高等数学教案12.docx

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1、高等数学教案12 - 3.余项rn=s-sn=un+1+un+2+L.aq=a+aq+aq+L+aqn2n-1: 例1.推断等比级数(几何级数) n=0+L (a0) 的敛散性 . a-aq解:q1时，sn=， 1-qlimsn=，aq发散； nnn=0nsn=，q=1时，sn=na，limnn=0aq发散.nq=-1时，0 , n为偶数limsn不存在，sn= ，na , n为奇数n=0aq发散.nn+1例2推断级数ln是否收nn=1 -高等数学教案 - 敛，若收敛求其和.解: sn=(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+ L+ln(n+1)-lnn =ln(n+1).P.3225sn=，

2、所以原级数发散.由于limnsn=11111(1-)+(-)+23235111L+(-) 22n-12n+111=(1-).22n+1 -高等数学教案 - 1sn=，所以原级数收敛 由于limn24.收敛级数的性质: 假如un收敛和为s，则kunn=1n=1也收敛，其和为ks；若un发散， n=1则kun (k0)也发散.n=1假如un、vn均收敛，其和n=1n=1n=1s，分别为s、则(unvn)也收敛，其和为ss. -高等数学教案 - 在级数中去掉、加上或变更有限项，不会变更级数的收敛性. 假如un收敛，则对这级数n=1的项随意加括号后所成的级数 (u1+L+un)+(un+1+L+un)

3、+L+ (un+1+L+un)+L 112k-1k也收敛，且其和不变.假如一个级数发散，则加括号后所成的级数可能收敛，也可能发散. 假如一个正项级数发散，则加 -高等数学教案 - 括号后所成的级数肯定发散. 级数收敛的必要条件: 若n=1un=0.un收敛，则limn例3证明调和级数 1111+L+L 23n是发散的.证: 假设调和级数收敛，部分 sn=s.和为sn，和为s，则limnim(s2n-sn)=s-s=0. 一方面，ln另一方面， -高等数学教案 - 111s2n-sn=+L+ n+1n+22n111+L+ 2n2n2n1=， 2(s2n-sn)0，冲突，故调所以limn和级数发散

4、. 1P.由于调和级数发散， n=1n1所以也发散.n=13n14P225.由于级数n是公比为 n=124225 -高等数学教案 - 11q=的几何级数，而q=1，所2211以n收敛；由于级数n是公比n=12n=1311为q=的几何级数，而q=0)成立，则un收敛.n=1 若un发散，且存在自然数n=1N，使当nN时有unkvn (k0)成立，则vn发散.n= 1 -高等数学教案 - 例1.推断p-级数 1111+p+p+L+p+L 23n的敛散性.解: 当p1时，由于1np而1发散，所以n=1n1n=1np发散.当p1时，对于级数 1+1112p+3p+L+np+L 加括号后: -高等数学教

5、案 - 1n，1111111+(p+p)+(p+p+p+p)+L234567 它的各项均不大于级数 1111111+(p+p)+(p+p+p+p224444 11=1+p-1+p-1+L 24的对应项，而后一个级数是收敛的几何级数，所以级数 -高等数学教案 - 1111111+(p+p)+(p+p+p+p)+L2345671收敛，故正项级数p收敛.n=1n1例2.推断级数lnn的敛散性.n=121111解: 由于lnnlogn=，而nn=1n221发散，所以lnn发散.n=121例3.推断级数lnn的敛散性.n=13111解:由于lnn=ln3，而ln3n=13n=1nn=1n1p=ln31，

6、是p-级数，所以ln3n=1n1收敛，从而lnn收敛.n=13 2 -高等数学教案 - 例4.若正项级数an与bn均 n=1n=1收敛，则下列级数也收敛.anbn；(an+bn)； 2n=1n=1an.n=1n证: 由于an与bn均收敛， n=1n=1所以(an+bn)收敛，而n=1an+bn2anbn， 故anbn收敛. n=1由于 -高等数学教案 - (an+bn)=an+2anbn+bn，而an、2n=1n=1bn与anbn均收敛，所以n=12(an+bn)收敛.n=11由于an与2均收敛，所n=1n=1n11an以(an+2)收敛，而an+22， n=1nnnan故收敛.n=1n例5.

7、若an与bn均收敛，且n=1n=1ancnbn，求证:cn收敛. n= 1 -高等数学教案 - 证:由于an与bn均收敛，所n=1n=1以(bn-an)收敛.n=1由于ancnbn，所以 n=1bn-ancn-an0，而(bn-an)收敛，故(cn-an)收敛，而an收敛，从n=1n=1而cn收敛.n=16.比较审敛法的极限形式: 设n=1un、vn均是正项级数， n=1 -高等数学教案 - un=0，且vn收敛，则若limnn=1vnun收敛.n=1un=l (0l+)，则vn 若limnn=1vn与un同时收敛和同时发散.n=1un=+，且vn发散，若limnn=1vn则un发散.n=11

8、例6.推断级数n的敛散 n=1nn -高等数学教案 - 性. 1n1nn解:由于l=lim，而=1n1n=1nn1发散，所以n发散.n=1nn1n+1例7.推断级数ln的敛 n-1n=2n散性. 1lnn+1nn-1解:由于l=lim=2，而n12n11n+1收敛.2收敛，所以lnn-1n=2nn=2n -高等数学教案 - 例8.推断级数(2-1)的敛散 nn=1性.解: 由于 nn2-12ln2l=lim=lim=ln2nn11n， 1n而发散，所以(2-1)发散. n=1n=1n7.比值审敛法(达朗贝尔判别法): 设un为正项级数，且n=1 -高等数学教案 - un+1lim=r.nun

9、若r1或r=+，则un发 n=1散； 若r=1，则un可能收敛也 n=1可能发散. 1例9.推断级数的敛散 n=1(n-1)!性. -高等数学教案 - 1n!=01解: 由于r=lim，n1(n-1)!1所以收敛.n=1(n-1)!n!例10.推断级数n的敛散性.n=110: 由于(n+1)!n+1n+110r=lim=lim=+，所nn10n!n10n!以n发散.n=110 -高等数学教案 - 解8.根值审敛法(柯西判别法): 设un为正项级数，且n=1nu=r.limnn 若r1或r=+，则un发 n=1散； 若r=1，则un可能收敛也 n=1可能发散. 2n-1n例11.推断级数()的

10、n=13n-1 -高等数学教案 - 敛散性.解: 由于 2n-1nn(r=lim)n3n-12n()3n-1=limnnn3n-1， 2n-1n所以()收敛.n=13n-110.交织级数: u1-u2+u3-u4+L， 或 -u1+u2-u3+u4-L， 其中u1，u2都是正数. -高等数学教案 - 11.莱不尼兹定理: 假如交织级数(-1)un满意条件: n-1n=1 unun+1； imun=0， ln则(-1)un收敛，其和su1，其余n-1n=1项的肯定值rnun+1.例12.推断级数(-1)n=1n-11的敛 n散性 .解: 由于 -高等数学教案 - 11，即unun+1； nn+1

11、1=0，即limu=0 lim， nnnnn-11所以(-1)收敛.n=1n12.肯定收敛: 假如un收敛， n=1则称un肯定收敛.n=1例如，级数(-1)n=1n-11肯定收 2n敛.13.条件收敛: 假如un收敛， n= 1 -高等数学教案 - 而un发散，则称un条件收敛.n=1n=1例如，级数(-1)n=1n-11条件收敛. nn=114.假如随意项级数un的肯定值收敛，则un收敛. n=11 证: 令Vn=(un+un)，21Wn=(un-un)，则unVn0，2unWn0. 由于un收敛，所以Vn、Wnn=1n=1n= 1 -高等数学教案 - 均收敛，故(Vn-Wn)=un也收

12、n=1n=1敛.15.设un是随意项级数，n=1un+1nu=r，假如lim=r或limnnunnr1，un发散，则un发散.n=1n=1n例13.判别级数(-1)是n+1n=1否收敛，若收敛是条件收敛，还 n-1是肯定收敛. -高等数学教案 - 解: 由于lim(-1)n以(-1)n=1n-1n-1n0，所 n+1n发散.n+11np例14.判别级数nsin是否 5n=12收敛，若收敛是条件收敛，还是肯定收敛. 1np11n，解: 由于nsin而n 522n=121(是公比为q=1的几何级数)21np收敛，所以nsin收敛，故 5n=1 2 -高等数学教案 - 1npnsin肯定收敛.5n=

13、121例15.判别级数(-1)ln(1+)nn=1是否收敛，若收敛是条件收敛， n还是肯定收敛. 11解: 由于ln(1+)ln(1+)，而 n+1n1limln(1+)=0，所以交织级数nn1n(-1)ln(1+) 收敛. n=1n由于 -高等数学教案 - 1(-1)ln(1+)1 nlim=limnln(1+)nn1nnn1n=limln(1+) nn=1， 11n而 发散，所以(-1)ln(1+) 发n=1nn=1n1n散，故(-1)ln(1+) 条件收敛.n=1n12.3 幂级数 1.区间I上的函数项级数: u1(x)+u2(x)+L+un(x)+L. -高等数学教案 - 对于x=x0

14、I，常数项级数 u1(x0)+u2(x0)+L+un(x0)+L n=1收敛，则称x0为un(x)的收敛点.收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域.2.(x-x0)的幂级数: n=0an(x-x0)n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0) 2n+L+an(x-x0)+L -高等数学教案 - 3.x的幂级数: n=0anx=2nna0+a1x+a2x+L+anx+L.4.阿贝尔定理: 假如anx当 nn=0则当xx0时anx发散. nn=0 5.阿贝尔定理的推论: 假如 -高等数学教案 - n=0anx不是仅在x=0一点收敛，n也不是在整个数轴上收敛，则存在R0，使得 当xR时，幂级

15、数发散； 当x=R与x=-R时，幂级数可能收敛也可能发散. )为 称R为收敛半径，称(-R , R )、收敛区间，收敛域是(-R , R-R , R)、(-R , R或-R , R这四 -高等数学教案 - 个区间之一 (由x=R处的收敛性确定). 规定幂级数仅在x=0处收敛时R=0，幂级数对一切x都收敛时R=+.6.对于幂级数anx，假如 nn=0an+1lim=r，则 nan -高等数学教案 - 1 , r0且rrR=+ , r=0 ,0 , r=+ . (-1)x例1.求的收敛域.n=1nn(-1)n+1=1解: 由于r=lim，所n-1n(-1)n1以R=1.n-1nr -高等数学教案

16、- (-1)x1当x=-1时，=(-)nnn=1n=1发散. (-1)n-1xn(-1)n-1当x=1时，=nnn=1n=1(-1)n-1xn条件收敛.因此，的收 nn=1敛域为(-1 , 1.n1例2.求2(3x) 的收敛域.n=01+nnnn13解: 2(3x)= 2x.n=01+nn=01+nn-1n -高等数学教案 - 321+(n+1)r=lim=3nn321+nn+1， 1R=.31当时，x=-3(-1)nn1(3x)= 肯定收敛.22n=01+nn=01+n1当时，x=3n112(3x)= 2收敛. n=01+nn=01+nn1因此，的收敛域为(3x) 2n=01+n -高等数学

17、教案 - 11- , .33(-1)n例3.求2(x-3) 的收敛n=1nn域.解: 令x-3=t，则 (-1)(-1)nn2(x-3)= 2t.n=1nn=1n(-1)nn对于， 2tn=1nn+1(-1)2(n+1)r=lim=1R=1，.nn(-1)2n -高等数学教案 - nn(-1)n1当t=-1时， 2t=2收n=1nn=1nn敛. (-1)n(-1) 2t=2绝当t=1时，n=1nn=1nn(-1)n对收敛.因此， 2t的收敛 n=1nn(-1)n区间为-1 , 1，故2(x-3) n=1n的收敛域为2 , 4.2n+11例4.求nx 的收敛域.n=03nn -高等数学教案 -

18、1x2(n+1)+1n+1213=x解: lim. n1x2n+13n321令x1，得-3x3，收3敛半径为R=3.发散.散. 2n+11当x=-3时，nx= -3n=03n=02n+11当x=3时，nx= 3发n=03n=02n+11因此，nx 的收敛域为n=03(-3 , 3). -高等数学教案 - 7.幂级数的运算: s(x)=anxn=0nn=0n和s(x)=bnx的收敛半径分别为R和R，则 n=0anxnnn=0bnx=nn=0(anbn)x=s(x)s(x) 的收敛半径为R=minR , R.8.幂级数的性质: anx的和函数s(x)在其收nn=0敛域I上连续. -高等数学教案 -

19、 anx的和函数s(x)在其收nn=0敛域I上可积，并有逐项积分公式 0s(x)dx=0anxdxn=0xx(n)=0anxdx nn=0xann+1=x (xIn=0n+1， ann+1nx与anx的收敛半径相n=0n=0n+1同. -高等数学教案 - anx的和函数s(x)在其收nn=0敛区间 (-R , R)内可导，并有逐项求导公式 nns(x)=anx=(anx) (n=0)n=0 =nanx (xR)， n-1n=1n=1nanxn-1与anx的收敛半径相 nn=0同. n1例5.求x的和函数.n=1n -高等数学教案 - 1n+1R=1.=1解: r=lim， n1nn1n1当x=

20、-1时，x=(-1)收nn=1n=1n敛. n11当x=1时，x=发散.因 n=1nn=1nn1此，x的收敛域为-1 , 1).n=1nn1令s(x)=x (-1x1)，则 n=1nnn11s(x)=x=(x)n=1nn=1n() -高等数学教案 - =x n-1n=11= (-1x1).1-xs(x)= x 0s(x)dx+s(0) =x10dx+0 =-1ln(-1x-x) (-1x1).例6.求1xn+1在其收敛n=1n-1 , 1)上的和函数.解1xn+1=x1xn=x-ln(1-x) n=1nn=1n -高等数学教案 - : 域 =-xln(1-x)x-1 , 1). 例7.求(n+

21、1)x在其收敛域 nn=1(-1 , 1)上的和函数.解: 令s(x)=(n+1)x，则 nn=10s(x)dx=0(n+1)xdx nn=1xx=x n+1n=1x= 1-x (-1x1). -高等数学教案 - 2s(x)= 0s(x)dx xx=() 1-x22x-x=2(1-x) (-1x1). 2例8.求nx在其收敛域(-1 , 1)nn=1上的和函数.解: nx=nx+x-x nnnnn=1n=1n=1nn=1n=(n+1)x-x n=1n=1 -高等数学教案 - 2x-xx= -2(1-x)1-xx .(-1 , 1)=2(1-x)2例9.求(n+2)x在其收敛区 nn=1间(-1

22、 , 1)上的和函数.解n=1: nn=12(n+2)x=(n+1)x+x nnn=12x-x=2(1-x)x +1-x -高等数学教案 - 3x-2x=2(1-x)2 (-1 , 1).12.4 函数绽开成幂级数 1.设f(x)在x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，幂级数 (x0)f2f(x0)+f(x0)(x-x0)+(x-x0) 2!f(x0)n+L+(x-x0)+L n!称为f(x)的泰勒级数. (n) 假如泰勒级数收敛于f(x)，则 -高等数学教案 - 高等数学教案12 高等数学教案 高等数学电子教案12 高等数学教案ch 8.48.8 高等数学教案ch 9 重积分 高等数学教案ch 11 无穷级数 高等数学教案ch 8.2 偏导数 高等数学上教案 10011023高等数学12(经管)大纲 高等数学 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页