考研数学一历年真题汇编987203.pdf

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1、1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分 .把答案填在题中横线上)(1)当x=_时 ,函数2xyx取得极小值 . (2)由曲线lnyx与两直线e1yx及0y所围成的平面图形的面积是_.1x(3)与两直线1yt2zt及121111xyz都平行且过原点的平面方程为_.(4)设L为取正向的圆周229,xy则曲线积分2(22 )(4 )Lxyy dxxx dy= _.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),则向量(2, 0, 0)在此基底下的坐标是_.二、 (本题满分8 分)求正的常数

2、a与, b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat成立 .三、 (本题满分7 分)(1)设f、g为连续可微函数,(,),(),ufx xyvgxxy求,.uvxx(2)设矩阵A和B满足关系式2,AB = AB其中301110 ,014A求矩阵.B四、 (本题满分8 分) 求微分方程26(9)1yyay的通解 ,其中常数0.a五、选择题 (本题共 4 小题 ,每小题 3 分,满分 12 分 .每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设2( )( )lim1,()xafxf axa则在xa处(A)()fx的导数存在 ,且()0fa(B)()f

3、x取 得 极 大 值(C)()fx取得极小值(D)()fx的导数不存在(2)设()fx为已知连续函数 0,(),stItf tx dx其中0,0,ts则I的值(A) 依赖于s和t(B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数0,k则级数2 1( 1)nnknn(A) 发散(B) 绝对收敛(C)条件收敛(D) 散敛性与k的取值有关(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|0,aA而*A是A的伴随矩阵，则*|A等于(A)a(B)1 a(C)1na(D)na六、 （本题满分10 分）求幂级数111 2n n nxn的收敛域，并求其和函数. 七、 （本题满分10

4、分）求曲面积分2(81)2(1)4,Ixydydzydzdxyzdxdy其中是由曲线113( ) 0zyyf x x绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2八、 （本题满分10 分）设函数()fx在闭区间0,1上可微 ,对于0,1上的每一个, x函数()fx的值 都在开区间(0,1)内,且()fx1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x使得( ).fxx九、 （本题满分8 分）问,a b为何值时 ,现线性方程组123423423412340221(3)2321xxxxxxxxaxxbxxxax有唯一解 ,无解 ,有无穷多解 ?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题 (本题共 3

5、小题 ,每小题 2 分,满分 6分 .把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为,p现进行n次独立试验,则A至少发 生 一 次 的 概 率 为 _; 而 事 件A至 多 发 生 一 次 的 概 率 为_.(2)有两个箱子 ,第 1 个箱子有3 个白球 ,2 个红球 , 第 2 个箱子有4 个白球 ,4个红球 .现从第 1 个箱子中随机地取1 个球放到第2个箱子里 ,再从第 2 个箱子中取出 1个球 ,此球是白球的概率为_.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球 ,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为_.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为2211( )e,xxfx则X的

6、数学期望为 _,X的方差为 _.十一、 （本题满分6分）设随机变量,X Y相互独立 ,其概率密度函数分别为( )Xfx1001x其它,( )Yfye0y00yy, 求2ZXY的概率密度函数 .1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分 ,满分 15 分)(1)求幂级数1(3)3nn nxn的收敛域 .(2)设2( )e , ( )1xf xfxx且()0x,求()x及其定义域 .(3) 设为 曲 面2221xyz的 外 侧 , 计 算 曲 面 积 分333.Ixd y d zyd z d xzd x d y二、填空题 (本题共4 小题 ,每小

7、题 3 分,满分 12 分.把答案填在题中横线上 )(1)若21( )lim(1),txxf ttx则( )ft= _.(2)设()fx连续且310( ),x f t dtx则(7)f=_.(3)设周期为2 的周期函数,它在区间(1,1上定义为()fx22x1001xx,则的傅里叶()Fourier级数在1x处收敛于 _.(4) 设4阶矩阵23423, , ,A B 其中234, , 均为4 维列向量,且已知行列式4,1,AB则行列式AB= _.三、选择题 (本题共5 小题 ,每小题 3 分 ,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(

8、1)设()fx可导且01(),2fx则0x时,( )fx在0x处的微分dy是(A) 与x等价的无穷小(B) 与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D) 比x高 阶 的 无 穷小(2)设( )yfx是方程240yyy的一个解且00()0,()0,f xfx则函数()fx在点0x处(A) 取得极大值(B) 取得极小值(C)某邻域内单调增加(D) 某邻域内单调减少(3)设空间区域22222222 12:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则(A)124xdvdv(B)124ydvydv(C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv(4)设幂级数1(1)n n nax在1x处收敛

9、 ,则此级数在2x处(A) 条件收敛(B) 绝对收敛(C)发散(D) 收敛性不能确定(5)n维向量组12,(3)ssn 线性无关的充要条件是(A) 存在一组不全为零的数12,sk kk使11220sskkk(B)12,s 中任意两个向量均线性无关(C)12,s 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,s 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、 (本题满分6 分 )设()(),xyuyfxgyx其 中 函 数f、g具 有 二 阶 连 续 导 数 ,求222.uuxyxx y五、 (本题满分8 分 )设函数()yy x满足微分方程322e ,xyyy其图形在点(0,1)处的切线与曲线2

10、1yxx在该点处的切线重合,求函数().yy x六、 （本题满分9 分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(0kkr为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线22yxx自(2, 0)B运动到(0, 0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、 （本题满分6 分）已知,APBP其中100100000,210 ,001211BP求5,.A A八、 （本题满分8 分）已知矩阵20000101xA与20000001yB相似 .(1)求x与. y(2)求一个满足1PAPB的可逆阵.P九、 （本题满分9 分）设函数()fx在区间,a b上连续 ,且在(, )a b内有()

11、0,fx证明 :在( ,)a b内存在唯一的,使曲线()yfx与两直线(),yfxa所围平面图形面积1S是曲线()yfx与两直线(),yfxb所围平面图形面积2S的 3 倍.十、填空题 (本题共 3 小题 ,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,27则事件A在一次试验中出现的概率是_.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件 ” 两数之和小于65” 的概率为_.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为 0.02 的正态分布 ,已知221( )e, (2.5)0.9938, 2ux xdu则X

12、落在区间(9.95,10.05)内的概率为 _.十一、（本题满分6 分）设 随 机 变 量X的 概 率 密 度 函 数 为21( ),(1)Xfxx求 随 机 变 量31YX的概率密度函数( ).Yfy1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上 )(1)已知(3)2,f则 0(3)(3)lim2hfhf h= _.(2)设()fx是连续函数,且10( )2( ),f xxf t dt则()fx=_.(3) 设 平 面 曲 线L为 下 半 圆 周21,yx则 曲 线 积 分22()Lxyds=_.(4)

13、向量场div u在点(1,1, 0)P处的散度div u=_.(5)设矩阵30010140,010,003001AI则矩阵1(2 )AI=_.二、选择题 (本题共5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当0x时,曲线1sinyxx(A) 有且仅有水平渐近线(B) 有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D) 既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2) 已 知 曲 面224zxy上 点P处 的 切 平 面 平 行 于 平 面2210,xyz则点的坐标是(A)(1,1, 2)(B)(1,1, 2)

14、(C)(1,1,2)(D)(1,1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c yc yy(B)1122123()c yc yccy(C)1122123(1)c yc yccy(D)1122123(1)c yc yccy(4)设函数2(),01,fxxx而1( )sin,n nS xbnxx其中102( )sin,1,2,3,nbf xn xdx n则1()2S等于(A)12(B)14(C)1 4(D)1 2(5)设A是n阶矩阵 ,且A的行列式0,A则A中(A) 必有一列元素全为0 (B) 必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是

15、其余列向量的线性组合(D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分 ,满分 15 分)(1)设(2)(,),zfxyg x xy其中函数( )ft二阶可导,(, )g u v具有连续二阶偏导数,求2 .zx y(2)设曲线积分2( )cxy dxyx dy与路径无关 ,其中()x具有连续的导数 ,且(0)0,计算(1,1)2(0,0)( )xy dxyx dy的值 .(3) 计 算 三 重 积 分(),xz dv其 中是 由 曲 面22zxy与221zxy所围成的区域.四、 (本题满分6 分 )将函数1( )arctan1xfxx展为x的幂级数 .五、 (本

16、题满分7 分 )设 0( )sin()( ),xf xxxt f t dt其中f为连续函数 ,求( ).fx六、 （本题满分7 分）证明方程 0ln1cos 2exxxdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根 .七、 （本题满分6 分）问为何值时 ,线性方程组13xx123422xxx1236423xxx有解 ,并求出解的一般形式.八、 （本题满分8 分）假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明(1)1为1A的特征值 .(2)A为A的伴随矩阵*A的特征值 .九、 （本题满分9 分）设半径为R的球面的球心在定球面2222(0)xyzaa上 ,问当R为何值时 ,球面在定球面内部的那部分的面积最大?十

17、、填空题 (本题共 3 小题 ,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A的概率()0.5,PA随机事件B的概率()0.6P B及条件概率(|)0.8,P BA则和事件AB的概率()P AB=_.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_.(3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程210xx有实根的概率是 _.十一、（本题满分6 分）设随机变量X与Y独立 ,且X服从均值为1、标准差 (均方差 )为2的正态分布 ,而Y服从标准正态分布.试求随机变量23ZXY的概率密度函数 .1990

18、年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上 )2xt(1)过点(1, 21)M且与直线34yt垂 直 的 平 面 方 程 是_.1zt(2)设a为非零常数 ,则lim()xxxa xa=_. (3)设函数()fx1011xx,则()ffx=_.(4)积分2220eyxdxdy的值等于 _.(5)已知向量组1234(1,2,3, 4),(2,3, 4,5),(3, 4,5,6),(4,5,6,7),则该向量组的秩是_.二、选择题 (本题共5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 ,只有一

19、个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()fx是连续函数 ,且e ( )( ),xxF xf t dt则( )Fx等于(A)e(e)( )xxffx(B)e(e)( )xxff x(C)e(e)( )xxff x(D)e(e)( )xxff x(2)已知函数()fx具有任意阶导数,且2( )( ) ,fxf x则当n为大于2的正整数时,( )fx的n阶导数( )( )nfx是(A)1!( )nnf x(B)1( )nn f x(C)2( )nfx(D)2!( )nnf x(3)设a为常数 ,则级数2 1sin()1 nnann(A) 绝对收敛(B) 条件收敛(C)发散(D)

20、 收敛性与a的取值有关(4)已知()fx在0x的某个邻域内连续,且0( )(0)0,lim2,1cosxf xfx则在点0x处()fx(A) 不可导(B)可导,且(0)0f(C)取得极大值(D) 取得极小值(5)已知1、2是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解1,、2是对应其次线性方程组AX0的基础解析1,k、2k为任意常数,则方程组AXb的通解 (一般解 )必是(A)12 11212()2kk(B)12 11212()2kk(C)12 11212()2kk(D)12 11212()2kk三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分 ,满分 15 分)(1)求120ln(1).(2)xdxx(2

21、)设(2,sin),zfxy yx其中(,)fu v具有连续的二阶偏导数,求2 .zx y(3)求微分方程244exyyy的通解 (一般解 ).四、 (本题满分6 分 )求幂级数0(21)nnnx的收敛域 ,并求其和函数 .五、 (本题满分8 分 )求曲面积分2SIyzdzdxdxdy其中S是球面2224xyz外侧在0z的部分 .六、 （本题满分7 分）设不恒为常数的函数()fx在闭区间,a b上连续 ,在开区间(, )a b内可导,且()().faf b证明在(, )a b内至少存在一点,使得()0.f七、 （本题满分6 分）设四阶矩阵1100213401100213,00110021000

22、10002BC且矩阵A满足关系式1()A EC B CE其中E为四阶单位矩阵1,C表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵 .将上述关系式化简并求矩阵.A八、 （本题满分8 分）求一个正交变换化二次型222 12312132344448fxxxx xx xx x成标准型 .九、 （本题满分8 分）质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)A运动到点(3, 4)B的过程中受变力F作用 (见图 ).F的大小等于点P与原点O之间 的距离 ,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于.2求变力F对质点P所作的功 . 十、填空题 (本题共 3 小题 ,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(

23、1)已知随机变量X的概率密度函数1( )e,2xfxx则X的概率分布函数()Fx=_.(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3 和 0.6,若B表示B的对立事件 ,那么积事件AB的概率()P AB=_.(3)已知离散型随机变量X服从参数为2 的泊松()Poisson分布 ,即22 e,0,1,2,!k P Xkkk则 随 机 变 量32ZX的 数 学 期 望()E Z=_.十一、（本题满分6 分）设二维随机变量(,)X Y在区域:01,Dxyx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量21ZX的方差().D Z1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、

24、填空题 (本题共5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上 )(1)设21cosxtyt,则22d ydx=_. (2)由方程2222xyzxyz所 确定的函数(,)zz x y在 点(1, 0,1)处的全微分dz=_. (3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211xyzxyzll则过1l且平行于2l的平面方程是 _.(4)已知当0x时1 23,(1)1ax与cos1x是等价无穷小,则常数a=_.(5)设 4 阶方阵52002100,00120011A则A的逆阵1A=_.二、选择题 (本题共5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中

25、 ,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e1exxy(A) 没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()fx满足关系式20( )()ln 2,2tf xfdt则()fx等于(A)e ln 2x(B)2eln 2x(C)eln 2x(D)2eln 2x(3)已知级数1 21 11( 1)2,5,n nn nnaa则级数1n na等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9(4)设D是平面xoy上以(1,1)、( 1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域1,D是D在第一象限的部分,则(cossin)Dxyx

26、y dxdy等于(A)12cossinDxydxdy(B)12Dxydxdy(C)14(cossin)Dxyxy dxdy(D)0(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式,ABCE其中E是n阶单位阵 ,则必有(A)ACBE(B)CBAE(C)BACE(D)BCAE三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分 ,满分 15 分)(1)求20lim (cos) . xx(2)设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量,求函数2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数 .(3)22(),xyz dv其中是由曲线220yzx绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z所围城的立体 .四、

27、 (本题满分6 分 )过点(0, 0)O和(,0)A的曲线族sin(0)yax a中,求一条曲线,L使沿该曲线O从到A的积分3(1)(2)Lydxxy dy的值最小 .五、 (本题满分8 分 )将函数( )2( 11)f xxx展开成以2 为周期的傅里叶级数,并由此求级数2 11nn的和 .六、 （本题满分7 分）设函数()fx在0,1上连续,(0,1)内可导 ,且12 33( )(0),fx dxf证明在(0,1)内存在一点,c使( )0.fc七、 （本题满分8 分）已知1(aa及(1,1,3,5).b(1)a、b为何值时,不能表示成1234, 的线性组合 ?(2)a、b为何值时,有1234

28、, 的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、 （本题满分6 分）设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵 ,证明AE的行列式大于1.九、 （本题满分8 分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点( ,)P x y处的曲率等于此 曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点 ),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行 .十、填空题 (本题共 2 小题 ,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上)(1) 若 随 机 变 量X服 从 均 值 为2 、 方 差 为2的 正 态 分 布 ,且240.3,PX则0P X=_.(2)随机地向半圆202(yaxxa为正常数 )内掷一点 ,点落在半圆

29、内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于 4的概率为 _.十一、（本题满分6 分）设二维随机变量(,)X Y的密度函数为( ,)fx y(2)2e0,00xyxy其它求随机变量2ZXY的分布函数 .1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分 .把答案填在题中横线上)(1)设函数()yy x由方程ecos()0x yxy确定 ,则dy dx=_. (2)函数222l n ()uxyz在点(1,2 ,2 )M处的梯度gradMu=_. (3)设()fx211x00xx,则其以2为周期的傅里叶级数

30、在点x处收敛于 _.(4)微分方程tancosyyxx的通解为y=_.(5) 设1 11212 12 1212,nnnnnna ba ba ba ba ba ba ba ba bA其中0,0, (1,2, ).iiabin则矩阵A的秩()r A=_.二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x时 ,函数1211e1xxx的极限(A) 等于 2 (B) 等于 0(C)为(D) 不存在但不为(2)级数1(1) (1cos)(nnan常数0)a(A) 发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)

31、收敛性与a有关(3)在曲线23,xt ytzt的所有切线中,与平面24xyz平行的切线(A) 只有 1 条(B)只有 2条(C)至少有 3 条(D)不存在(4)设32( )3,fxxxx则使()(0)nf存在的最高阶数n为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(5)要使12100 ,121都是线性方程组AX0的解 ,只要系数矩阵A为(A)212(B)201011(C)102011(D)011422011三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5分,满分 15 分)(1)求20esin1lim. 11xxxx(2)设22(e sin,),xzfy xy其中f具有二阶连续偏导数,求2 .zx y(3)

32、设()fx21exx00xx,求31(2).f xdx四、 (本题满分6 分)求微分方程323exyyy的通解 .五、 (本题满分8 分)计算曲面积分323232()()(),xazdydzyaxdzdxzaydxdy其中为上半球面222zaxy的上侧 .六、 （本题满分7 分）设()0,(0)0,fxf证明对任何120,0,xx有1212()()().f xxf xf x七、 （本题满分8 分）在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221xyzabc上第一卦限的点(,),M问当、 取何值时 ,力F所做的功W最大 ?并求出W的最大值 . 八、 （本题满分7 分

33、）设向量组123, 线性相关 ,向量组234, 线性无关 ,问:(1)1能否由23, 线性表出 ?证明你的结论.(2)4能否由123, 线性表出 ?证明你的结论 .九、 （本题满分7 分）设 3 阶矩阵A的特征值为1231,2,3,对应的特征向量依次为1231111 ,2 ,3 ,149又向量12 .3(1)将用123, 线性表出 .(2)求(nnA 为自然数 ).十、填空题 (本题共 2 小题 ,每小题 3 分 ,满分 6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P AP BP CP ABP ACP BC则事件A、B、C全不发生的概率为_.(2) 设 随 机

34、 变 量X服 从 参 数 为1的 指 数 分 布 , 则 数 学 期 望2eXE X=_.十一、（本题满分6 分）设随机变量X与Y独立, X服从正态分布2( ,),NY服从,上的均匀分布 ,试求ZXY的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示 ,其中221( )e) 2tx xdt.1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分 .把答案填在题中横线上)(1)函数 11( )(2)(0)x F xdt x t的单调减少区间为_. (2) 由 曲 线2232120xyz绕y轴 旋 转 一 周 得 到 的 旋 转 面 在 点

35、(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为_. (3) 设 函 数2( )()f xxxx的 傅 里 叶 级 数 展 开 式 为01(cossin),2nn naanxbnx则其中系数3b的值为 _.(4)设数量场222ln,uxyz则div(grad)u=_.(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1,n则线性方程组AX0的通解为 _.二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin2340( )sin(), ( ),x f xtdt g xxx则当0x时,( )fx是()g

36、x的(A) 等价无穷小(B) 同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()xyxy所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2 d(B)404cos 2 d(C)402cos 2 d(D)2401(cos2 )2d(3)设有直线1158:121xyzl与2:l623xyyz则1l与2l的夹角为(A) 6(B) 4(C) 3(D) 2(4)设曲线积分( )e sin( ) cosxLf tydxfxydy与路径无关 ,其中()fx具有一阶连续导数,且(0)0,f则()fx等于(A)ee2xx (B)ee2xx(C)ee12xx (D)ee12xx(5)

37、已知12324,369tQP为三阶非零矩阵,且满足0,PQ则(A)6t时P的秩必为1 (B)6t时P的秩必为2 (C)6t时P的秩必为1 (D)6t时P的秩必为2 三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5分,满分 15 分)(1)求21lim(sincos) .xxxx(2)求e. e1xxxdx(3)求微分方程22,x yxyy满足初始条件11xy的特解 .四、 (本题满分6 分)计 算22,xzdydzyzdzdxz dxdy其 中是 由 曲 面22zxy与222zxy所围立体的表面外侧.五、 (本题满分7 分)求级数20( 1) (1)2nn nnn的和 .六、 (本题共 2 小题 ,每小

38、题 5分,满分 10 分)(1)设在0,)上函数()fx有连续导数,且()0,(0)0,fxkf证明()fx在(0,)内有且仅有一个零点.(2)设,bae证明.baab七、 （本题满分8 分）已知二次型222 12312323(,)2332(0)fxxxxxxax xa通过正交变换化成标准形222 12325,fyyy求参数a及所用的正交变换矩阵.八、 （本题满分6 分）设A是nm矩阵,B是mn矩阵 ,其中,nm I是n阶单位矩阵 ,若,ABI证明B的列向量组线性无关.九、 （本题满分6 分）设物体A从点(0,1)出发 ,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点( 1,0)与A同时出发 ,

39、其速度大小为2 ,v方向始终指向,A试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题 (本题共 2 小题 ,每小题 3 分 ,满分 6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和 2个次品 ,任意抽取两次,每次抽一个 ,抽出后不再放回 ,则第二次抽出的是次品的概率为_.(2)设随机变量X服从(0, 2)上的均匀分布,则随机变量2YX在(0, 4)内的概率分布密度( )Yfy=_.十一、 （本题满分6 分）设随机变量X的概率分布密度为1( )e,.2xfxx(1)求X的数学期望EX和方差.DX(2)求X与X的协方差 ,并问X与X是否不相关 ?(3)问X与X是否相互独

40、立 ?为什么 ?1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分 .把答案填在题中横线上)(1) 011lim cot()sinxxx= _. (2)曲面e23xzxy在点(1,2, 0)处的切平面方程为_.(3)设esin,xxuy则2ux y在点1(2,)处的值为 _.(4)设区域D为222,xyR则2222()Dxydxdyab=_.(5) 已 知1 11,2,3,1,2 3设,A其 中是的 转 置 , 则nA=_.二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要

41、求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设434234222 2 222sincos,(sincos),(sincos),1xMxdx Nxx dx Pxxx dxx则有(A)NPM(B)MPN(C)NMP(D)PMN(2)二元函数(,)fx y在点00(,)xy处两个偏导数00(,)xfxy、00(,)yfxy存在是(,)fx y在该点连续的(A) 充分条件而非必要条件(B) 必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D) 既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,且级数21n na收敛 ,则级数 21( 1)nnnan(A) 发散(B) 条件收敛(C)绝对收敛(D) 收敛性与有关(4)20

42、tan(1cos )lim2, ln(12 )(1)xxaxbxcxde其中220,ac则必有(A)4bd(B)4bd(C)4ac(D)4ac(5)已知向量组1234, 线性无关 ,则向量组(A)12233441, 线性无关(B)12233441, 线性无关(C)12233441, 线性无关(D)12233441, 线性无关三、 (本题共 3 小题 ,每小题 5 分,满分 15 分 )(1)设2221co s()1co s()c os 2txtyttudu u,求dy dx、22d y dx在 2t的值 . (2)将函数111( )lnarctan412xfxxxx展开成x的幂级数 .(3)求

43、. sin(2)2sindxxx四、 (本题满分6 分)计 算 曲 面 积 分2222,Sxdydzz dxdyxyz其 中S是 由 曲 面222xyR及,(0)zR zR R两平面所围成立体表面的外侧.五、 (本题满分9 分)设()fx具有二阶连续函数,( 0 )0 ,( 0ff且2()( ) ( )0xy xyf x y dxfxx y dy为一全微分方程,求()fx及此全微分方程的通解.六、 (本题满分8 分)设()fx在点0x的某一邻域内具有二阶连续导数,且 0( )lim0, xf x x证明级数11() nfn绝对收敛 .七、 （本题满分6 分）已知点A与B的直角坐标分别为(1,0

44、, 0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为.S求由S及两平面0,1zz所围成的立体体积.八、 （本题满分8 分）设四元线性齐次方程组( )为122400xxxx,又已知某线性齐次方程组()的通解为12(0,1,1,0)( 1,2, 2,1).kk(1)求线性方程组()的基础解析 . (2)问线性方程组( )和()是否有非零公共解?若有 ,则求出所有的非零公共解 .若没有 ,则说明理由 .九、 （本题满分6 分）设A为n阶非零方阵*,A是A的伴随矩阵, A是A的转置矩阵,当*AA时,证明0.A十、填空题 (本题共 2 小题 ,每小题 3 分 ,满分 6分.把答案填在题中横线

45、上)(1) 已 知A、B两 个 事 件 满 足 条 件()(),P ABP AB且(),P Ap则()P B=_.(2)设相互独立的两个随机变量,XY具有同一分布率,且X的分布率为X0 1 P1 21 2则随机变量max,ZXY的分布率为 _.十一、 （本题满分6 分）设随机变量X和Y分别服从正态分布2(1,3 )N和2(0,4 ),N且X与Y的相关系数1,2xy设,32XYZ(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差 .(2)求X与Z的相关系数.xz(3)问X与Y是否相互独立 ?为什么 ?1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题 (本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15

46、 分 .把答案填在题中横线上)(1)2sin0lim(13 )xxx=_.(2)202cosxdxt dtdx= _. (3)设()2,abc则()() ()abbcca=_.(4)幂级数2112(3)n nn nnx的收敛半径R=_.(5)设三阶方阵,A B满足关系式16,ABAABA且1003 100 ,4 1007A则B=_.二、选择题 (本题共 5 小题 ,每小题3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L321021030xyzxyz,及平面: 4220,xyz则直线L(A) 平行于(B) 在上(C)垂直于(D) 与斜交(2)设在0,1上()0,fx则(0),(1),(1)(0)ffff或(0)(1)ff的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)ffff(B)(1)(1)(0)(0)ffff(C)(1)(0)(1)(0)ffff(D)(1)(0)(1)(0)ffff(3)设()fx可导,(