王式安考研概率强化讲义啊.pdf

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1、. . 第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。了解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。1 随机事件与样本空间一、随机试验：E（ 1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果样本点所有样本点全体样本空间三、随机事件样本空间的子集随机事件ABC样本点基本事件，随机事件由基本事件组成。如果一次试验结果，某一基本事件出现发生，出现如果组成事件A的基本事件出现A发生，A出现必然事

2、件不可能事件. . 2 事件间的关系与运算一事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立二事件间的运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图三事件的文字叙述与符号表示例 2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)iA i表示事件：“第二次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件：（1）122313A AA AA A；（2）123A A A；（3）123AAA；（4）123123123A A AA A AA A A；再用123,A AA 表示下列事件：(5) 都取到正品； (6)至少有一件次品；(7) 只有一件次品； (8)取到次品不多于

3、一件。3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式一公理化定义,A P(1)( )0P A(2)()1P(3)1212()()()()nnP AAAP AP AP A,ijA Aij二性质(1)()0P（2）1212()()()()nnP AAAP AP AP A,ijA Aij(3)()1()P AP A(4),()()AB P AP B(5) 0()1P A三条件概率与事件独立性. . (1)()( )0, (),( )P ABP AP B AP A事件A发生条件下事件B发生的条件概率；(2)()( )( ),P ABP A P B事件,A B独立，,A B独立,A B独立,A B独立,A B

4、独立；( )0P A时 ,A B独立()()P B AP B；(3)121212(,)()()()1kkiiiiiikP AAAP AP AP Aiiin称12,nA AA 相互独立 ,(2321nn nnnCCCn个等式 ) 相互独立两两独立。四五大公式(1) 加法公式：()( )( )()P ABP AP BP ABP(A)()()()()()()()BCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC12(.)nP AAA(2) 减法公式：P ABP AP AB(3) 乘法公式：()0, ()( ) ()P AP ABP A P B A121(.)0nP A AA时，12121312

5、121(.)() () ()(.)nnnP A AAP A P A A P A A AP A AAA(4) 全概率公式：12,.,nB BB是完全事件组，且()0iP B，1,in1()()()nii iP AP B P A B(5) 贝叶斯公式：12,.,nB BB是完全事件组，( )0,()0,1,iP AP Bin1()()() () ()jjjnii iP BP A BP B A P B P A B1,2,.,jn. . 4 古典型概率和伯努利概率一古典型概率( )AnAP An所包含的样本点数样本点总数二几何型概率()()()AALP AL的几何度量的几何度量三独立重复试验独立各试验

6、间事件独立，重复同一事件在各试验中概率不变四伯努利试验试验只有两个结果AA和伯努利试验n重伯努利试验二项概率公式(1)kkn k nC PP0,1,.,kn( )P Ap5 典型例题分析例 1. 设,A B为两事件，且满足条件ABAB，则()P AB_ . 例 2.,A B为任意两事件，则事件()()ABBC等于事件AACB()ABCC()ABCD()ABBC例 3随机事件,A B，满足1( )( )2P AP B和()1P AB则有AABBABC()1P ABD()0P AB. . 例 4设() ()01P A P B且()()1P B AP B A则必有A()()P A BP A BB()

7、()P A BP A BC()()()P ABP A P BD()()( )P ABP A P B例 5(06) 设A、B为随机事件，且()0P B，()1P A B，则必有A()()P ABP AB()()P ABP BC()()P ABP AD()()P ABP B例 6试证对任意两个事件A与B，如果()0P A，则有( )(|)1( )P BP B AP A）例 7有两个盒子， 第一盒中装有2 个红球， 1 个白球； 第二盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：（1）这个球是红球的概率；（2）若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。例 8假设

8、有两箱同种零件：第一箱内装50 件，其中10 件一等品；第二箱内装30 件，其中 18 件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求：（1）先取出的零件是一等品的概率p；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率 q. . . 例 9袋中装有个白球和个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列事件的概率：（1）从袋中取出的第k个球是白球(1)k（2）从袋中取出ab个球中，恰含a个白球和b个黑球(,)ab例 10随机地向半圆2( , ) 02x yyaxx（其中0a，是常数）内掷一点，则原点和该点的连线与x轴的夹角

9、小于 4的概率为 _。例 11在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，求在第n次成功之前恰失败了m次的概率。例 12四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为_。例 13已知,A B C三事件中AB与相互独立，()0P C，则,A B C三事件A相互独立B两两独立，但不一定相互独立C不一定两两独立D一定不两两独立例 1410 台洗衣机中有3 台二等品，现已售出1 台，在余下的9 台中任取2 台发现均为. . 一等品，则原先售出1 台为二等品的概率为A310B28C210D38例 15甲袋中有2 个白球 3 个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中

10、任取2 球，从乙袋中任取 1 球混合后，从中任取1 球为白球的概率A15B25C35D45例 1610 件产品中含有4 件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。例 17两盒火柴各N根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有R根的概率。()RN例 18 （05）从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为X，再从 1，2，X中任取一个数记为Y，则(2)P Y_。第二讲随机变量及其概率分布考试要求：理解：离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度掌握：分布函数性质：0-1 分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布及它们的应用.

11、. 会计算：与随机变量相联系的事件的概率，用泊松分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分布。数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件1 随机变量及其分布函数一随机变量样本空间上的实值函数()XX，。常用,X Y Z表示二随机变量的分布函数对于任意实数x，记函数( )()F xP Xx，x称( )F x为随机变量X的分布函数；( )F x的值等于随机变量X在,x内取值的概率。三分布函数的性质（1）lim( )0 xF x，记为()0F；lim( )1 xF x，记为()1F。（2）( )F x是单调非减，即12xx时，12()()F xF x（3）( )F x是右连续，即(0

12、)( )F xF x（4）对任意12xx，有1221()()()P xXxF xF x（5）对任意x，()( )(0)P XxF xF x性质（ 1）（ 3）是( )F x成为分布函数的充要条件。例 设随机变量X的分布函数为,0( )1 0,0AxxF xx x，其中A是常数，求常数A及(12)PX。. . 2 离散型随机变量和连续型随机变量一离散型随机变量随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。二离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量X的可能取值是12,.,.nx xx称(),1,2,.kkP Xxpk为X的概率分布或分布律分布律性质： （1）0.,1,2,.kpk（2）1k kp分布

13、律也可表示为1212kkXxxxPppp三离散型随机变量分布函数( )()kkkk xxxxF xP Xxp，()( )(0)P XaF aF a例 1123111326XP求( )F x四连续型随机变量及其概率密度设X的分布函数( )F x，如存在非负可积函数( )f x，有( )( )x F xf t dt，x称X为连续型随机变量，( )f x为概率密度。概率密度性质：（1）( )0f x；（2）( )1f t dt；（3）12xx，2112()( )xxP xXxf t dt；. . （4）( )f x的连续点处有( )( )Fxfx。例 已知( )f x和1( )( )f xfx均为概

14、率密度，则1f必满足A11( )1,( )0fx dxfxB11( )1,( )( )fx dxfxf xC11( )0,( )0fx dxfxD11( )0,( )( )fx dxfxf x3 常用分布一 （ 01）分布01 011X pPpp二二项分布(),kkn k nP XkC p q0,1,.,kn. 01p，1qp( ,)XB n p三超几何分布()kn k MNM n NC CP XkC，12,.,kll，( ,)XH n M N四泊松分布() !k P Xkek，0,1,2,.k0( )XP例 设某段时间内通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段内没有车通过的概率为1e，则这段时

15、间内至少有两辆车通过的概率为_。五均匀分布1 ( ) 0axbf xba 其他. . , XU a b例 设随机变量在(1,6)上服从均匀分布，则方程210xx有实根的概率是_。六指数分布0( )0xexf xx0，0( )XE七正态分布22()21( )2x f xe，x2(,)XN，0(0,1)XN标准正态分布221( ) 2x xe，x，221( ) 2tx xedt如果2( ,)XN，则(0,1)XN（1）()( )xx（2）()1( )xx（3）1(0)2（4）()2( )1P Xaa，(0,1)XN例2(,)XN，且(3)0.9987，则(3 )P X_。. . 4 随机变量X的函

16、数()Yg X的分布一离散型随机变量的函数分布设X的分布律()kkP Xxp，1,2,.k则()Yg X的分布律()kkP Yg xp，1,2,.k（如果()kg x相同值，取相应概率之和为Y取该值概率）二连续型随机变量的函数分布1公式法：X的密度( ),( )Xfxyg x单调，导数不为零可导，( )h y是其反函数，则()Yg X的密度为( )( ( )( ) 0X Yhyfh yyfy其他其中( ,)是函数( )g x在X可能取值的区间上值域。2定义法：先求( )( )()( ()( )YXg xyFyP YyP g Xyfx dx然后( )( )YYfyFy。5 典型例题分析例 1设随

17、机变量的分布函数20(1)( )0baxxF xCx求, ,a b c的值。. . 例 2设随机变量X的分布律为(),1,2,., !k P XkCkk0试确定常数C的值。例 3汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以X表示汽车所遇红灯个数，求X的分布及分布函数。例 4 （04）设随机变量X服从正态分布(0,1)N，对给定的(01)数u满足()P Xu，若()P Xx，则x等于A 2uB12uC12uD1u例 5在区间 , a b上任意投掷一点，X为这点坐标，设该点落在 , a b中任意小区间的概率与这小区间长度成正比，求X的概率密度。例 62,5XU，对X进

18、行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3 的概率。例 7 （06）设随机变量X服从正态分布2 11(,)N，Y服从正态分布2 22(,)N. . 且1211P XP Y，则必有A12B12C12D12例 8X的密度2( )()xxf xAex，试求常数A。例 9设X服从参数为2 的指数分布，证明：随机变量21XYe服从(0,1)U。例 10已知X的密度为1( )2xf xe，()x，求2YX的概率密度。例 11设随机变量X的密度( )x满足()( )xx，( )F x是X的分布函数，则对任意实数a有A0()1( )a Fax dxB 01()( )2a Fax dxC()( )FaF aD(

19、)2( )1FaF a. . 例 12设随机变量X的分布函数为( )F x，引入函数1( )()FxF ax，2 2( )( )FxFx，3( )1()FxFx和4( )()FxF xa，则可以确定也是分布函数为A12( ),( )FxFxB23( ),( )Fx FxC34( ),( )FxFxD24( ),( )FxFx例 13设2(2,)XN且(24)0.3Px，则(0)P X_。例 14设2(,)XN，则随的增大，概率()P XA单调增大B单调减小C保持不变D非单调变化例 15证明XX与具有相同密度，则其分布函数( )F x一定满足( )()1F xFx。例 16( , )XU a b

20、，(0)a且1(03)4PX，1(4)2P X，求： （ 1）X的概率密度；（2）(15)PX。第三讲多维随机变量及其概率分布. . 考试要求理解：随机变量及其联合分布，离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量 1 二维随机变量及其联合分布函数一二维随机变量设( ),( )XXYY是定义在样本空间上的两个随机变量，则称向量(,)X Y为二维随机变量或随机向量。二二维随机变量的联合分布函数定义：( , )(,)F x yP Xx Yyx，y性质： （1）0( , )1F x y；

21、（2）(,)( ,)(,)0FyF xF，(,)1F；（3）( , )F x y关于x和关于y单调不减；（4）( , )F x y关于x和关于y右连续。例 1设二维随机变量(,)X Y的分布函数为( ,)F x y，则随机变量(,)Y X的分布函数1( ,)Fx y=_. 三二维随机变量的边缘分布函数( )()(,)( ,)XFxP XxP Xx YF x( )()(,)(,)YFyP YyP XYyFy例 2设二维随机变量(,)X Y的分布函数为. . 2(1)(1)0,0( , ) 0xyeexyF x y其他试求( ),( )XYFxFy 2 二维离散型随机变量一联合概率分布(,),1,

22、2,ijijP Xx Yypi j1211112122122212ijjiiiijX Yyyyxpppxpppxppp性质： （1）0ijp（2）1ij ijp例 设随机变量X在 1，2，3 三个数字中等可能取值，随机变量Y在1X中等可能的取一整数值，求(,)X Y的概率分布。二边缘概率分布()(,)iiijij jjpP XxP Xx Yyp，1,2,.i()(,)jjijij iipP YyP Xx Yyp，1,2,.j三条件概率分布()0,jP Yy(,)()()ijij ij jjP Xx YypP Xx YyP Yyp，1,2,.i. . ()0iP Xx，(,)()()ijij j

23、i iiP Xx YypP YyXxP Xxp，1,2,.j例 设分布律为01010.5X Yabc，已知1(10)2P YX，1(10)3P XY，求, ,a b c 3 二维连续型随机变量一概率密度( ,)( , )xy F x yf udud( , )fx y概率密度性质： （ 1）( , )0f x y（ 2）( , )1fx y dxdy例(2),0,0( , )0xykexyf x y其他，则k_。二边缘密度( )( , )Xfxf x y dy，( )( ,)Yfyf x y dx三条件概率密度1条件分布 0()lim()Y XFy xP Yy xXx0()lim()X YFx

24、yP Xx yYy2条件概率密度( , )()( )Y X Xf x yfy xfx( ,)()( )X Y Yf x yfx yfy( )0Xfx( )0Yfy. . 4 随机变量的独立性定义：对任意, x y(,)()()P Xx YyP Xx P Yy( ,)( )( )XYF x yFx Fy离散型ijijpp p连续型( ,)( )( )XYf x yfx fy例 1设随机变量XY和相互独立，下表列出了二维随机变量(,)X Y的联合概率分布及关于XY和的边缘概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处123121 8 18 16ijXYyyypxxp例 2判断XY与是否独立（1）12

25、311003 112066 1113999X Y（2）2(1)(1)0,0( , )0xyeexyF x y其他5 二维均匀分布和二维正态分布一二维均匀分布. . 1( , )( , ) 0x yGf x yA 其他，AG是的面积例设二维随机变量(,)X Y在xOy平面上由曲线2yxyx和所围成的区域上服从均匀分布，则概率11(0,0)22PXY_。二二维正态分布，22 1212(,;)N12,0，122 1122 2222 112212()2()()()11( ,)exp2(1)21xxyyf x y性质： （ 1）2 11(,)XN，2 22(,)YN（ 2）XY与相互独立的充分必要条件是

26、0（ 3）2222 121212(,2)aXbYN ababab6 两个随机变量函数的分布一二维离散型随机变量的函数的概率分布求法与一维类似。二二维连续型随机变量的函数(,)Zg X Y的分布求法，可用公式( ,)( )()( (,)( , )Zg x yzFzP ZzP g X Yzfx y dxdy当ZXY时，( )( , )zxZFzdxf x y dy( , )zy dyfx y dx或( )( ,)ZFzf x zx dx. . (, )f zy y dy特别，当,X Y相互独立时，( )( )()ZXYfzfx fzx dx( )()( )ZXYfzfzy fy dy三简单函数通常

27、包括线形函数，初等函数，最大值，最小值，绝对值等。例 设,X Y相互独立，分布函数为( ),( )XYFxFy，试求（1）max(,)MX Y的分布函数( )MFz；（2）min(,)NX Y得分布函数( )NFz。7 典型例题分析例 1从 1，2，3 三个数字中一次任取两数，第一个数为X，第二个数为Y，记max(,)X Y，试求(,)X Y和(, )X的分布律及其边缘分布。例 2设随机变量101111 424iixXp，1,2i，且12(0)1P X X，则12()P XX_。例 3设某班车起点站上车人数X服从参数(0)的泊松分布，每位乘客在中途下车. . 的概率为(01)pp，且他们在中途

28、下车与否是相互独立的，用Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机向量(,)X Y的概率分布。例 4设随机变量(,)X Y的密度为2; 02,01( , ) 0;Axyxyf x y其他，求（ 1）常数A；（2）边缘密度；（3）,X Y是否独立。例 5设随机变量(1,2,3, 4)iXi相互独立，均服从分布1(1, )2B，求行列式1234XXXXX的概率分布。. . 例 6设相互独立随机变量XY与分别服从(0,1)N和(1,1)N，则A1(0)2P XYB1(1)2P XYC1(0)2P XYD1(1)2P XY例 7设22(,)( ,

29、;0)X YN，则()P XY_。例 8设两随机变量XY与相互独立且同分布，1(1)(1)2P XP Y，则成立A1()2P XYB()1P XYC1(0)4P XYD1(1)4P XY例 9 （06）设两个随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则max(,)1 PX Y。例 10设0( , )0yeyxf x y其他，试求（ 1）( )( )XYfxfy和，,X Y是否独立；（ 2）()X Yfx y和()Y Xfy x。. . 例 11,X Y相互独立，服从参数为的泊松分布，证明ZXY服从参数为2的泊松分布。例 12 （04）设随机变量X在区间 （0，1）上服从均匀分布，

30、在(01)Xxx的条件下，随机变量Y在区间(0,)x上服从均匀分布，求：（ I ）随机变量XY和的联合概率密度；（ II ）Y的概率密度；（ III）概率(1)P XY。例 13 （05）设二维随机变量(,)X Y的概率密度为1,01,02( , )0,xyxf x y其他求（ I ）(,)X Y的边缘概率密度( ),( )XYfxfy；（II ）2ZXY的概率密度( )Zfz；（III）11()22P YX。. . 第四讲随机变量的数字特征考试要求：数学一，数学三，数学四，要求一致理解：随机变量数字特征：数学期望，方差，标准差，矩，协方差，相关系数。掌握：常用分布的数字特征会计算：用数字特征

31、的基本性质计算具体分布的数字特征，根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。1 随机变量的数学期望一定义1离散型：()kkP Xxp1,2,.k当1kk kx p绝对收敛1()kk kE Xx p2连续型：( )f x当( )xf x dx绝对收敛()( )E Xxf x dx二性质（ 1）()E CC（ 2）()()E CXCE X（ 3）()()( )E XYE XE Y（ 4）XY和相互独立，则()()( )E XYE X E Y例 将一均匀骰子独立抛掷三次，求掷得三数之和X的数学期望。. . 三随机变量X的函数()Yg X的数学期望（ 1）离散型()kkP Xxp，1,2,.

32、k当1()kk kg xp绝对收敛，1( )( ()()kk kE YE g Xg xp（ 2）连续型( )f x，当( )( )g x f x dx绝对收敛( )()( )( )E YE g Xg x f x dx四随机变量(,)X Y的函数(,)Zg X Y的数学期望（1）离散型(,)ijijP Xx Yyp，,1,2,.i j当11(,)ijij ijg x yp绝对收敛11()(,)(,)ijij ijE ZE g X Yg xyp（2）连续型( , )f x y，当( , )( ,)g x y f x y dxdy绝对收敛() (,)( , )( , )E ZE g X Yg x y

33、 f x y dxdy例 1商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商店的需求量Y是相互独立的随机变量，且都在区间10,20上服从均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润 1000 元，若需求量超过了进货量，商店可以从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。. . 2 随机变量的方差一定义：2()() D XEXEX方差()()XD X标准差，均方差二计算方差的公式：22()()()D XE XEX，22()()E XEX三性质：（1）()0D C，反之()0D X不能得出X为常数；（2）2()()D aXba D X；（3）,X Y

34、相互独立()D XYDXDY。例 随机变量X的概率密度为24,0( )0,0xxexf xx，则(21)DX_。 3 常用随机变量的数学期望和方差一 （ 01）分布,EXp DXpq二二项分布,EXnp DXnpq三泊松分布,EXDX四均匀分布2(),22abbaEXDX五指数分布211,EXDX六正态分布2( ,)XN，EX，2DX. . 22 1212(,)(,;)X YN1EX，2EY，2 1DX，2 2DY例 已知随机变量( ,)XB n p，试证()D Xnpq例 设随机变量( )XP，试证()E X4 矩原点矩()E X，2()E X中心矩2() EXEX混合矩()E XY混合中心

35、矩()()EXEXYEY5 协方差和相关系数一协方差定义：cov(,)()( )()()( )X YE XE XYE YE XYE X E Y公式：()()()2cov(,)D XYD XD YX Y性质： （1）cov(,)cov(,)X YY X；（2）cov(,)cov(,)aX bYabX Y；（3）1212cov(,)cov(,)cov(,)XXYXYXY二相关系数. . 定义：cov(,)()( )XYX YD XD Y不相关：0XY,X Y相互独立,X Y不相关性质：（1）1XY；（2）1XY(1)1P aXbY0ab；（3）设22 1212(,)(,;)X YN，则XY，且,X

36、 Y相互独立,X Y不相关0。例 对随机变量,X Y，证明下列关系是等价的（1）cov(,)0X Y（2）XY与不相关（3）()()( )E XYE X E Y（4）()()()D XYD XD Y6 典型例题分析例 1设随机变量X服从()P分布，且已知(1)(2)1EXX，则_。例 2已知N件产品中含有M件次品，从中任意取出n件()nN，设这n件产品中的次品件数为X，试求()E X。. . 例 3 （04）设随机变量X服从参数为的指数分布，则P XDX_。例 4设随机变量X的概率密度函数为22( )xBxf xAex其中,A B为常数，已知()()E XD X，试求,A B和()E X。例

37、5 （04）设随机变量12,.,nXXX (1)n独立同分布，且其方差为20令11ni iYXn，则()A21cov(,)XYn()B2 1cov(, )XY()C2 12()nD XYn()D2 11()nD XYn. . 例 6在伯努利试验中，已知()P Ap，现独立，重复地进行试验直到出现A为止，令X表示所需进行的试验次数，试求()()E XD X和。例 7设随机变量XY和的联合分布在以点0,1 , 1,0 , 1,1为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量=+UXY的方差。例 8设随机变量X的概率分布密度为1( )2xf xe，x（1）求X的()()E XD X和（2）求X与X的

38、协方差，问X与X是否不相关？（3）问X与X是否相互独立？为什么？. . 例 9已知随机变量(,)X Y服从1(1,0,9,16;)2N，设32XYZ（1）求Z的()()E ZD Z和（2）求XZ（3）问,Z X是否相互独立？为什么？例 10设随机变量(,)X Y在D：221xy内服从均匀分布，则XY和的相关系数XY_。例 11随机变量XY和均服从正态分布，则( )AX Y+一定服从正态分布()BXY和不相关与独立等价()C(,)X Y一定服从正态分布()D(,)XY未必服从正态分布例 12在n次独立重复试验中，XY和分别表示成功和失败的次数，则XY和的相关系数等于. . ()A1()B 0 (

39、)C12()D1例 13设AB和是两个随机事件，定义两个随机变量如下：10A X A出现出现和10B Y B出现出现证明：XY与不相关的充分必要条件是AB与相互独立。例 14已知随机变量X的分布() 2!kCP Xkk0,1,2,.k其中C为常数，则随机变量23YX的( )D Y_。例 15 （04）设A B,为两个随机事件，且1()4P A，1()3P B A，1()2P A B，令10AXA发生不发生10BYB发生不发生，求（ I ）二维随机变量(,)X Y的概率分布；（II ）XY与的相关系数XY；（III）22ZXY的概率分布。. . 例 16 （06）设二维随机变量(,)X Y的概率

40、分布为01100.200.10.210.1XYabc其中, ,a b c为常数，且X的数字期望( )0.2,(0 |0)0.5E xYx，记ZXY求（ I ）, ,a b c的值；（II ）Z 的概率分布；（III）()P XZ。例 17 （06）设随机变量X的概率密度为1,102 1( ),0240,xxfxx其它令2,YXF x y， （）为二维随机变量(,)X Y的分布函数，求（ I ）Y的概率度( )Yfy；（II ）cov(,)X Y；（III）1(,4).2F. . 第五讲大数定律和中心极限定理考试要求：数学一：了解：切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗

41、拉普拉斯定理，列维 林德伯格定理数学三、四：了解：切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗- 拉普拉斯定理，列维林德伯格定理数学三：掌握：切比雪夫不等式数学三、四：会用：相关的定理近似计算有关事件的概率。数学四：了解：切比雪夫不等式1 切比雪夫不等式和依概率收敛一切比雪夫不等式2()()D XPXE X0二依概率收敛lim()1nnP XA0记作P nXA例 设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计()2)P XE X_。2 大数定律一切比雪夫大数定律设12,.,.nXXX两两不相关，()()iiE XD X和存在且存在常数C， 使()iD XC(1,2,.)i则对任意0111

42、1lim()1nniiniiPXE Xnn. . 二伯努利大数定律( ,)nXB n p，则对任意0lim()1nnXPpn三辛钦大数定律设12,.,.nXXX独立同分布，()iE X，则对任意0，11lim()1niniPXn3 中心极限定理一棣莫弗拉普拉斯定理设( ,)nXB n p，则对任意xlim()( ) (1)nnXnpPxx npp二列维 林德伯格定理设12,.,.nXXX独立同分布，()iE X，2()iD X则对任意x1lim()( )ni inXnPxx n4 典型例题分析例 1设随机变量XY和的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5 ，则根据切比雪夫不等式(

43、6)P XY_。例 2将一枚骰子重复掷n次，则当n时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于_。. . 例 3 （05）设12,.,.nXXX为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为(1)的指数分布，记( )x为标准正态分布函数，则()A1lim( )ni inXn Pxx n()B1lim( )ni inXn Pxx n()C1lim( )ni inXnPxx n()D1lim( )ni inXPxx n第六讲数理统计第一章基本概念考试要求：数学一、三理解：总体，简单随机样本，统计量，样本均值样本方差和样本矩数学一了解：2分布，t分布，F分布，分位数并会查表计算，正态总体的常用抽样分布数学三了

44、解：产生2变量，t变量，F变量的典型模式理解：标准正态，2分布，t分布，F分布的分位数并会查表计算，经验分布掌握：正态分布的常用抽样分布1 总体和样本一总体：所研究对象的某项数量指标X全体。二样本，如果12,.,nXXX相互独立且都与总体X同分布，则称12,.,nXXX为来. . 自总体的简单随机样本，简称样本。样本容量，样本值，观测值( )XF x，则12,.,nXXX的联合分布12 1(,.,)()nni iF x xxF x( )Xf x，则12,.,nXXX的联合密度12 1(,.,)()nni if x xxf x例 设总体( )Xe，则来自总体X的样本12,.,nXXX的联合概率密

45、度12(,.,)nfx xx_ 2 统计量和样本数字特征一统计量样 本12(,.,)nXXX的 不 含 未 知 参 数 的 函 数12(,.,)nTT XXX。 如 果12,.,nx xx是 样 本12,.,nXXX的 样 本 值 ， 则 数 值12(,.,)nT x xx为 统 计 量12(,.,)nT XXX的观测值。二样本数字特征1样本均值11ni iXXn；2样本方差2211()1ni iSXXn，样本标准差211()1ni iSXXn；. . 3样本k阶原点矩11n k ki iAXn1,2k；4样本二阶中心矩2 2 11()ni iBXXn()()E XE X，2()()D XD

46、Xnn，22()()E SD X如果()k kE X，11n Pk nik iAXn。例设 总 体X的 概 率 密 度 为2 ,01( )0,xxf x其他， 来 自 总 体X的 样 本 为1234,XXXX则(4)1234max(,)XXXXX的概率密度(4)( )Xfx_. 3 常用统计抽样分布常用统计抽样分布：正态分布，2分布，t分布和F分布。除正态分布外不必记忆这些分布的概率密度，但要了解其典型模式，分布曲线示意图和分位数，会查表。一2分布1典型模式：12,.nXXX相互独立且均服从(0,1)N，则称2222 12.nXXX服从自由度为n的2分布，记22( )n12221,0( )2(

47、)2 0,0nxnxex nf xx. . 2()En，2()2Dn；2可加性：设22 11()n，22 22()n，且22 12和相互独立则222 1212()nn+；3上分位点2( )n：设22( )n，对于给定的(01)，称满足条件22( )nP(的点2( )n为2( )n分布的上分位点。例 已知22( )n，则2()E=_。二t分布1典型模式：,X Y独立，(0,1)XN，2( )Yn，则( )XTt n Yn1221()2( )(1) ( )2nn xf xnnn，x( )f x是偶函数，n充分大时，( )t n近似(0,1)N。2上分位点( )tn ( )Tt n，01，( )P Ttn，1( )( )tntn， 2( )P Ttn三F分布1典型模式：,X Y独立，22 12(),()XnYn，则1 12 2(,)X nFF n nY n. . 112121212 22 12 122 12()2,0( )() ()()22 0