概率论第一章习题解答(胡庆军)[1].pdf

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1、1 习题 1 参考解答 ( P25) 1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点: 1) 将一枚均匀硬币连续掷两次, 记事件 A第一次出现正面, B 两次出现同一面, C至少有一次正面出现. 2) 一个口袋中有5 只外形完全相同的球, 编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3 只球 . 记事件 A球的最小号码为1. 3) 10件产品中有一件废品, 从中任取两件 , 记事件A 得一件废品 . 4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球, 从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋, 搅均后再 从第二袋中任取一球. 记事件A两次取出的球有相同颜色. 5) 掷两颗骰子 , 记事件 A 出现点数之和为

2、奇数, 且其中恰好有一个1 点, B 出现点数之和为偶数, 但没有一颗骰子出现1 点 . 答案 :1) ),(),(),(),(TTHTTHHH, 其中:H正面出现 ; :T反面出现 . ),(),(THHHA; ),(),(TTHHB; ),(),(),(HTTHHHC. 2) 由题意 ,可只考虑组合, 则)5,4, 3(),5, 4,2(),5, 3, 2(),4,3, 2(),5, 4, 1 (),5, 3, 1(),4, 3, 1(),5, 2, 1 (),4,2, 1(),3, 2, 1 ( ; )5,4, 1 (),5,3, 1 (),4,3,1 (),5,2, 1 (),4,2,

3、 1(),3,2, 1(A. 3) 用9 ,2, 1号表示正品 ,10 号表示废品 . 则)10, 9()10, 8()10, 2(,),4,2(),3, 2()10, 1 (,),4, 1(),3, 1 (),2, 1(; )10,9(,),10,2(),10, 1 (A. 4) 记第一袋中的球为),(11bw, 第二袋中的球为),(22bw, 则),(),(),(),(),(),(112121112121bbbbwbwwbwww; ),(),(),(),(11211121bbbbwwwwA. 5) )6, 6(,),2,6(),1, 6()6,2(,),2,2(),1,2()6,1 (,)

4、,2, 1 (),1, 1(; )1,6(),1,4(),1, 2(),6,1 (),4, 1(),2, 1 (A; )6,6(),4, 6(),2,6(),5,5(),3, 5(),6,4(),4,4(),2,4(),5, 3(),3, 3(),6,2(),4, 2(),2,2(B. 注: 也可如下表示: )6, 6()6, 2(,),2, 2()6, 1 (,),2, 1(),1,1 (; 2 )6,1 (),4, 1(),2, 1 (A; )6, 6(),5,5(),6,4(),4, 4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(B. 2. 一个工人生产了n个零件 ,

5、以事件iA表示“他生产的第i个零件是正品”)1(ni. 试用nAAA,21表示下列事件: 1) 没有一个零件是次品； 2) 至少有一个零件是次品；3) 只有一个零件是次品； 4) 至少有两个零件不是次品. 答案 : 1) niiA1; 2) niiA 1; (亦即 :全部为正品的对立事件) 3)(11ninijjjiAA; 4) )()(111ninijjjiniiAAA. 3. 设 A、B、C为三个事件 , 用 A、B、C的运算关系表示下列各事件: 1）A发生 ; 2）只有 A发生 ; 3）A与 B发生而 C不发生 ; 4）三个事件都发生; 5) 三个事件中至少有一个发生; 6) 三个事件中

6、至少有两个发生; 7) 三个事件中恰好发生一个; 8) 三个事件中恰好发生两个; 9) 三个事件都不发生; 10) 三个事件中不多于两个发生; 11) 三个事件中不多于一个发生. 解 :1) A; 2) CBA; 3) CAB; 4) ABC; 5) CBA; 6) BCACBACABABC(ACBCABBACACB) ( 等价说法 : 至少有两个不发生的对立事件); 7) CBACBACBA; 8) BCACBACAB; 9) CBA (=CBA); 10）ABC (=CBA)( 等价说法 : 至少有一个不发生.); 11) CBACBACBACBA (=BACACB)( 即: 至少有两个不

7、发生). 4. 试把事件nAAA21表示成n个两两互不相容事件之并. 答案 : nnAAAAAAAAA11321211. 5. 甲从 2,4,6,8,10中, 乙从 1,3,5,7,9中各任取一数, 求甲的数大于乙的数的概率. 解 : 所有可能情况有2555种, 所涉事件共有15 种可能 , 则所求概率为532515p. 6. 一批灯泡 40 只 , 其中 3 只是坏的 , 从中任取5 只检查 . 试求 : 1) 5只都是好的概率为多少? 2) 有 2 只坏的概率为多少? 解 : 所有可能情况有540种 ( 注: 组合数5 40540C)!540(! 5!40, 下同 .), 则所求概率为3

8、1) 5405371p; 2) 54023 3372p. 7. 一栋 10 层楼中的一架电梯在底层上了7 位乘客 , 电梯在每层都停, 乘客从第二层起离开电梯, 设每位乘客在每层离开是等可能的. 求没有 2 位乘客在同一层离开的概率. 解 : 所有可能情况为79种, 则所求概率为77 9 9Ap. 8. 某城市的自行车都有牌照, 其编号从 00001 到 10000. 偶然遇到一辆自行车, 求其牌照中含有数字 8 的概率 . 解 : 利用对立事件求概率的公式, 所求概率为441091p. 9. 设甲袋中有a只白球b只黑球 , 乙袋中有c只白球d只黑球 . 在两袋中各任取一只球, 求所得两 球颜

9、色不同的概率. 解 : 所有可能情况有)(dcba种, 则所求概率为 )(dcbabcadp. 10. 设一个人的生日在星期几是等可能的.求 6 个人的生日都集中在一星期中的某两天但不在同一 天的概率 . 解 : 所有可能情况为67种, 则所求概率为667)22(27p. 11. 从n双尺码不同的鞋子中任取r2(nr2) 只, 求下列事件的概率: 1) 所取r2只鞋子中没有两只成对; 2) 所取r2只鞋子中只有两只成对; 3) 所取r2只鞋子恰好配成r对. 解 : 样本空间可考虑有rn 22种可能结果 , 古典概型 , 则所求概率分别为1) rnrnpr2212221rnrnr22222; 2

10、) rnrnnpr2212221 22 1222rnnrnr22222122; 3) rnrnpr22223rnrn22. 12. 设有n个人 , 每人都被等可能地分配到)(nNN个房间中的任一间. 求下列事件的概率: 4 1) 指定的n间房里各住一人; 2) 恰有n间房 , 其中各住一人. 解 : 所有可能情况为nN种, 则所求概率分别为1) nNnp! 1; 2) nNnnNp!2. 13. 甲乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球, 甲先摸 , 不放回 , 直至有一人取到 白球为止 . 求甲先摸到白球的概率. 解 : 甲先摸到白球, 则可能结果如下( 注: 至多有限次摸球):

11、 W甲, WBB甲乙甲, WBBBB甲乙甲乙甲, WBBBBBB甲乙甲乙甲乙甲, 当b为偶数时 , 则所求概率为211baababbabbaap甲4332211baababbabbabbabaaaababbab112211)2()1()1(1 bababbbaa)1()2()1(!aababab. 当b为奇数时 , 则所求概率为甲p)2()1()1(1 bababbbaa)1()2()1(!ababab. 14. 从装有a个白球 ,b个黑球的袋中一次次地有放回摸球, 直至摸到白球为止. 求在偶数次摸到白 球的概率 . 解 : 记事件iB: 表示第i次摸到黑球 ; iW: 表示第i次摸到白球 .

12、 则事件 偶数次摸到白球21WB4321WBBB654321WBBBBB. 故所求概率为 P 偶数次摸到白球21(WBP4321WBBB)654321WBBBBB)(21WBP)(4321WBBBP)(654321WBBBBBPbaababbaabab3)(baabab5)(1)(2baba)()(42 babbabbab2. 15. 已知一个家庭有三个孩子, 且其中一个是女孩, 求至少有一个男孩的概率.( 假设生男生女是等可能的 .) 解 : 在三个孩子的家庭中, 样本点总数为823种, 记事件5 A 三个孩子的家庭中有女孩, B 三个孩子的家庭中至少有一个男孩. 要求)|(ABP? 由 )

13、()()|(APABPABP, 又87)(AP, 86)(ABP, 则 76)|(ABP. 16. 掷三颗骰子 , 已知所得的点数都不一样, 求含有 1 点的概率 . 解 : A 掷三颗骰子 ,点数都不一样, B掷三颗骰子 , 有 1 点. 要求)|(ABP? 由 )()()|(APABPABP, 且36456)(AP, 36453)(ABP. 则 216/4566/453)|(33 ABP . 17. 口袋中有12n只白球 ,n2只黑球 , 一次取出n只球 , 发现都是同色球, 问这种颜色是黑色的概 率为多少 ? 解 : 记事件个球为同一种颜色所取 nA, 个球全为黑球所取 nB, 要求)|

14、(ABP? 则 )()()|(APABPABPnn nn nnnn nn14212142nn nnnn2122!)!2( )!1(!)!12(!)!2(nnn nnnnnn32. 18. 设M件产品中有m件废品 , 从中任取两件. 1) 在这两件中有一件是废品的条件下, 求另一件也是废品的概率; 2) 在这两件中有一件是正品的条件下, 求另一件是废品的概率. 解 : 1) 记事件,有废品任取两件A, ,均为废品任取两件B, 则所求概率为)()()|(1APABPABPp)()(APBP22122MmMMm222mMMm121 mMm. 2) 记事件,有正品任取两件C,有一正品一件废品任取两件D

15、, 则所求概率为)()()|(2CPCDPCDPp)()(CPDP221211MmMmmM6 22)(mMmMm12mMm. 19. 袋中有黑、白球各一个, 一次次从中摸球, 如果摸到白球, 则放回白球 , 且再加入一个白球, 直至摸到黑球为止. 求摸了n次都没有摸到黑球的概率. 解 : 记事件iA: 第i次摸到白球 , ni, 2, 1, 要求 : )(21nAAAP? 由计算概率的乘法定理, 则所求概率为)(21nAAAP)(1AP)|(12AAP)|(213AAAP)|(11nnAAAP1433221nn11n. 20.n个人依次摸彩(n张票中有一张彩票), 1) 已知前1k个人)(nk

16、都没摸到 , 求第k个人摸到彩票的概率; 2) 求第k个人摸到彩票的概率. 解 : 记事件kA第k个人摸到彩票, nk,2, 1, 1) 所求概率为)|(11kkAAAP11 kn. 2) 由kkkAAAAA121, 则)()(121kkkAAAAPAP)(1AP)|(12AAP)|(211kkAAAP)|(121kkAAAAP1121121knknknnnnnn1. 21. 某射击小组有20 名射手 , 其中一级射手4 人, 二级 8 人, 三级 7 人, 四级 1 人, 各级射手能通过选拔进入比赛的概率依次为0.9,0.7,0.5,0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率. 解 :

17、记事件B 所选射手能进入比赛, iA 所选射手为第i级 , 4, 3 ,2, 1i. 已知 204)(1AP, 208)(2AP, 207)(3AP, 201)(4AP, 9.0)|(1ABP, 7.0)|(2ABP, 5 .0)|(3ABP, 2.0)|(4ABP. 用全概率公式 , 则所求概率为41)|()()( iiiABPAPBP2 .02015 .02077 .02089.0204645.0. 22. 有N个口袋 , 每袋中有m个黑球n个白球 , 从第一袋中任取一球放入第二袋, 再从第二袋中任取一球放入第三袋, 这样一直做下去, 直至从第N袋中取出一球 . 求: 1) 最后取出白球的

18、概率; 2) 从第一袋中取出是白球的条件下, 求最后取出白球的概率. 解 : 记事件iA从第i袋中取出白球, Ni,2, 1. 1) nmnAP)(1, )|()()(1212AAPAPAP)|()(121AAPAP7 111nmnnmmnmnnmnnmn, 归纳假设 : nmnAPk)(, 则)|()()(11kkkkAAPAPAP)|()(1kkkAAPAP111nmnnmmnmnnmnnmn. 所以 nmnAPN)(. 2) 要求 :)|(1AAPN? )|(1AAPN)()(11 APAAPN )()()(11111 APAAAPAAAPNNNN)|()|()|()|(11111111

19、AAPAAAPAAPAAAPNNNNNN)|()|()|()|(111111AAPAAPAAPAAPNNNNNN)|(11)|(11 1111AAPnmnAAPnmn NN)|(11111AAPnmnmn N, ,3 ,2N记 11nmt, 则)|(1AAPN)|(11AAPntN)|(12AAPntntN)|(1222AAPttntnN)|(11112AAPttntntnNN112NNttntntn 121NNtttntttnttN N 1)1 (1 1. 23. 甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉, 它们的产量各占25%,35%,40%,并且在各自的产品中, 废品各 占 5%,4%,2%.从它们

20、的产品中任取一个恰好是废品, 问此废品是甲、乙、丙生产的概率各为多少? 解 : 记事件321,AAA表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产; 事件B 所取产品是废品. 要求 :)|(BAPi? (3 ,2 ,1i) 已知25.0)(1AP, 35.0)(2AP, 40.0)(3AP, 05.0)|(1ABP, 04.0)|(2ABP, 02.0)|(3ABP. 则31)|()()( iiiABPAPBP02.04.004. 035.005. 025.00345. 0. 由贝叶斯公式, 则所求概率分别为)|(1BAP)()(1 BPBAP)()|()(11 BPABPAP0345.005.025

21、.03623.06925, )|(2BAP)()|()(22 BPABPAP4058.06928, 8 )|(3BAP)()|()(33 BPABPAP2319. 06916. 24.有朋友自远方来, 他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.如果他乘火 车、轮船、汽车, 则迟到的概率分别是1/4,1/3,1/12;而乘飞机不会迟到. 可他迟到了 , 问他是乘火车来的概率为多少? 解 : 记事件4321,AAAA分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来. 事件B 朋友迟到 . 要求 :)|(1BAP? 已知3.0)(1AP, 2.0)(2AP, 1.0)(3AP,

22、4 .0)(4AP, 41)|(1ABP, 31)|(2ABP, 121)|(3ABP, 0)|(4ABP. 则41)|()()( iiiABPAPBP04.01211.0312 .0413 .015.0. 由贝叶斯公式, 则所求概率为)|(1BAP)()|()(11 BPABPAP5. 015.0413. 0 . 25. 装有)3(mm个白球和n个黑球的罐子中丢失一球, 但不知其颜色. 现随机地从罐中摸取两个球 ,结果都是白球, 求丢失的是白球的概率. 解 : 记事件A 丢失白球 ,B 任取两个球都是白球. 要求 :)|(BAP? 由 )|()()|()()|()()()()|(ABPAPA

23、BPAPABPAPBPABPBAP, 已知 nmmAP)(, nmnAP)(, )|(ABP2121nmm)2)(1()2)(1(nmnmmm, )|(ABP212nmm)2)(1()1(nmnmmm. 则所求概率为)|(BAP)2)(1()1()2)(1()2)(1()2)(1()2)(1(nmnmmmnmnnmnmmmnmmnmnmmmnmm22nmm. 26. 设n个事件nAAA,21相互独立 , 且kkpAP)(,nk,2 , 1, 求下列事件的概率: 1) n个事件全不发生; 9 2) n个事件至少发生一个; 3) n个事件恰好有一个发生. 解 :1) )(21nAAAPniiAP1

24、)( )(1 1niiAPniip1)1 (; 2) )(1niiAP)(11niiAP)(121nAAAPniip 1)1(1; 3) )(11nkjjjnkkAAPnknkjjjkAAP11)( )(1 ()(11nknkjjjkAPAP )1( 11nknkjjjkpp. 27. 一架轰炸机袭击1 号目标 , 另一架袭击2 号目标 , 击中 1 号目标的概率为0.8, 击中 2 号目标的概率为 0.5, 求至少击中一个目标的概率. 解 : 记事件iA击中i号目标 , 2 ,1i. 要求 :)(21AAP? 方法一 : )(21AAP)()()(2121AAPAPAP)()()()(212

25、1APAPAPAP 90.05.08. 05.08.0. 方法二 : )(21AAP)(121AAP)(121AAP)()(121APAP90.0)5.01 ()8.01 (1. 28. 如下列图 , 分别求所示系统能正常工作的概率, 其中框图中的字母代表元件, 各元件能否正常 工作是相互独立的. 字母相同而下标不同的都是同类元件,DCBA,类元件的可靠性分别为DCBApppp,. A1 A2 A3 B3 B2 B1 BCAD2 D1 A1 CB2 B1 A2 10 解 : 分别以iiiDCBA,表示对应元件能正常工作. 则所求概率分别为1) )(332211BABABAP)(1332211B

26、ABABAP)(131iiiBAP)(131iiiBAP)(1 131iiiBAP)()(1131iiiBPAP3 11)()(1 1BPAP3)1(1BApp. 2) )(21DCBADP)()()(21CBAPDPDP)(12CBAPpD)(12CBAPpD)()()(12CPBPAPpD)1 ()1 ()1 (12 CBADpppp. 3) 方法一 : )()(21212211BBAACBABACP)()(21212211BBAACPBABACP)()()()()(21212211BBPAAPCPBABAPCP )2()2()2()1(2222 BBAACBABACpppppppppp.

27、 方法二 : )(12212211CBACBABABAP)(12212211BABACBABAP)()()(12212211BABACPBAPBAP)()()(1221221221112211BABACBAPBABACBAPBABAP)(12212211BABACBABAP)()()()()()(12212211BABAPCPBPAPBPAP)()()()()()(1212112211BAABBAPCPBPAPBPAP)()(212221BBABAAPCP)()(2121BBAAPCP2222 BABACBAppppppp22 BApp22222 BABABACppppppp22 BACppp

28、)22222(CBACBCABACBApppppppppppp. 29.今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击, 甲、乙命中的概率分别为21, pp, 甲先射 , 谁先命中谁得胜 . 问甲、乙两人获胜的概率各为多少? 解 : 记事件iA第i轮甲命中目标 , iB 第i轮乙命中目标 , ,2, 1i. 则甲获胜 322112111ABABAABAA, 所以甲获胜P)(322112111ABABAABAAP)()()(322112111ABABAPABAPAP)()()()()()()()()(322112111APBPAPBPAPAPBPAPAP12 211211)1()1()1()1(ppp

29、pppp)1()1(1211 ppp21211 ppppp. 由于 乙获胜 332211221111BABABABABABA, 所以乙获胜P)(332211221111BABABABABABAP)()()(332211221111BABABAPBABAPBAP11 22 23 1222 121)1()1()1 ()1()1 (pppppppp)1 ()1(1)1 (2121 pppp212121)1(pppppp. 或: 乙获胜P1甲获胜P212111ppppp212121)1 ( pppppp. 30.一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%.为试验某种新药是否有效, 把它给 10 名患者服用 , 并 规定至少有4 名患者痊愈则认为新药有效, 否则 , 认定新药无效. 试求 : 1) 虽然新药有效, 且把痊愈率提高到35%,但通过试验被否定的概率; 2) 新药完全无效, 但通过试验被认为有效的概率. 解 : 一名患者痊愈的概率记为p, 10 名患者痊愈的个数记为X, 则),10(pbX. 1) 由题意知 ,35.0p, 所求概率为通过试验被否定P3 XPiiii103065.035.0105138. 0. 2) 由题意知 ,25.0p, 所求概率为通过试验被认定有效P4 XP31XPiiii103075.025.01012241.0.