高等数学电子教案4（优秀）.docx

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1、高等数学电子教案4（优秀） 高等数学教案 第四章 不定积分 教学目的： 第四章 不定积分 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、驾驭不定积分的基本公式，驾驭不定积分的性质，驾驭换元积分法（第一，其次）与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简洁无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 青岛科技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 4. 1 不定积分的概念与性质 一、教学目的与要求： 1 2 理解原函数与不定积

2、分的概念及性质。 驾驭不定积分的基本公式。 二、重点、难点：原函数与不定积分的概念 三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ，Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、协助教学状况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济高校高等数学第五版 青岛科技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 一、原函数与不定积分的概念 定义 1假如在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xI, 都有 F(x)=f

3、(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. 例如 因为(sin x)=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x (1, +)时, 因为(x)=1, 所以x是1的原函数. 2x2x 提问: cos x和1还有其它原函数吗？ 2x 原函数存在定理 假如函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x I 都有 F (x)=f(x). 简洁地说就是: 连续函数肯定有原函数. 两点说明: 第一, 假如函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数, F(x)+

4、C都是f(x)的原函数, 其中C是随意常数. 其次, f(x)的随意两个原函数之间只差一个常数, 即假如F(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 F(x)-F(x)=C (C为某个常数). 定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有随意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 f(x)dx. 其中记号称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量. 依据定义, 假如F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即 f(x)dx=F(x)+C. 因而不定积分f(x)dx可以表示f(x

5、)的随意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 cosxdx=sinx+C. 因为x是1的原函数, 所以 2x青岛科技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 1dx=x+C. 2x 例2.求函数f(x)=1的不定积分. x 解：当x0时, (ln x)=1, x 1 dx=lnx+C(x0); x 当x -xx 1 dx=ln(-x)+C(x x 合并上面两式, 得到 1 dx=ln|x|+C(x0). x 例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为y=f(x)

6、, 按题设, 曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为y=f (x)=2x, , 即f(x)是2x 的一个原函数. 因为 2xdx=x2+C, 故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故 2=1+C, C=1. 于是所求曲线方程为y=x+1. 积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 从不定积分的定义, 即可知下述关系: df(x)dx=f(x), dx2或 df(x)dx=f(x)dx; 又由于F(x)是F(x)的原函数, 所以 F(x)dx=F(x)+C, 或记作 dF(x)=F(x)+C. 青岛科技高校数

7、理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 由此可见, 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号表示）是互逆的. 当记号与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数. 二、基本积分表 (1)kdx=kx+C(k是常数), (2)xmdx=1xm+1+C, m+1(3)1dx=ln|x|+C, x(4)exdx=ex+C, x(5)axdx=a+C, lna(6)cosxdx=sinx+C, (7)sinxdx=-cosx+C, (8)(9)1dx=sec2xdx=tanx+C, 2cosx1dx=csc2xdx=-cotx+C, 2sinx1dx

8、=arctanx+C, 1+x211-x2(10)(11)dx=arcsinx+C, (12)secxtanxdx=secx+C, (13)cscxcotdx=-cscx+C, (14)sh x dx=ch x+C, (15)ch x dx=sh x+C. 111x-3+1+C=-2+C. 例4 3dx=x-3dx=-3+12xx青岛科技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 例5 x2xdx=x52dx=15+125+1x2+C22=x2+C=x3x+C777. 例6 dx=x3xx-43dx=4-+1x34-+13+C=-3x-13+C=-33x+C. 三、不定积分

9、的性质 性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即 f(x)+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx. 这是因为, f(x)dx+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx=f(x)+g(x). 性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即 kf(x)dx=kf(x)dx(k是常数, k 0). 例7.x(x-5)dx=(x2521-5x2)dx 1x2dx = = 例8 5x2dx7-15x2dx3=5x2dx-5 27x2-523x2+C. (x-1)3x2x3-3x2+3x-131dx=dx=(x-3+-2)dx2xxx1111 =xdx-3

10、dx+3dx-2dx=x2-3x+3ln|x|+C. x2xx 例9 (ex-3cosx)dx=exdx-3cosxdx=ex-3sinx+C. 例10 xxx2edx=(2e)dx=2(2e)xln(2e)+C=2xex+C1+ln2. 1+x+x11dx=dx=(+)dx 例11 x(1+x2)x(1+x2)1+x2xx+(1+x2) = 例12 11dx+dx=arctanx+ln|x|+C. 2x1+x(x2+1)(x2-1)+1x4x4-1+1dx1+x2dx=1+x2dx=1+x2 =(x2-1+11)dx=x2dx-dx+dx 21+x1+x2青岛科技高校数理学院高等数学课程建设

11、组 高等数学教案 第四章 不定积分 =1x3-x+arctanx+C. 3 例13 tan2xdx=(sec2x-1)dx=sec2xdx-dx = tan x - x + C . 例14 sin2x dx=1-cosxdx=1(1-cosx)dx 222 = 例15 12(x-sinx)+C. 1dx=-4cotx+C. sin2x1sin2xxcos222dx=4青岛科技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 4. 2 换元积分法 一、教学目的与要求： 1 2 驾驭不定积分的第一类换元法（凑微分法），熟识常见的凑微分的类型，会敏捷应用凑微分法求不定积分。 驾驭不定积

12、分的其次类换元法，并会敏捷运用常用的代换方法。 二、重点、难点：换元法 三、主要外语词汇：Change a dollar 四、协助教学状况:多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济高校高等数学第五版 青岛科技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 一、第一类换元法 设f(u)有原函数F(u), u=j(x), 且j(x)可微, 那么, 依据复合函数微分法, 有 d Fj(x) =d F(u)=F (u)d u= F j(x) dj(x)= F j(x) j(x)d x , 所以 F j(x)j(x)dx= F j(x) dj(x)= F (u)d u

13、= d F(u)=d Fj(x) , 因此 Fj(x)j(x)dx=Fj(x)dj(x) =F(u)du=dF(u)=dFj(x)=Fj(x)+C. 即 fj(x)j(x)dx=fj(x)dj(x)=f(u)duu=j(x) =F(u) +C u = j(x) = Fj(x)+C. 定理 1设f(u)具有原函数, u=j(x)可导, 则有换元公式 fj(x)j(x)dx=fj(x)dj(x)=f(u)du=F(u)+C=Fj(x)+C . 被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式j(x)dx =du可以应用到被积表达式中. 在求积分g(x)dx时, 假如函数g(x)可以化为

14、g(x)= fj(x)j(x)的形式, 那么 g(x)dx=fj(x)j(x)dx=f(u)duu=j(x). 例1.2cos2xdx=cos2x(2x)dx=cos2xd(2x) u+C=sin 2x+C . =cosudu=sin11111dx=(3+2x)dx=d(3+2x) 例2.3+2x23+2x23+2x1111 =dx=ln|u|+C=ln|3+2x|+C. 2u22 例3.2xexdx=ex(x2)dx=exd(x2)=eudu =eu+C=ex+C. 11 例4.x1-x2dx=1-x2(x2)dx=1-x2dx2 22222 2 111=-1-x2d(1-x2)=-u2du

15、=-u2+C223=-1(1-x2)2+C. 3313 青岛科技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 例5.tanxdx=sinxdx=-1dcosx cosxcosx =-1du=-ln|u|+C u =-ln|cos x|+C . 即 tanxdx=-ln|cosx|+C. 类似地可得cotxdx=ln|sinx|+C. 娴熟之后, 变量代换就不必再写出了. 例6.212dx=121dx a+xa1+(x)2a =1a1x1xd=arctan+C. xa1+()2aaa1x 即 212dx=arctan+C. aaa+xxxxx 例7.chdx=achd=a sh

16、+C. aaaa 例8.当a0时, 1a2-x2dx=1a1x1-()2adx=1x1-()2adxx=arcsin+C. aa 即 xdx=arcsin+C. aa2-x211111111-)dx=dx-dx 例9.22dx=(2ax-ax+a2ax-ax+ax-a111d(x-a)-d(x+a) =2ax-ax+a11x-a|+C. =ln|x-a|-ln|x+a|+C=ln|2a2ax+a11x-a|+C. 即 22dx=ln|2ax+ax-adxdlnx1= 例10. x(1+2lnx)1+2lnx21+2lnxd(1+2lnx)1 =ln|1+2lnx|+C. 2青岛科技高校数理学院

17、高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 例11.e3xxdx=2e3xdx=23e3xd3x =2e33x+C. 含三角函数的积分: 例12.sin3xdx=sin2xsinxdx=-(1-cos2x)dcosx 1 =-dcosx+cos2xdcosx=-cosx+co3sx+C. 3 例13.sin2xcos5xdx=sin2xcos4xdsinx 22x(1-sinx)2dsinx =sin46nx-2sinx+sinx)dsinx =(si221357x-sinx+sinx+C. =1sin357 例14.cos2xdx=1+cos2xdx=1(dx+cos2xdx) 22

18、11112x+C. =dx+cos2xd2x=x+sin24241 例15.cos4xdx=(cos2x)2dx=(1+cos2x)2dx 21 =(1+2cos2x+cos22x)dx 4131 =(+2cos2x+cos4x)dx 4221312x+sin4x)+C =(x+sin4283114x+C. =x+sin2x+sin84321 例16.cos3xcos2xdx=(cosx+cos5x)dx 2115x+C. =sinx+sin2101dx= 例17.cscxdx=sinx1dx xx2sincos22青岛科技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 dx2

19、2 =dtanx2=xtancos2x2=ln|tanx|+C=ln |csc x -cot x |+C . x2tan2 即 cscxdx=ln |csc x -cot x |+C . 例18.secxdx=csc(x+p)dx=ln|csc(x+ p)-cot(x+ p)|+C 222 =ln |sec x + tan x | + C. 即 secxdx=ln |sec x + tan x | + C. 二、其次类换元法 定理2 设x =j(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f j(t)j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式 -1f(x)dx=fj(t)j(t)dt=F

20、(t)=Fj-1(x)+C. 其中t=j(x)是x=j(t)的反函数. 这是因为 Fj-1(x)=F(t)dt=fj(t)j(t)1=fj(t)=f(x). dxdxdt 例19.求a2-x2dx(a0). 解: 设x=a sin t , - pt p, 那么a2-x2=a2-a2sin2t=acost, 22dx =a cos t d t , 于是 a2-x2dx=acostacostdt 11stdt=a2(t+sin2t)+C. =a2co224因为t=arcsinxaxa2-x2, sin2t=2sintcost=2, 所以 aaa2x111arcsin+xa2-x2+C. a-xdx

21、=a(t+sin2t)+C=2a224222 解: 设x=a sin t , - pt0). 解法一: 设x=a tan t, - pt p, 那么 22x2+a2=a2+a2tan2t=a1+tan2t=a sec t , dx=a sec 2 t d t , 于是 因为sect=dxx2+a2=asec2tdt=sectdt= ln |sec t + tan t |+C . asectx2+a2x, tant=, 所以 aadxx+a22x= ln |sec t + tan t |+C=ln(+ax2+a2)+C=ln(x+ax2+a2)+C1, 其中C 1=C-ln a . 解法一: 设

22、x=a tan t, - pt0). 解: 当xa 时, 设x=a sec t (0ta 时, 设x=a sec t (0t1时，用分部积分法, 有 dxxx2=+2(n-1) 22n-1(x2+a2)ndx (x+a)(x2+a2)n- 1 =x1a2+2(n-1)-(x2+a2)n-1(x2+a2)ndx, (x2+a2)n-1青岛科技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 即 In-1=x(x2+a)22n-12+2(n-1)(In-1-aIn), 于是 In=1x2+(2n-3)In-1. 2a(n-1)(x+a2)n-11aarctanxa+C以此作为递推公式

23、, 并由I1= 例10 求exdx. 即可得In. 解 令x =t 2 , 则 , dx=2tdt. 于 exdx=2tetdt=2et(t-1)+C=2ex(x-1)+C. exdx=exd(x)2=2xexdx =2xde =2xexx=2xexx-2exxdx -2e+C=2e(x-1)+C. 第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分 令j(x)=u fj(x)j(x)dx=fj(x)dj(x)f(u)du, u(x)v(x)dx=u(x)dv(x) =u(x)v(x)-v(x)du(x). 哪些积分可以用分部积分法？ xcosxdx, xexdx, x2exdx; xl

24、nxdx, arccosexxdx, 3xarctanxdx; sinxdx, x2sec2xdx. 2xex 2dx=exdx2=eudu= , exdx=x2dex=x2ex-exdx2= . 青岛科技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 4. 4 有理函数的积分 一、教学目的与要求： 会求有理函数、三角函数的有理式及简洁的无理函数的积分。 二、重点（难点）：有理函数的积分。 三、主要外语词汇：Have the reason function integral 四、协助教学状况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济高校高等数学第五版 青岛科

25、技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 一、有理函数的积分 有理函数的形式: 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: P(x)Q(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+anb0xm+b1xm-1+bm-1x+bm, 其中m和n都是非负整数; a0, a1, a2, , an及b0, b1, b2, , bm都是实数, 并且a00, b00. 当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如 2x3+x+1x(x+1)+11. =x+222x+1x+1x+

26、1真分式的不定积分: 求真分式的不定积分时, 假如分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. dx. 例1 求2x-5x+6x+365x+3dx=-)dx 解 2dx=(x-3x-2(x-2)(x-3)x-5x+665dx-dx=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C. =x-3x-2x+3提示: (A+B)x+(-2A-3B)x+3AB=+=, (x-2)(x-3)x-3x-2(x-2)(x-3)A+B=1, -3A-2B=3, A=6, B=-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分: dx. 例2 求2x+2x+3x-212x+21dx=(-32)dx 解 222x+2x

27、+3x+2x+3x+2x+312x+21dx-32dx =22x+2x+3x+2x+3x- 2 1=2d(x2+2x+3)x+2x+32-3d(x+1)(x+1)2+(2)2 3x+1x2+2x+3)-arctan+C. =1ln(2221(2x+2)-3x-21x-212=2-32提示: 2. 22x+2x+3x+2x+3x+2x+3x+2x+31dx. 例3 求x(x-1)2青岛科技高校数理学院高等数学课程建设组 高等数学教案 第四章 不定积分 1111 解 dx=-+dx xx-1(x-1)2x(x-1)2 =1dx-1dx+12dx=ln|x|-ln|x-1|-1+C. x-1xx-1

28、(x-1) 提示: =-11-x+x11=-+22x(x-1)(x-1)2x(x-1)x(x-1) 1-x+x1111. +=-+2x(x-1)(x-1)xx-1(x-1)2 二、可化为有理函数的积分举例 1。三角函数有理式的积分 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x、cos x 的有理式. 用于三角函数有理式积分的变换: 把sin x、cos x表成tanxx的函数, 然后作变换u=tan: 2 2 xx2tan2tanxx2=2=