，。结合以前知识介绍75知识巩固例 求出下列函数的导数： ，. 解 ，, ，. 教师讲授80练习 求出下列函数的导数：，,.解 , ，.学生完成85小结 导数连续教师总结90作业1。 梳理本节知识内容;2。 完成练习题三对应内容.9 / 9