(2+1)-维Toda-like晶格方程的对称变换和精确解.docx

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1、i i j 第 20 卷 第 1 期 2018 年 1 月 大 连 民 族 大 学 学 报 Journal of Dalian Minzu University Vol 20， No 1 January 2018 文章编号 : 2096 1383( 2018) 01 0048 04 ( 2 + 1) 维 Toda like 晶格方程的 对称变换和精确解 吕 娜 1 ， 张 静 2 ， 邱旭东 2 ( 1 大连民族大 学 理学 院 ， 辽 宁 大 连 116650; 2 北方民族大 学 数学与信息科学学 院 ， 宁 夏 银 川 750021) 摘 要 : 基于符号计算软 件 Maple， 利用楼

2、直接方法研究了一 个 ( 2 + 1) 维 Toda like 晶格方程的对称变 换 。 基于求得的对称变 换 ， 得到了这个微分差分方程一个新的类孤子 解 。 该方法对于求 解微分差分方程 十分有 效 ， 并可以获得丰富的精确 解 。 关键 词 : 对称变 换 ; Toda like 晶格方 程 ; 楼直接 法 ; 精确 解 中图分类 号 : O175 7 文献标志 码 : A DOI:10.13744/21-1431/g4.2018.01.012 Symmetry Transformation and Explicit Solution of a ( 2 + 1) dimensional

3、Toda like Lattice LV Na1 ， ZHANG Jing2 ， QIU Xu dong2 ( 1 School of Science， Dalian Minzu University， Dalian Liaoning 116650， China; 2 School of Mathematics and Information Science， North Minzu University， Yinchuan Ningxia 750021， China) Abstract: With the aid of Maple， we obtain the symmetry transf

4、ormation of a ( 2 + 1) dimen- sional Toda like lattice based on the Lou s direct method Moreover， a new soliton like solu- tion of the differential difference equation is presented based on the symmetry transformation we got The method is quite effective to differential difference equations， and can

5、 get more ex- plicit solutions Key words: symmetry transformation; Toda like lattice; Lou s direct method; explicit solution 1 引论 感 兴 趣 ， 许多有效的分析方 法 相 继 产 生 2 5 。 6 微分差分方程存在于很多领域 ， 并具有广泛 2005 年 ， 楼森岳 在 CK 直接法的基础上巧妙地 的应 用 ， 例如计算机科 学 、 生物数 学 、 经济 学 、 组 合 学 、 数学物 理 、 离散几 何 、 量子物 理 ， 等 等 。 对于 微 分 差分方程的研

6、究最初是 从 Fermi 等人 在 1950 年 的 工作开始 的 。 1991 年 ， D Levi 和 P Winterni- tz 1 将李 群 方法 推广到离散方 程 ， 并得到了这 些 方程的对 称 。 近来科学 家 们对于微分差分方程的 对 称性质和构造精确解 以及相应的物理现象愈发 构造了一种修正的直接法 ， 称为 “ 楼直接法 ” ， 该方 法不涉及群论思 想 ， 结果形式简 单 ， 易于使 用 。 楼直接 方 法的主要思想 为 : 对 于给定的非 线 性微分方程 F( xi ， u， ux ， ux x ， ， ) = 0， i， j = 1， 2， ， n， ( 1) 设方

7、程 ( 1) 具有如下形式的解 u( x1 ， x2 ， ， xn ) = W( x1 ， x2 ， xn ， U( 1 ， 2 ， 收稿日 期 : 2017 12 21; 最后修回日 期 : 2018 01 02 基金项目 : 辽宁省科技厅自然科学基金指导计划 ( 20170540199 ) ; 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目 ( DC201502050403) 。 作者简介 : 吕娜 ( 1983 ) ， 女 ， 辽宁大连人 ， 副教授 ， 博士 ， 主要从事孤立子与可积系统研究 。 第 1 期 吕 娜 ， 等 : ( 2 + 1) 维 Toda like 晶格方程的对称变换和精确

8、解 49 n ) ) 。 ( 2) 式 中 : 1 是 ( x1 ， x2 ， ， xn ) 的函 数 ， 且 U( 1 ， 2 ， ， n ) 满足与 ( 1) 形式相同的另一个方程 F( i ， U， U ， U ， ， ) = 0， i， j = 1， 2， ， n。 B( n， x， t) t x U( n) + V2 ( n， x， t， U( n 1) ， U( n) ， U( n + 1) ， U( n) ) = 0。 ( 11) 式 中 : V2 是 一 个 与 U( n) 无 关 的 函 数 。 消 去 U( n) 的 系 数 ， 可以看 出 B( n， x， t) 与 t

9、无 关 ， 设 i i， j ( 3) B( n) = B( n， x) ， 所 以 ( 7) 可以化简 为 将 ( 2) 代入到 ( 1 ) ， 并结合 ( 3 ) 进行整理和化 简 ， 得到一个关于 W 和 i 的确定方程组 。 通过逐 步化简来求解这个方程组 ， 从而确定 W 和 i 的具 体表达式 ， 进而通过关系式 ( 2) 得到方程 ( 1) 的对 称变换 。 本文主要利用楼直接方法研究一个微分 差分方程的对称变换 ， 并给出该方程的新精确解 和数值算例 。 2 ( 2 + 1 ) 维 Toda like 晶格方程的对 称变换 考虑如下的 ( 2 + 1 ) 维 Toda like

10、 晶格方 un = A( n， x， t) + B( n) U( n， ( n， x) ， ( n， t) ) 。 ( 12) 下 面 将 ( 12 ) 代 入 晶 格 方 程 ( 6 ) 中 ， 由 于 U( n) ， U( n 1) ， U( n + 1) 是方 程 ( 8) 的任意 解 ， 收 集 U( n) ， U( n + 1) ， U( n 1) 和其导 数项的 系 数 ， 可得关于可微函 数 A， B， 和 的确定方程 组 t 2A( n) B( n) A( n 1) B( n) A( n + 1) B( n) B( n) x = 0， B( n) t x B( n 1) = 0

11、， B( n) t x B( n + 1) = 0， 2B( n) t x B( n) = 0， B( n 1) At = 0， B( n) At = 0， B( n + 1) At = 0， 程 7 A( n) xt 2A( n) t A( n) + A( n) t A( n 1) + 2 v = 2evn evn 1 evn +1 。 ( 4) A( n) t A( n + 1) = 0。 ( 13) x t 式 中 : vn = vn ( x， t) 。 引入变 换 式 中 : A( n) = A( n， x， t) 。 求解上述方程组得到 un = evn ， ( 5) A( n， x

12、， t) = f ( x) + nf ( x) ( n + 1 ) n b ( x) ; t 则方程 ( 4) 变为 1 2 B( n， x) = b( x) ; 2 b( x) 2 u v n = evn = ( 2u u u ) u n 。 ( n， x， t) = b( x) dx + h ( n) ， ( n， x， t) = ( n， t) 。 x t x n n 1 n+1 t ( 6) 1 ( 14) 为了获得方程 ( 6) 的对称变换 ， 令 un = A + B U( n， ， ) 。 ( 7) 式 中 : A、 B、 和 都 是 关 于 n、 x、 t 的 函 数 。 令

13、U( n) U( n， ， ) ， 使其与晶格方 程 ( 6 ) 有相 同 式 中 : f1 ( x) ， f2 ( x) ， b( x) ， h1 ( n) ， ( n， t) 是 任 意 函 数 ; n 是任意常 数 。 结合 ( 14) 式 ， ( 7) 化为 u = f ( x) + nf ( x) ( n + 1 ) n b ( x) + 的形式 ， 但关于新的独立变量 ， ， 有 n 1 2 2 b( x) U( n) = U( n) ( 2U( n) U( n 1) + U( n + 1) ) 。 ( 8) 将 ( 7) 式 带 入 方 程 ( 6 ) ， 然 后 利 用 ( 8

14、 ) 消 去 U( n) ， 得 到 b( x) U( n， b( x) dx + h1 ( n) ， ( n， t) ) 。 ( 15) 因此得到了关于 Toda like 晶格方程的一个 定理 。 定 理 1 如 果 U( n) = U( n， x， t) 是方 程 ( 6) B( n， x， t) t x U( n) + B( n， x， t) t x U( n) 的一个解 ， 那么由 ( 15) 确定的 un 也是其一个解 。 + V1 ( n， x， t， U( n 1) ， U( n) ， U( n + 1) ， U( n) ， U( n) ) = 0。 ( 9) 式 中 : V1

15、 是一个 与 U( n) ， U( n) 无关的复杂 函 利用文献 8 中的方法 ， 获得方程 ( 6 ) 的一个 双曲函数解 ， 2 2 数 。 方程 ( 9) 对于任意解 U 成立 ， 当且仅当 U 的 U( n， x， t) = F( x) + k tanh ( d 槡 ) 1 G( t) 2 各阶导数项的系数为零 。 从方程 ( 9 ) 可以看出 tanh ( d 槡 ) t x = 0， t x = 0， 不失一般 性 ， 假 设 = ( n， x) ， = ( n， t) ， ( 10) k 槡 tanh( 槡 n ) k 槡 coth( 槡 n ) 。 ( 16) 将 ( 10)

16、 代入方程 ( 6) ， 有 式 中 : n = dn + kx + G( t) + c ， 且 d， k， c， 是 常 n n 1 50 大 连 民 族 大 学 学 报 第 20 卷 数 ， F( x) ， G( t) 是任意函 数 。 根据定 理 1， ( n + 1 ) n b ( x) un = f1 ( x) + nf1 ( x) 2 b( x) F( ) + b( x) + k 槡 tanh( 槡 n ) k 槡 coth( 槡 n) ( 17) 图 3 类孤子解 ( 17) 在 n = 3 时的图像 是方程 ( 6) 的一个新的类孤子解 ， 其中 n = dn + k + G(

17、 ) + c， = b( x) dx + h1 ( n) ， ) ， = ( n， t) 。 ( 18) 3 数值算例 下面讨 论 类 孤 子 解 ( 17 ) 的 演 化 图 像 。 当 F( ) = sech( ) ， G( ) = sech( ) ， ( n， t) = tanh( nt3 ) ， f ( x) = sin( x) ， f ( x) = cos( x) ， 1 2 图 4 类孤子解 ( 17) 在 n = 7 时的图像 3 2 h1 ( n) = n ， d = arctanh( 槡 ) ， = 1， k = 2， c = 2 0 时 ， 在 b( x) = cos( x

18、) + x2 和 b( x) = cos( x) + x2 情况下解 ( 17) 的图像如图 1 2。 图 1 类孤子解 ( 17) 在 n = 5 时的图像 图 2 类孤子解 ( 17) 在 n = 5 时的图像 当 F( ) = sech( ) ， G( ) = sech( ) ， ( n， t) = tanh( nt2 ) ， b( x) = cos( x) + x， h ( n) = n2 ， f ( x) = sech( x) ， f ( x) = sin( x) ， d = arctanh( 槡 2 ) ， 1 2 2 = 1， k = 2， c = 0 时 ， 解 ( 17) 在

19、 n = 3 和 n = 7 时的演化图像如图 3 4。 4 结 语 本文利用楼直接法得到了 ( 2 + 1 ) 维 Toda like 晶格方程的对称变换 ， 并给出这个方程一 个新的类孤子解 。 若想直接获得微分差分方程带 有丰富任意函数的精确解 ， 往往计算过程比较复 杂 ， 而借助于对称变换则可以较轻易地达到这个 目的 。 因此对称变换是获得微分差分方程丰富精 确解的有效工具 。 参考文献 : 1 LEVI D， WINTE NITZ P Continuous symmetries of discrete equations J Physics Letters A， 1991， 152

20、 ( 7) : 335 338 2 CHOU K S， QU C Z Generalized conditional symme- tries of nonlinear differential difference equations J Physics Letters A， 2001， 280( 5) : 303 308 3 SHEN S F Clarkson Kruskal direct similarity approach for differential difference equations J Commun Theor Phys ( Beijing， China) ， 200

21、5，44: 964 966 4 SAHADEVAN ， KHOUSALYA S， DEVI L N Nonlo- cal symmetries and recursion operators: Partial differen- tial and differential difference equations J Journal of mathematical analysis and applications， 2005， 308 ( 2) : 636 655 5 LI H J， WANG D S， WANG S K， et al On geometric approach to Lie

22、 symmetries of differential difference e- quations J Physics Letters A， 2008， 372( 37) : 5878 5882 k tanh2 ( d 槡 ) 1 2 G( ) tanh2 ( d 槡 ) 第 1 期 吕 娜 ， 等 : ( 2 + 1) 维 Toda like 晶格方程的对称变换和精确解 51 6 LOU S Y， MA H C Non Lie symmetry groups of ( 2 + 1) dimensional nonlinear systems obtained from a sim- ple

23、 direct method J Journal of Physics A: Mathemati- cal and General， 2005， 38( 7) : L129 7 MA TINA L， LAFO TUNE S， WINTE NITZ P Point symmetries of generalized Toda field theories: II Sym- metry reduction J Journal of Physics A: Mathematical and General， 2000， 33( 36) : 6431 6446 8 ZHANG S， ZHANG H Q

24、Variable coefficient discrete tanh method and its application to ( 2 + 1) dimensional Toda equation J Physics Letters A， 2009， 373( 33) : 2905 2910 ( 责任编辑 王楠楠 ) DOI:10.13744/21-1431/g4.2018.01.013 稿 约 大连民族大学学 报 是由国家民族 事务委员会主 管 、 大连民族大学主办的综合性学术期 刊 。 自 然 科学辑开辟 有 “ 草地生 态 ” “ 生命科学与环境资 源 ” “ 机电与自动 化 ” “

25、物理与数 学 ” “ 土木建筑与设 计 ” “ 计算机信息与通 信 ” “ 教学与管 理 ” 等栏 目 ; 社会科学辑开辟 有 “ 民族 学 ” “ 文 学 ” “ 经济 学 ” “ 管理 学 ” “ 政 治与法律 ” “ 语 言 文 化 ” “ 教学研 究 ” 等栏 目 。 欢迎各方作者来 稿 。 投稿请注意以下事项 : 1 稿件为原始稿 件 ， 未在国内外 公开出版物 上发表 过 。 观点明 确 ， 论据可 靠 ， 文字简 洁 ， 图文清 晰 ， word 格式 。 2 题 目 ( 少 于 30 字 ) 、 作 者 ( 不超 过 5 人 ) 姓 名及工作单 位 、 地 址 、 中英文摘 要

26、 ( 300 字左 右 ) 、 关键 词 ( 3 8 个 ) 、 参考文献及标注等应齐全 。 3 如有基金项目请写明项目来源及编 号 ， 作者确保基金项目无保密要 求 ， 可公开发 表 。 4 作者简 介 : 姓 名 ( 出生 年 ) ， 性 别 ， 民 族 ， 籍 贯 ， 职 称 ， 学位及研究方 向 。 请作者确保个人信息的真 实性和准确 性 。 5 联系方 式 : 请提供通讯地 址 、 邮政编 码 、 电话号码和电子邮 箱 。 6 注释是对文中相关内容的解 释 ， 放在当页脚注 中 。 7 参考文献是在正式出版物上 发表过的文 献 ， 包括文中标 注和文尾列表两部 分 。 文中标注需按引

27、 用 的先后顺序在正文中依次标 出 。 示 例 : 指 出 1 ， 认 为 2 。 多次引用同一文献 时 ， 在 同一序号后标出不同的页 码 。 示 例 : 指 出 1 15 17 ， 认 为 1 66 。 文献格式符合 GB / T 7714 2015 标准 。 例如 : 期 刊 : 序 号 主要责任 者 题 名 J 期刊名 称 ， 出版 年 ( 期 ) : 起止页 码 专 著 : 序 号 主要责任 者 题 名 M 出版 地 : 出版社名 称 ， 出版 年 : 起止页 码 8 文稿中文 字 、 数 字 、 量 、 单位和 符 号要符合最 新的国家标 准 。 外文字母与符号分清文 种 、 大小

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