高中数学数列知识点整理.pdf

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1、数列1、数列中an 与Sn 之间的关系：a n S , (n 1) 1 S S ,( n 2). n n 1 注意通项能否合并。2、等差数列：定义： 如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即aan 1 n =d ，（n 2， n N ） ，那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数a、 A、 b 成等差数列A a b 2 通项公式：aa1 (n 1)d a (n m)d n m 或an pn q ( p 、q是常数） . 前n项和公式：n n 1 n a a 1 n S na d n 1 2 2 常用性质：若m n p q m, n, p,q N ，则am a a

2、a ； n p q 下标为等差数列的项, , , ak a a ，仍组成等差数列； k m k 2m 数列a b n （,b为常数）仍为等差数列；若a 、bn 是等差数列，则 kan 、 kan pbn ( k 、p是非零常数)、 n * ap nq( p,q N )、，?也成等差数列。单调性：a的公差为d ，则： n ）d 0 a 为递增数列； n ）d 0 a 为递减数列； n ）d 0 a 为常数列； n 数列 an 为等差数列an pn q （ p,q 是常数）若等差数列a的前n 项和，则、?是等差数列。 S Sk S2 kSk S3k S2k n n 3、等比数列定义： 如果一个数列

3、从第2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。等比中项：若三数a、 G、 b成等比数列G2 ab, （ab 同号）。 反之不一定成立。通项公式：n 1 n m a a q a q n 1 m 前n项和公式：S n n a1 1 q a1 a q n 1 q 1 q 常用性质若m n p q m, n, p,q N ，则aa a a ； m n p q k ,a ,a , a 为等比数列，公比为 k m k 2m k q (下标成等差数列,则对应的项成等比数列) 数列a （为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列 n a ；则 n lg an 是

4、公差为lg q 的等差 数列；若a 是等比数列，则 n 2 ca ，a ， n n 1 a n ，r a (r Z )是等比数列，公比依次是 n 2 1 r q q q ， ， q . 单调性：a1 0,q 1或 a1 0,0 q 1 an 为递增数列；a1 0,0 q 1或 a1 0,q 1 an为递减数列；q 1 an 为常数列；q 0 an 为摆动数列；既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。若等比数列a的前n 项和Sn ，则Sk 、S2 kSk 、S3k S2k ?是等比数列. n 4、非等差、等比数列通项公式的求法类型观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分

5、析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。 n S 类型公式法：若已知数列的前项和与 n a 的关系，求数列an 的通项an 可用 n 公式a n S , (n 1) 1 S S ,(n 2) n n 1 构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“ 一分为二 ”，即分段式；另一种是“ 合二为一 ”，即a和 1 a 合为一个表达，（要先分n 1和n 2两种情况分别进行运算，然后验证 n 能否统一）。类型累加法：形如an 1 an f (n) 型的递推数列（其中f (n) 是关于n的函数）可构造：a a f (n 1) n n 1 a a f (n2) n 1 n 2 . a

6、 a f 2 1 (1) 将上述n 1个式子两边分别相加，可得：a f (n 1) f (n 2) . f (2) f (1) a ,( n 2) n 1 若f (n) 是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f (n) 是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ;若f (n) 是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f (n) 是关于n的分式函数，累加后可裂项求和.类型累乘法：形如a 1 a f (n) n n a n 1 ( ) f n a n 型的递推数列（其中f (n) 是关于n的函数）可构造：a n a n 1 f (n 1) a n a n 1 2 f (n 2)

7、. a 2 a 1 f (1) 将上述n 1个式子两边分别相乘，可得：a f (n 1) f (n 2) . f (2) f (1)a ,( n 2) n 1 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类型构造数列法：形如an 1 pa q （其中p,q 均为常数且p 0） 型的递推式： n （ 1）若p 1时，数列 a为等差数列; n （ 2）若q 0 时，数列 a 为等比数列; n （ 3）若p 1且q 0 时，数列 a 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比 n 数列来求. 方法有如下两种：法一：设a1 p(a ) , 展开移项整理得an 1 pan ( p 1)

8、, 与题设 n nqqq apaq比较系数（待定系数法）得,( p0)a1p(a) n1nnn p1p1p1qq ap(a) nn1 p1p1, 即anqp1构成以qa11 p为首项， 以p为公比的等比数列 . 再利用等比数列的通项公式求出anqp1的通项整理可得a . naa 法二：由an 1panq得anpan 1q(n2)两式相减并整理得1 nnaa nn1p,即aa构成以 n1naa为首项，以p为公比的等比数列. 求出 21aa的通项再转化为 n1n类型 （累加法）便可求出a . n形如a1paf (n)( p1)型的递推式： nn当f (n)为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设a

9、AnBp a1A(n1)B，通过待定系数法确定A 、 B的值，转化 nn成以aAB为首项，以p为公比的等比数列anAnB，再利用等比数列的通项公 1式求出aAnB的通项整理可得an. n法二：当f (n)的公差为d时，由递推式得：a1paf (n)，anpan 1f (n1) nn两式相减得：aap aad，令1(1) nnnnbaa得： nn1nbpbd转化为 类型 nn 1 求出b，再用 类型 （累加法）便可求出an. n当f (n)为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设af (n)p af (n1)，通过待定系数法确定的值，转化成以nn1af为首项，以p为公比的等比数列anf (n)，

10、再利用等比数列的通项公式求1(1)出af (n)的通项整理可得. a n n法二：当f (n)的公比为q时，由递推式得：a1paf (n) ， nnapa1f (n1)，两边同时乘 以q得anqpqan 1qf (n1) ，由两式相 nn减得a1a qp(aqa1)，即 nnnnaqa n1n aqa nn1p，在转化为类型 便可求出a . n法三：递推公式为n n an 1 pa q （其中p，q 均为常数）或1 a pa rq （其中p， n n n q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以n 1 q ，得：an p a 1 1 n q n 1 q n q q，引入辅助数列bn

11、 （其中a n b ），得： n n q p 1 bn bn1 再应用 类型 的方法解决。 q q 当f (n) 为任意数列时，可用通法：在a 1 pa f (n) 两边同时除以 n n n 1 p 可得到aa f (n) n 1 n n 1 n n 1 p p p ，令a n n p b n ，则f (n) b b n 1 n n 1 p ，在转化为类型 （累加法），求出bn 之后得n a p b . n n 类型对数变换法：形如q a 1 pa ( p 0,a 0) 型的递推式： n n 在原递推式q a pa 两边取对数得lg an 1 qlg an lg p，令bn lg an 得：

12、n 1 b 1 qb lg p，化归为an 1 pan q 型，求出 n n b b 之后得10 . a （注意：底数不一定 n n n 要取 10，可根据题意选择）。类型倒数变换法：形如aa pa a （p为常数且p 0 ）的递推式：两边同除于an 1an，转化为 n 1 n n 1 n 1 1 a a n n 1 p 形式，化归为an 1 pan q 型求出1 a n 的表达式，再求a ； n 还有形如a n 1 ma n pa q n 的递推式，也可采用取倒数方法转化成1 m 1 m a q a p n 1 n 形式， 化归为an 1 n 型求出1 pa q a n 的表达式，再求a.

13、n 类型形如an 2 pan 1 qan 型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列an a 的形式求解。方法为：设 n 1 an ka h(a 1 ka ) ，比较系数得h k p, hk q ，可解得h 、 k ，于是 2 n 1 n n an kan 是公比为h 的等比数列，这样就化归为an 1 pan q型。 1总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式a . n 5、非等差、等比数列前n项和公式的求法错位相减法若数列a为等差数列，数列bn 为等比数列，则数列an bn 的求和就要采用此法. n 将数列a

14、n bn 的每一项分别乘以bn 的公比，然后在错位相减，进而可得到数列a b 的前n项和. n n 此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法. 裂项相消法一般地，当数列的通项a n c (an b )( an b ) 1 2 ( a,b ,b ,c为常数）时，往往可将 an 1 2 变成两项的差，采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项：设a n an b an b 1 2 ，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得c ，从而可得 b b 2 1 c c 1 1 = ( ). (an b )( an b ) (b b ) an b an b 1 2 2 1 1 2 常见的拆项公式

15、有：1 1 1 ； n(n 1) n n 1 1 1 1 1 ( ); (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 a b a b ( a b); m 1 m m C C 1 C ; n n n n n! (n 1)! n!.分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步： 找通向项公式由通项公式确定如何分组. 倒序相加法如果一个数列a，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒 n 着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1 an a2 an 1 . 记住常见数列的前n项和：n(n 1) 1 2 3 . n ; 2 2 1 3 5 . (2n 1) n ; 2 2 2 2 1 1 2 3 . n n(n 1)(2 n1). 6