111正弦定理（1）.ppt

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1、第一章第一章: :解三角形解三角形 1.问题的引入问题的引入: .(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月明月 高悬高悬,我们仰望夜空我们仰望夜空,会有无限遐想会有无限遐想,不禁会问不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样科学家们是怎样 测出来的呢？测出来的呢？.B.C.A把实际问题转化为数学问题：把实际问题转化为数学问题：已知三角形的两个角和一条边，求另一条边已知三角形的两个角和一条边，求另一条边。回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系? ABCcbasinacA 两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？sin

2、sinabcAB sin1C sinsinsinabcABC 思考思考:对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗?2.定理的推导定理的推导sinbcB (1)当当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢?ABC D如图如图:作作AB上的高是上的高是CD,根椐根椐三角形的定义三角形的定义,得到得到.sinsinbcAEBCBC同同理理, 作, 作有有 sinsinsinabcABC sin ,sinCDaB CDbA sinsinaBbA 所所以以 sinsinabAB 得得到到 BACabcE综上知，结论成立综上知，结论成立CCbADsinsi

3、n ）（且且CcBbAasinsinsin仿仿(2)可得可得D(2) 若三角形是钝角三角形若三角形是钝角三角形,且角且角C是是钝角钝角如图如图2, 此时也有此时也有cADB sin交交BC延长线于延长线于D,过点过点A作作ADBC，CAcbB图图2结论成立吗？结论成立吗？CcBbAasinsinsin 3.正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它在一个三角形中，各边和它所所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即含三角形的三边及三内角含三角形的三边及三内角,由己知二角一边由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征定理结构特征:OC/cbaCBA.

4、2sin2sinsin,90RCcRcCCCCCBARCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作三角形作三角形ABC外接圆外接圆O,半径半径R.过过B作直径作直径BC/,连连AC/,AasinBbsinCcsin（2R为为ABC外接圆直径）外接圆直径）2R正弦正弦定理：定理：剖析定理、加深理解sinsinsinabcABC1 1、A+B+C=A+B+C=2 2、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角正弦定理：R2剖析定理、加深理解3 3、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题： 已知已知两角和一边两角和一边，求其他角和边，求其他角和边

5、 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角sinsinsinabcABC正弦定理：R2剖析定理、加深理解4 4、一般地，把三角形的三个角、一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对边和它们的对边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元素素。已知三角形的几个元素求其他元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫的过程叫解三角形解三角形sinsinsinabcABC正弦定理：R2剖析定理、加深理解5 5、正弦定理的变形形式、正弦定理的变形形式6 6、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，

6、可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化系的转化sinsinsinabcABC正弦定理：R2定理的应用定理的应用例例 1在在ABC 中，已知中，已知a= 42.9,A = 32。, B = 81.8。解三角形解三角形.解：解： 而而 66.2B)(A180 C c = ACasinsin74.1=30sin2 .66sin9 .42已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角BbAasinsinb= ABasinsin=1 .8032sin8 .81sin9 .42BACbcaCcsin小结小结:已知三角形任意两角

7、和一边解三角形的基本思路已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角由三角形的内角和定理求出第三个角;(2)由正弦定理公式的变形由正弦定理公式的变形,求另外的两条边求另外的两条边. 注意注意:若已知角不是特殊角时若已知角不是特殊角时,往往先求出正弦值往往先求出正弦值(这这时应注意角的拆并时应注意角的拆并,即将非特殊角转化为特殊角的和或即将非特殊角转化为特殊角的和或差差,如如 ),再根据上述思路求解再根据上述思路求解.754530在在ABC中，已知中，已知 A=75，B= 45，c= 求求a ， b.231:4P自学练习：变式1例例2、在、在ABC中，已知中，

8、已知 20ab=28 A=40 求求B (精确到精确到1 )和和c（保留两个有效数字）（保留两个有效数字）8999.02040sin28sinsin0aAbB解：.116,640201BB.76)4064(180)(180,64000010101ABCB时当.3040sin76sin20sinsin0011ACac.24)40116(180)(180,116000020202ABCB时当.1340sin24sin20sinsin0022ACacACB1abB2D已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。角。大角对大边大边对大角小

9、结小结:已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值 (2)如果已知的角为大边所对的角时如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边由三角形中大边 对大角对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角, 由正弦值可求锐角唯一由正弦值可求锐角唯一; (3)如果已知的角为小边所对的角时如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一则不能判断另一 边所对角为锐角边所对角为锐角,这时由正弦值可求两个角这时由正弦值可求两个角,要分类讨

10、论要分类讨论.变式变式2:00(1)45 ,2,2,10 3(2)60 ,4,3ABCAabBABCAabB在中，已知 求在中，已知求B=300无解无解(3)、ABC中，中，B=30，c=5 ，b=5 ，则，则ABC的形状是（的形状是（ ）A 等边三角形等边三角形 B 等腰三角形等腰三角形C 直角三角形直角三角形 D 等腰或直角三角形等腰或直角三角形D2:4P自学练习：3 正弦定理正弦定理 主要应用主要应用 sinsinsinabcABC (1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；和另一角； (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、此时可能有一解、二解、无解）无解） 1.1.1 正弦定理正弦定理小结小结:R2课后探究课后探究:推导正弦定理作业：作业：P10 ：1， 2