定积分概念、求解.ppt

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1、 定积分的概念与计算定积分的概念与计算abxyo? A原型原型 （求曲边梯形的面积）求曲边梯形的面积）)(xfy 曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线轴轴与与两两直直线线, ,所所围围成成. .( )( ( )0),yf xf xxxa xb考考察察下下列列图图形形由由哪哪些些曲曲边边围围成成. .A2022xy 00y Asinyx 0 x 2x x 2y 0 x 利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，利用元素法的思想求解曲边梯形的面积时，可可概括概括“分割分割- -取近似取近似- -求和求和- -取极限取极限” ” 的步骤的步骤. .将曲边梯形的底，即将曲边梯形的底，即a ,b进行分割进行

2、分割( (用垂直于用垂直于x轴的直线轴的直线).).第一步第一步 分割；分割；曲边梯形的面积的解决思路：曲边梯形的面积的解决思路：a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x记记1.iiixxx ()if ix ().iiiSfx iS 取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积取出典型小区域，用矩形面积近似曲边梯形面积. .第二步第二步 取近似；取近似；a bxyo)(xfy 高高底底ix1x1 ix1 nx2x典型小区域面积典型小区域面积 i a bxyo)(xfy ix1x1 ix1 nx2x第三步第三步 求和；求和；i 矩形面积和与曲边梯矩形面积和与曲边梯形面积不相等形面积不相

3、等1 2 1n n 11().nniiiiiSfx 将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所将每个小曲边梯形的面积都用矩形近似，并将所有的小矩形面积加起来有的小矩形面积加起来. .第四步第四步 取极限取极限. .当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之当对曲边梯形底的分割越来越细时，矩形面积之和越近似于曲边梯形面积和越近似于曲边梯形面积. .a bxyo)(xfy 0,1,2,ixinmax0ix 11()nniiiiiASfx 112233( )()()(),nnfxfxfxfx iniixfA )(lim10 1122330lim()()()() .nnfxfxfxfx 曲曲边边梯梯形

4、形面面积积的的近近似似值值为为: :曲曲边边梯梯形形面面积积为为当当即即小小区区间间的的最最大大长长度度趋趋近近于于零零时时分分割割无无限限加加细细12,max,(0),nxxx 二、定积分的定义 11( )( )nniiiibafxfn 小矩形面积和S=如果当n时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作 ba (x)dx，即f (x)dx f ( i)xi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1( )lim( )ninibaf

5、x dxfnba即定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即Oabxy)(xfy 注意：注意：( )baxfx d d( )baf t t d d( )baf u u d d(2).i 在在定定义义中中区区间间的的分分法法和和 的的取取法法是是任任意意的的(1),.积积分分值值仅仅

6、与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关 而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关(3)( ) , ,( ) , f xa bf xa b当当函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分存存在在时时称称在在区区间间上上可可积积. .xtuxtu 例例1：利用定积分的定义：利用定积分的定义,计算计算 的值的值.课本课本p47 130 x d x, 0)( xf( )baf x xA d d, 0)( xfd d( )baf x xA 1234( )baf xxAAAA d d 3A4A2A1A abxy曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义O

7、( ),;xf xxa xbxx 它它是是介介于于轴轴、函函数数的的图图形形及及两两条条直直线线之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代数数和和在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号 在在轴轴下下方方的的面面积积取取负负号号 _ _abxy几何意义O例例2利利用用定定积积分分的的几几何何意意义义计计算算下下列列积积分分d dd d11200.(1);(2)1.x xxx 解解d d，10(1)x x 表表示示由由及及 轴轴围围成成的的三三角角形形面面积积. .0,1,xxyxx 100 x 1x 0y Ayx d d10 x x 11 12 1.2d d120(2)1,xx 表表示示由由及及

8、 轴轴围围成成的的圆圆面面积积. .20,1,114xxyxx 100 x 1x 0y d d1201xx 1.4 yx A2114 定理定理( ) , ,( ) ,( )( ).,bbaaf xa bkkf xkffaxbxxkx 若若在在上上可可积积为为常常数数 则则在在上上d dd d也也可可积积 且且定理定理( ) , ,( )( ) , ,( ( )( )( )( ).bbbaaaf xg xxf xa bf xgfbx xg x xxa 若若在在上上可可积积 则则在在上上也也可可积积 且且 d dd dd d补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立

9、.cba,定理定理 （积分区间的可加性）（积分区间的可加性）d dd dd d323002( )( )( ),f xxf xxf xx d dd dd d363006( )( )( ),f x xf x xf x x 有有界界函函数数在在上上都都可可积积的的充充要要条条件件是是在在上上也也可可积积 且且 dddddd ( ) , , , ( ) , ( )( )( ),.bcbaacf xxf xxff xa cc bf xaxxb266032 063 2abcSacScbSabd dd d1.bbaaxxba d d203 x 定理定理d d2033.2x 定积分计算定积分计算 定义很复杂，

10、直接计算很困定义很复杂，直接计算很困难难. .需要转换新的思路需要转换新的思路. .d d( )baf t t 01lim()niiifx 根据几何意义，图不好画根据几何意义，图不好画定理定理牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式( ) , ,( )( ) ,( )(.),baf xa bF xf xa bf x xF bF a 设设在在上上连连续续 若若是是在在上上的的一一个个原原函函数数 则则 d d 微积分基本定理( )baf x x d d微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：( )baF x 求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题 , , .a ba b

11、一一个个连连续续函函数数在在区区间间上上的的定定积积分分等等于于它它的的任任意意一一个个原原函函数数在在区区间间上上的的增增量量( )( ) .F bF a ( )( )( ).baabf xxFFba 当当时时，d d仍仍成成立立lnbax lnln.ba例例31ln,xxCx d d1baxx d d例如例如d d311xx 1ln.xx是是的的原原函函数数31ln x ln3ln1 ln3 . 例例4 求定积分：求定积分： 231dxx ( (1 1) )20cos dx x ( (2 2) )231dxx 解解: : ( (1 1) )20cos dx x ( (2 2) )sinsin01012 211()dxxx ( (3 3) )( )()2113dxxx 415)12(4144441x 1202 10)4(dxex 10)4(dxexxe 01101 eeexsin )ln21(2xx 12)2ln221(2 ) 1ln121(2 2ln23 定积分求法一定积分求法一 直接运用积分公式直接运用积分公式 002130221sin)5(cos)4() 1()3()2()2(1) 1 (xdxxdxdxxdxxxdxx2022-6-825