立体几何角度求解全攻略.pdf

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1、立体几何中的角度问题攻略 新东方 孟祥飞 异面直线角：采用平移法，或者向量 线面角：（1）当射影线好找时采用定义法， （2）当射影线不好找时建议采用向 量法，但是等体积法也是不错的选择 二面角：（1）当二面角的二面为双等腰图形或者全等对称或者二面交线垂线相 对好平移的情况，采用定义法即可（2）当二面交线垂线不好平移（主要原因为 计算量太大）建议直接采用向量法，但是三垂线法也是不错的选择，可以减少 平移运算。（3）三垂线法也会出现射影线不好找的情况，此时可以采用等体积 转化。例题： 1.正四面体ABCS中， E，F 为中点，求异面直线BE， SF所称角度S E A C F B 异面直线角的求法只

2、需记住平移和向量即可，但是有些小题考查可能不好建系， 所以需要大家对平移好好掌握，而平移其实就是构建辅助线，辅助线的构造基 本和证明线面平行时的构造相同，即平行四边形构造和中位线构造，相对而言 中位线可能够难想一点，中位线构造常常出现在三棱锥中。S E P A C PF 和 SF 所成平面角即 所求 F B S E 这样的构建也是不错的选择 EQ 和 EB 所成角为所求A C Q F B 求三边套余弦定理即可，令正四面体边长为2，则 EB=3，EQ= 23，QB= 27所以 32323247343cosQEB此题还可以采用五坐标向量法来求解，2.三棱锥 ABCD ，且,)(,ACEFfDFCF

3、 BEAEBDEF ,，求)(f的单调性A E Q B D F C 此题的方法也为平移转化，由于是三棱锥，所以采用中位线（等比例线）方式 平移，如图，不难发现，其实题目设计成求和角单调性，由于内角和为定值， 其实就是求角 EQF 的单调性，而角 EQF 为棱 AC 和 BD 之间角，是为定值的3.正方体1111DCBAABCD，E 是1BC中点，求 DE 与 ABCD 所成角。D 1C1 A1B1E D C Q A B 线面角在求解时，我们觉得可能难度略大于异面直线，但是同学们注意其实把 方法掌握，一样是很简单的，因为立体几何的特点是规律性非常强！我们看此 题，线面角的定义是射影和斜线的成角，

4、所以我们要先找 DE 直线的射影， 不难 发现 DE 的射影即为 DQ，所以所求线面角的平面角即为EDQ，只需求解直角 三角形 EDQ 即可求出线面角的三角函数值。但是同学们请思考，你知道这个题 为什么简单吗？请看下面4.正方体1111DCBAABCD，求1BB与平面CAB1所成角。D 1C1 A1B1Q D C A B 还是正方体，这个题就不好做，因为我们在想采用定义法的话，你会发现这次 射影不好找了，是谁的问题呢？是平面的问题，刚才所求平面是底面，由于有 侧棱垂直底面，所以引垂线找射影都是很自然的，但是当平面为斜切面时候，我们觉得就不是那么自然了， 由点 B想向平面CAB1引垂线找射影其实

5、并不简单，当然聪明的同学会知道点B的垂足点其实在三角形CAB1的几何中心 Q上， 没错，如图，但是此时的三角形1BQB 还是需要运算求解，不是很轻松，再想如果图形复杂，斜面不是等边图形求解将会更复杂，甚至垂足点都不好早，所以这个方 法就不是最优解了，当然这时我们首先可以选择建议（详解略），我想为大家推荐另外一种解法，是这样的， BQ 线段其实既是垂线段，又是三棱锥CABB1的高，如果我们能求出这个高，然后比上B1B，即可求出射影和斜线的正弦，即线面角的正弦，而求高是不一定非要引垂线的，我们都知道可以等体积求高嘛， 所以这个方法有时候叫做等体积法，如下：131 3111BBSBQSVABCCAB

6、CABB，将两个面积算出，以及侧棱带入，即可算出 BQ 大小，在算1BBBQ即为线面角正弦。5.正方体1111DCBAABCD，E，F 分别是所在棱中点，（1）求证FCEA,1四点共面（2）求11BA与ECFA1所成角F D 1C1 A1B1 线面角射影dD C A E B 此题同学们即发现如果由B1 点向平面FCEA1引垂线找射影的话就会较为麻烦？不会麻烦，这个垂线是非常难引的，所以可以采用的是等体积法，但是要注意等体积法只适用于三棱锥可以换底！所以如果我们要求点1B到平面FCEA1的距离，必须要将平面FCEA1分成三角形平面FEA1，构建三棱锥FEAB11，设点1B到平面FCEA1距离为

7、d，得三棱锥体积侧棱长111113131FBAFEAFEABSdSV，即可求出 d，然后线面角正弦11BAd6.正方体1111DCBAABCD，点 E，F 为中点，求1BC和平面 BDEF 所成角度E D 1C1 A1F B1D C A B 对于这道题而言，大家会发现再采用等体积换底求高再比出线面角正弦的方法，此题也不是很适用了，因为在我们设法求点1C到平面 BDF（将平面 BDEF 拆分成三角形才可换底求高） ，但是三棱锥BDFC1令任何一面为底面都不易求出体积，大家可以尝试一下。不过，我们其实还是可以求出点1C到所求线面角中的平面 BDEF 的距离，直接取四棱锥体积hSVBDEFBDEFC

8、311，而体积BDEFCV1是可以采用割补法求出的，即ADBEFAFDDCDBCCBDEFCVVVVV11111正方体，但是明显发现这种方法过于繁琐，是不可取的，所以此时建议使用坐标法，具体如下：z E D 1C1 A1F B1D C y x A B 设棱长为 2，则点 D（0,0,0） ，点 B（2,2,0） ，点 E（1,0,2） ，点 F（2,1,2） ，点1C（0,2,2） ，得出)0,2 ,2(),2, 0, 1(),2 ,0, 2(1DBDEBC，设法向量),(000zyxn，则，) 1,2, 2(2,022020 0000nxyxzx取设所求线面角为，则套线面角向量坐标公式得，2

9、2| 32224| |sin11nBCnBC得，1BC和平面 BDEF 所成角度为 4 同时请同学们注意，除了此题，以上几题也均可以使用空间向量法来求解，并 且空间向量法无需构建辅助线，操作流程简便，更适合求解立体几何中的角度 问题，应该属于更优解法。再求解线面角时，要注意由于法向量和直线向量之 间的角度并非线面角，所以经过诱导公式变形后得到是线面角的正弦，具体公式为：| |sin nana，请大家牢记！7.正方体1111DCBAABCD，E 为 BC 中点，求EB1与平面CAD1所成角。F D 1 C1 A1B1D C E A B 此题情况想为同学们建议一个题型概念，这种类型属于无交点型的线

10、面角问题，如图，所求EB1与平面CAD1所成角之间是没有交点的，我们可以先将其平移，产生交点后再求解，如图CFEB1，但是此题平移后仍然不易求解，属于和上题情况类似，不好直接引垂线并且无法等体积换底求高，只能采用割补法求体 积再求高，较为麻烦，所以建议采用空间向量法。 另有方法，请同学们注意，当无交点情况出现，其实我们除了可以平移直线， 其实还可以采用平移平面法，如下图。 D 1 C1 A1B1D C E A B平面CAD1向上平移后变为如图所示的正八边形，此八边形在正方体中是非常特殊的，它垂直于体对角线DB1，且将体对角线等分，设棱长为2 后，我们可以用比正弦的方法迅速得出所求线面角正弦 5

11、3sin1EBd（21dDB1）8.如图21,ll是互相垂直的异面直线， MN 是他们公垂线段，点A，B 在1l 上，C 在2l ，MNMBAM， （1）求证NBAC， （2）若60ACB，求NB与平面ABC 所角。D C L1 L2 A M N B 此题出自 06 年的全国 I 卷，希望通过此同学们可以将几种求线面角的方法经行 巩固， （1）求证NBAC略 （2）解法一： （构造线面角的平面角即定义法，由点 N 向平面 ABC 引垂线去构 建射影） 设MNMBAM=1，且ABMN，等腰三角形三线合一， 显然BNAN，又由于ABN,平面CNMNCNABCN，所以90CNBCNA，所以 CNA

12、和 CNB 全等，所以 AC=BC， 又60ACB，所以 ABC 为等边三角形，所以 AB=AC=BC=2 ，所以 CN=22422BNBC所以 4NBANBC，这是希望大家记住一个由点向平面引垂线的小方法，叫做引垂线的角分线法，如图P B A C 直线 AB，AC 是平面内的两条直线，直线PA 和平面相交于点P，如果PACPAB，由点 P 向平面引垂线垂足落在BAC的角分线上（证明略）。 利用此结论，由点N 向平面 ABC 引垂线，由于 ABC 为等边三角形，角分线 和中线重合，所以垂足会落到中线AD 上，则射影为 AD 则所求线面角的平面角为NBD 1,3,2NDBDNB，由余弦定理可得，

13、3262624 2cos222BDNBNDBDNBNBD（注：此题由于属于斜面情况，所以射影是不好构建的，这里我们引入了一个 小方法，常见引垂线的小方法其实有很多，例如： 1，面面垂直的性质定理：面面垂直由一个平面中的点向另外一个平面引垂线会 引到交线上 2，角分线引法，如上 3，如果图形为侧棱两两垂直的直角三棱锥情况，由顶点向底面引垂线，垂足落 在底面三角形的垂心上 4，如果图形为侧棱都相等三棱锥情况，由顶点向底面引垂线，垂足落在底面三 角形的外心上） 解法二： （等体积换底求高比正弦法）D C L1 L2 A M N B 三棱锥体积CNSVhSVNABNABCABCABCN31 31，又

14、CN=22422BNBC323222160sin21BCACSABC，1222121ANBNSNAB，所以代入CNSVhSVNABNABCABCABCN3131，得3223hh，设线面角为，则31232sinBNh，即 32cos解法三： （空间向量法）z D C L1 x L2 A M N B y点 N（0,0,0） ，点 A（2，0,0） ，点 B（0，2，0） ，点 C（0,0，2） ，则NB（0，2，0） ，)2,0,2(),0,2,2(ACAB，设法向量),(000zyxn，则，)1 , 1 , 1(, 1, 02202200000nx zxyx取，设线面角为，31322| |sin

15、 nNBnNB， 32cos9.四棱锥ABCDP的底面为直角梯形，DCAB/，PADAB,90底面，且121ABDCADPA，M 是 PB 中点， （1）求 AC 与 PB 所成角（2）求二面角BMCA P M Q A B E D C 解法一： （定义法构建二面角的平面角）想求解二面角应该首先了解二面角的定义，两平面的交线叫做二面角的棱，例如此题所求BMCA，即平面 AMC 和 平面 BMC 其二面角棱即为 MC ，在两个平面中分别做棱的垂线，垂线之间的角 为二面角的平面角，例如此题我们需要先构造辅助线，构造出二面角的平面角， 要由点 A 向棱 MC 引垂线，由点 B 再向 MC 引垂线，但是

16、引发问题为，如果两 条辅助垂线没有相交，则变为异面直线角还需构建平行辅助线继续构造平面角， 这也是定义法的缺陷，但是请同学们仔细观察。2521522PBAMABPAPB，斜边中线长度为斜边的一半，222DCADAC，2521PBBM，请大家注意此四棱锥的底面是一个边长1,1,2 的直角梯形， 此直角梯形四比较特殊的，如下图，是由三个全等的等角直角三角形构成，所以不难发现，2ACCBD C A B 所以我们得出， AMC 和BMC 是两个全等的三角形，所以如果我们要由点 A 向棱 MC 引垂线，由点 B 再向 MC 引垂线，相当于两个对称图形引垂线，是 不会出现两条垂线不相交的情况的，所以，如原

17、题图所示，要由点A 向棱 MC 引垂线垂足为点Q，由点 B 再向 MC 引垂线垂足亦是点Q，按照二面角的定义， 所求二面角BMCA的平面角即为 AQB，此时平面角构建完成。 现在计算 MC 长度，由点 M 向底面引垂线，构建直角MEC ，得2522ECMEMC将AMC 单独拿出来看，如下图，求出垂线56AQ，由此有可得 56BQM 25Q 25A 2C 在ABQ 中， 322cos222BQAQABBQAQAQB，所以二面角BMCA的余弦值为 32此种方法的关键其实在于二面角的两个平面正好为全等三角形，如果不是那么 定义法将失效，所以同学们在解题过程中，不妨先观察是否可以直接引出垂线 得到二面

18、角的平面角，往往只有对称的全等三角形和两个等腰三角形（同时引 到中点）等简单图形是可以直接构造出平面角的。解法二： （空间向量法）通过以上的演示，大家不难发现，二面角在求解时，即 使采用了定义法构建出平面角，在求解的时候往往计算量也不小，没错，所以 有时候我们更推荐直接采用空间向量，虽然也有运算，但是可以避免构建辅助 线的风险。 z P M y A B D C x 点 A（0,0,0） ，点 B（0,2,0） ，点 C（1,1,0） ，点 M （0,1， 21）得，)21,0 , 1 (),0 , 1, 1(),0, 1 , 1 (MCBCAC设平面 AMC 和平面 BMC 法向量分别为),(

19、),(22221111zyxnzyxn，则)2, 1, 1(1,0210 11 1111 nxzxyx 取，)2 , 1 , 1(1,0210 12 2222 nxzxyx 取，则3264|cos2121nnnn，但是同学们请注意这里的32并非二面角的余弦，从图中不难发现，二面角BMCA显然为钝角，余弦值应该为负，所以我们求出的 32，其实是二面角BMCA的补角，利用诱导公式易得互补的两个角余弦值互为相反数，所以二面角BMCA的余弦值应该为 3210. 如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB， APBPAB ，PCAC （）求证：PCAB；Q （）求二面角BAPC的大小； （）求点C

20、到平面 APB的距离 此题是 08 年北京的高考题，第一问求证PCAB，可有 PAC和PBC已知三 边对于相等证得全等，又由于题目已知PCAC得出BCPC，又线面垂直的判定定理可得BCPCA平面，推出 PCAB，想为大家说明的是，请同学们思考，第一问其实用的是初中的平面几何的全等知识，所以第一问仅仅是考察了 空间的一些观察和想象，但是又不仅仅如此，因为第一问证得后可以得知PC和 AC和 BC是三垂直的关系， 为建系也做好了准备， 所以我们常常讲这样的第一问 是具有提示作用的哦。现在我们来看第二问求二面角，由2222BCACAB得，APBPAB22，推出222ACAPPC，易知，平面 CAP为等

21、腰直角三角形，而题目已知平面BAP为等边三角形，所以此二面 角为两面三角形均为等腰型的二面角，此时按照二面角定义向棱AP引垂线，两 条交线的垂线必然相交于中点， 如图 BQC 即为所求二面角BAPC的平面角，而且易得， CQ2，BQ =6，又 BC=2由余弦定理可得，31622426cosBQC，此题二面角求解应该说非常简单，主要原因就是此二面角为双等腰型的二面角，平面角在棱的中点处可得到，计算量小，大家在 解题中遇到此类型情况可千万别错过这得分的最好机会哈。此题空间向量的解 法希望大家也可以练习一下。 对于第三问求距离，和我们之前说过求线面角的等体积换底求高比正弦法中的 求高完全一样。设求点

22、C到平面 APB的距离为 h，可得，PCShSVVABCPABABCPPABC31 31，得，3232hhA C B P 11. 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD 中， AB AC ， PA 平面 ABCD ， 且 PA=AB ， 点 E 是 PD的中点， （1）求证： AC PB （2）求证： PB 平面 AEC （3）求二面角 E-AC-B的大小。 P E A B Q M N D C 此题为 06 年北京市高考题， 第一二问就不在这里说明了， 现在我们来看第三问， 二面角 E-AC-B的特点是其中 ACB平面的棱垂线是已知的， 由题目 AB AC ，所以 AB即为棱的垂线垂足为点A，

23、请大家注意虽然二面角另一个平面AEC引垂线显 然不在点 A，有定义法不能直接得到二面角的平面角，但是，如果将两条垂线平 移至相交，由于平面ACB的垂线垂足在端点A 处，平移的话计算量也不大，可 以考虑平移使二面角暴露的策略。而在思考发现其实平面AEC为等腰三角形， 因为在直角三角形PAD （由于 PA垂直底面）中，有斜边上的中线等于斜边的一 半，得PDAE21，而由于显然 AB垂直于平面 PAC ，又因为 AB CD ，所以，CD垂直于平面 PAC ，显然 CD PC ，所以在直角三角形PCD中，再由于斜边上的 中线等于斜边的一半，得PDCE21，最后 AE=CE ，平面 ACE为等腰三角形，

24、所以，由点 E向二面角棱 AC引垂线垂足为中点M （如图） ，得 EM AC ， 这是只需取 BC中点 N，由于 MN AB ，所以 MN AC ，所以得到，二面角E-AC-B 的平面角为 EMN ，只需利用余弦定理求解EMN 即可，如下： 设 PA=AB=2 121ABMN，取 AD中点 Q ，显然 EQ PA ，且 EQ121PA，由于 PA垂直于底面 ABCD ，所以 EQ垂直于底面 ABCD ，说以 EQ QN （包含 QM ） ，在直角三角形 EQM 中，QM=121 21ABCD，得222QMEQEM，又在直角三角形EQN 中， QN=AB=2 522QNEQEN，由余弦定理得，2

25、22cos222MNEMENMNEMEMN，所以所求二面角为145，定义法在此题中还是非常适用的，大家可以思考下什么样的二面角是可以平移的，此题使 用空间向量其实也是不错的选择，此题还是建议大家使用空间向量法练习一下。12.正三棱柱111CBAABC中，D 是 AC 中点， （1）证明11/ DBCAB（2）若11BCAB，求二面角CBCD1A1 A D C1C O M B1B 同样第一问平行就留给大家思考了，现在我们来看第二问，求二面角CBCD1，不知道大家是否能发现这个题目和前几个题的区别，我们之前举例的都是可以按照定义直接找到二面角的平面角，但是再此题中如果由点D 和 点 C 分别向棱

26、BC 引垂线，会发现两垂线的垂足是明显不在一起的，问题就在 于二面角的两个平面即非全等对称也非双等腰，而且由于垂足点即非中点也非 端点，平移的话难度非常大，一般建议同学们干脆建系比较好思考， 解法一： （空间向量法） 此题建系同学们要仔细思考的，正三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱，且底面为正三角形，而此题为躺倒的正三棱柱， 所以真正的底面为111CBA， 由于面111CBA垂直于平面CCBB11，由面面垂直的性质定理（面面垂直由一个平面内点向交线引垂线，该垂线垂直于另一个平面） ， 所以由点1A向11CB引垂线，由于平面111CBA为正三角形，所以垂足为中点O，此时平面OA1CCBB11，取OA

27、1为三垂直坐标系的 z 轴，同学们请注意， 当题目出现面面垂直已知条件的时候，我们都是这样去建系的！再取 BC 中点 M，易知 OM11CB，此时三垂直构建成立，如图所示建系完毕。此题除了建系需要利用面面垂直构建线面垂直，具有一些小障碍， 同时大家不难发现，题目是没有边长条件的，取正三棱柱底面边长为2 后，由于侧棱111,CCBBAA的长度不知道，则无法进行坐标的书写，这也是采用空间向量的小障碍，不过没关系，我们来看题目给了11BCAB，利用三垂线定理，如果11BCAB，则1BC垂直于1AB在平面CCBB11的射影，不难发现1AB在平面CCBB11的射影为MB1，所以得出1BCMB1，请大家看

28、下图（平面CCBB11的特写） ，取正三棱柱底面111CBA边长为 2， 设xBB1，如图，1CC M G 1BB 29)52(,131,11,431,4222222 122 1xxMBGBMGxMGxMBMBxGBxBC所以得21BB，此时可以建系了，大家要善于平面几何的求边长。这样我们只要求二面角CBCD1的两个平面1DBC和1CBC的法向量即可，而不难发现平面1CBC为底面，所以任意（0，0，z）向量都垂直底面， 所以直接取平面1CBC的法向量为1n（0,0,1） ，现在求平面1DBC的法向量，)23,2,21(),0,2, 1(),0, 0, 1(1DBC，设平面1DBC的法向量为),

29、(0002zyxn，则0, 01BDnBCn，得)3,2, 1(1, 02323022 200000 nx zxyx设二面角CBCD1为，则 2263|cos2121nnnn，所以CBCD1大小为 45，同学们要注意此题最后余弦值为 22是正确的，因为通过题目图像易得二面角CBCD1为锐角，所以余弦值为正，如果由图得二面角为钝角的话，要将得到的余弦值改为负的 22，角为 135。解法二： （三垂线定理法）之前我们说过，如果直接采用定义法，由点D 和点 C向交线1BC引垂线，由于二面角两平面非对称非双等腰，所以垂足不在一起，但是我们可以改进一下，如图A1 A D C1C O Q B1 N B M

30、 先由点 D 向交线1BC引垂线，垂足为N，此时再由点 D 向平面CCBB11引垂线，由于 AM 是垂直CCBB11，所以再取 MC 的中点 Q，DQ 为 AM 的中位线，所以有 AM DQ，得 DQ 垂直CCBB11，垂足为点 Q，再由垂足点 Q 向交线1BC引垂线，请同学们注意， QN 即为1BC的垂线，因为 QN 为 DN 在平面CCBB11的射影，所以已知 DN 垂直1BC，由三垂线逆定理可得射影QN 也垂直于1BC，从而在二面角的两个平面中都构建出了棱1BC的垂线，即 DN（直接引出）和QN（由垂足点构建的射影垂直） ，二面角CBCD1的平面角角为 DNQ ，而DNQ 又为直角三角形

31、，易得2321AMDQ，NQ 的长度计算，还是将平面CCBB11特写出来，如图1CC Q N M 1BB 利用三角形等面积换底求高，,2121111GQBCCCBQSQBC236223GQGQ，得12323tanNQDQDNQ，所以二面角的大小为45。13.正方体1111DCBAABCD，P，Q，R 分别为棱中点，求二面角PQRBD 1C1 A1B1P D C R A Q B E F 此题首先可以采用空间向量法，请同学们进行认真练习。 解法一： （三垂线定理法） 现在我们来思考如何去找二面角的平面角，如果我们直接由二面角两个平面向 棱引垂线，不难想由点P 和点 B 向棱 QR 引垂线垂足是不能

32、和在一起的，所以无法直接构建二面角，但是，由题意易知二面角PQRB求的是斜平面PQR和底面的二面角，此二面角为钝角，现在我们来看二面角PQRA，也是平面PQR 和底面的二面角， 其实很明显PQRB和PQRA是互补的， 我们不妨先来就二面角PQRA，请同学们来思考，在求PQRA是，是否可以采用定义法，直接由点P 和点 A 向棱 QR 引垂线，答案是肯定的，如图，先将QR 延长至点 E,由点 P 向 QR 引垂线垂足为点F，由点 A 向 QR 引垂线垂足也为点 F，原因就在于PA 是垂直于底面ABCD 的，所以 PF 在底面 ABCD 的射影是 AF，由三垂线定理可得，如果引AFQR，可得 PFQ

33、R，所以二面角构建成功，PQRA的平面角为PFA，计算边长易得2tanAFPAPFA，由于PQRB和PQRA互补，所以二面角PQRB的正切值为2。解法二： （射影面积法） 现在为大家引入另外一种办法，叫做射影面积法， 我们知道在直角三角形中 （如 图） B C A ABACAcos， 而 AC 可以看做是 AB 在底边 AC 上的射影，所以角 A 的余弦值可以叫做斜边 AB 在直角边的射影和斜边AB 的长度比值。类比此性质可得到二面角的一种算法，如图：A C B Q D 二面角 A-BC-D 的余弦值为斜面 ABC 在底面 BCD 的射影 BQC 的面积和斜面ABC 的面积的比值。即公式斜面射

34、影二面角 ScosS我们来看原题，如图D 1C1 A1B1P D C R A Q B 我们还是先来求补角PQRA，按照我们刚才定义，斜面射影二面角 ScosS，所以设PQRA为，则PQRAQR SScos，所以只需计算PQRS和AQRS即可。这种方法和三垂线定理法操作基本相同，都是要先由点P 向底面引垂线，区别在于三 垂线定理是构建垂线的射影，从而构建二面角，而射影面积法是构建平面的射 影，不需要构建二面角。虽然射影面积法在辅助线上会少一些，但是面积的计 算略微复杂，也有缺点。14.直三棱柱111CBAABC中，AC=BC=1，22,901AAACB， P为1AA中点，求面CPB1与面 ABC

35、 所成二面角。A1B1C1 P A B C 此题特别适合射影面积法， 因为我们发现CPB1与面 ABC 所成二面角在图中是没有交线棱的，如果想采用定义法或是三垂线定理法必须要向棱引垂线，而此题无棱就必须延伸平面产生交线还是比较麻烦的，而斜平面CPB1在底面的射影三角形不难发现恰为ABC ，所以所求二面角的余弦值为CPBABC1SSS斜面射影S，计算边长得，3,2,311CBPBPC，所以 653223942cos1122 12 1 1CBPBPCCBPBCPB611sin1CPB，211sin21 1111CPBCBPBSCPB21 21BCACSABC设二面角为 111121121cos,，

36、当然此题也可采用空间向量，希望大家练习。15.在底面是直角梯形的四棱锥ABCDS中，已知,90ABCDSAABC底面12ADBCABSA，求平面 SCD 和平面 SBA 所成二面角S B C A D 解法一： （射影面积法） 这是一道真题， 我们不难发现， 平面 SCD 和平面 SBA 是没有交线的， 也就是无 棱，聪明的你想到可以怎么做了吗？没错射影面积法，设所求二面角为，则SDCSAB SScos，只需要算两个面积即可，由题目已知显然，21 21SAABSSABSCD 面积稍微复杂一点，由题目已知易得25DC，25SD而32122ACSASC，由于 SCD 为等腰三角形，所以求面积可以先求

37、地面上的高，详细步骤就略掉了，最后 46 SCDS，所以SDCSAB SScos 32624621解法二： （空间向量法）当然此题也可以建系，采用空间向量法，同学们一定要 注意空间向量是核心方法哦！ z S y B C A D x 由于 x 轴式垂直于平面SAB 的，所以直接去 SAB 的法向量)0 ,0 , 1 (1n)0 , 1 , 1(),0, 0 ,21(),1 , 0, 0(CDS)1,0,21(),0, 1 ,21(SDDC设平面 SDC 法向量),(2222zyxn得，) 1 , 1, 2(, 2,021021 0022222222nx zxyxSDnDCn取，设二面角为，得32

38、62|cos2121nnnn，观察原题二面角为锐角，所以结果正确。16.四棱锥 A-BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABCBCDE，BC=2 ，CD= 2 ，AB=AC（1）求证：AD CE （2）设侧面 ABC为等边三角形， 求二面角EADC的 大小？A B M E N C D 解法一： （定义法升级版本）此题也是一道真题，首先由于非底面和直角侧面情 况，引平面垂线垂足不易确定，所以不建议使用三垂线定理法和射影面积法了， 大家现在思考，此题是否可以使用定义法？答案是肯定的，如图，由点C 和点 E 向二面角的棱引垂线， 垂足是相同唯一的， 为什么？引大家仔细观察， 如果先 做 CM

39、 AD，由题目第一问结论（三垂线定理证明可得）ADCE ，所以 AD垂直 于平面 CME 的两条相交直线，那么由线面垂直的判定定理可得，AD垂直于平面 CME ，从而得到 AD ME ，所以由点 C 和点 E 向二面角的棱引垂线垂足均为点M， 二面角EADC的平面角为 CME ，但是此题的问还没有结束， 需要算出 CME 的三边，然后利用余弦定理求CME ，再想想其实也不难，因为CE 是底面矩形的对角线，得 CE6而CM 所 在 的 ACD 为 直 角 三 角 形 ， 利 用 等 面 积 法 易 得32622 ADCDACCM，由于 EM所在的 ADE 为等腰三角形， 同样利用等面积法得， 310652ADANDEEM，利用余弦定理得，10102cos222MECMCEMECMCME这种方法核心在于出现了一个棱AD的垂面 EMC ，所以有时候也叫垂面法，解答 时有一定风险。 解法二： （空间向量法） 此题建系同学们要注意，由于题目是没有直接的三垂直的，需要先利用面面垂 直的性质定理，即面面垂直由平面内一点向交线引垂线垂直于另一个平面，这 样我们需要先由点A向 BC引垂线垂足为 O ，如此 AO就垂直于平面 BCDE 了，具 体建系如图，这个建系小技巧是很重要的，当出现面面垂直我们都是如此建系 的z A